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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
\usepackage{amsmath}
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\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.7cm}{0.6cm}{1.7cm}{0.6cm}{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{17cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
\begin{center} {\Large {\bf MIAS-SM 1 TC maths
                    07/09/01  dur\'ee: 3h \\} }%\vspace{0.7cm}

        
     Calculettes et documents interdits. Dur\'ee: 3h. Bar\`eme: 8x2.5.
                  
		  Merci d'\'ecrire {\bf sujet A} en haut de votre copie.
                                    \end{center} 
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
  \item %(sur 2)%1
Comparer ~~
$\sqrt {2+\sqrt {2+\sqrt 2}} ~\et~ \frac {1+2\sqrt 2}{2}.$

\vspace{0.7cm}
\item

~Calculer $(1-i\sqrt 3)^{13}$.

\vspace{0.7cm}


\item

~Calculer $\Arccos (\cos~ 10)$.

 \vspace{0.7cm}

\item %(sur 2.5)%2

a) Donner le meilleur encadrement de $\frac{y+3}{x+1}$ quand $x$ et $y$ sont
deux nombres r\'eels de l'intervalle $[2,5]$.

	
b) M\^eme question pour $\frac{x+3}{x+1}$ et $\frac{x+1}{x+3}$ (et $x$ 
toujours dans $[2,5]$).


\vspace{0.7cm}

 \item %(sur 2.5)%3

On note $f$ la fonction d\'efinie par $f(x) = x^3 -27x$.

a) Indiquer le plus grand intervalle contenant $-3\sqrt {3}$   o\`u 
(la restriction de) $f$ admet une fonction r\'eciproque {\bf d\'erivable}.

b) On note $g$ cette fonction r\'eciproque; calculer $g(0)$ et $g'(0)$.

\vspace{0.7cm}
\item

Calculer le DL en $0$ \`a l'ordre $3$ de $ e^{\cos x}\sin 2x.$

\vspace{0.7cm}
\item

Trouver une \'equation du plan de $\rr ^3$ passant par $(1, 2, 1)$, $(-1, 2,
-1)$ et $(2, 3, -1)$.

\vspace{0.7cm}
\item

Calculer l'image, le noyau et s'il y a lieu l'inverse de l'application
lin\'eaire 

$$(x,y,z) \mapsto (x+y-2z, ~2x+y+z, ~x+3z).$$
	
\end{enumerate}
\end{document}

\item
  
Calculer $\int_0^{\frac{1}{4} } \frac{1-4x}{\sqrt{1-4x^2}} dx$ en posant
$x=\frac {\sin t}{2}$.

\item (sur 1)%5

 Pour l'application suivante, 
pr\'eciser le contexte, la source et le but et  \'ecrire la matrice.\\


$(x,y,z) \longmapsto (yw+zu, xv-yu).$

\item (sur 4)%6

On consid\`ere 
la matrice $(3,2)$, not\'ee $A$, et d\'efinie par $A_{ij} \, = \, 2i-j$, 
et la matrice

$B= \left [
\begin {array} {rr}
 2~~&-3\\
 0~~&5\\
\end{array}
\right ]
$

Calculer, quand c'est possible,
 les sommes $A+B$ et $B+A$, les produits $AB$ et $BA$ 
et les inverses de $A$ et $B$.
  
 \vspace{0.7cm}

\item (sur 2.5)%7

Calculer en fonction du r\'eel $m$ l'intersection dans $\rr^3$ de la droite passant par les
points $(1, -1, 0)$ et $(2, 0, -1)$ avec le plan d'\'equation 
$mx-my+z=1$.



\item  (sur 3)%8

Compl\'eter la preuve suivante:
	
	Th\'eor\`eme: Le d\'eveloppement limit\'e du produit d'une fonction par
	un nombre est le produit par ce nombre du 
	d\'eveloppement limit\'e de la fonction.
	
	Preuve.  Soit donc $I$ un
	intervalle (non r\'eduit \`a un point) de $\rr$, 
	$a$ un point de $I$, et $n$ un entier
	naturel. Soit $\lambda$ un r\'eel quelconque et  $f$ une
	fonction d\'efinie sur ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ et admettant
	pour d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ 
	le polyn\^ome $P$ (qui est donc 
	de degr\'e au plus ~~~~~~~~~). Nos hypoth\`eses signifient que le quotient 
	$\epsilon'(x):=\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^n}$
	tend vers z\'ero quand $x$ tend vers ~~~~~~~~ en restant dans ~~~~~. 
	Il nous
	faut montrer que la fonction $\lambda f$ admet
	pour
	d\'eveloppement 
	limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ le polyn\^ome $\lambda P.$
	c'est-\`a-dire que le quotient 
	$\epsilon(x):=\frac {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{(x-a)^n}$ tend vers z\'ero dans
	les m\^emes 
	conditions. Ceci r\'esulte du th\'eor\`eme sur la limite 
	~~~~~~~~~~~~~~~~~~, car on v\'erifie facilement que $\epsilon(x)$ 
	est  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.
	
\end{enumerate}
\end{document}


\item %(sur 2.5)%4
  R\'esoudre en fonction du param\`etre $m$ le 
syst\`eme d'\'equations aux inconnues $x, y, z$ suivant:


 \( \left\{ \begin{array}{lll}
mx+(m+3)y+z&=&2m+4\\
(m+1)x+y &=&1\\
mx+ y+ z&=&2.
\end{array}\right.  \)


