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\begin{document}
 Maths Exos10:~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~~~~~Int\'egration }}  \hfill 14/01/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		     \vspace{0.4cm}
%\begin{center}{\bf Pour commencer en douceur si on avait le temps}
%\end{center}

\begin {enumerate}
\item
 {\Large {\bf Int\'egration par parties}}


a) Calculer 
$\dint_a^b \cos(\alpha x)e^{\beta x} \, dx$.

b) Calculer les int\'egrales (de Wallis):
\[
\dint_0^{\pi/2}\cos^n x\, dx, \qquad
\dint_0^{\pi/2}\sin^n x\, dx.
\]

		     \vspace{0.4cm}
\item {\Large {\bf Calculer par changement de variables}}


a) donn\'e explicitement:
$$
 \dint_1^2 \ds\frac{\ln s}{s}\, ds\qquad
 \mbox{\rm (poser $s=e^t$)}
 ~~~~~~~
 \dint_1^2 \ds\frac{s+2}{\sqrt{5-s^2}}\, ds\qquad
 \mbox{\rm (poser $s=\sqrt{5}~\sin t$)}.$$
 
 b) donn\'e implicitement:

$$
 \dint_1^2 \ds\frac{\ln s}{s^2}\, ds\qquad
 \mbox{\rm (poser $t=\ln s$)}
 ~~~~~~~
\dint_0^{\frac {\pi}{2}}\sin^3s ds\qquad
 \mbox{\rm(poser $t=\cos s $)}.$$
 
		     \vspace{0.4cm}

 \item{\Large \bf E-T 1}

Calculer
 $$\dint_0^1\sqrt{\ds\frac{1-t}{1+t}}\, dt
~~~~~~~~
\dint_0^{\pi/2}\ds\frac{\sin^3x\cos^3x}{1+\sin^2x}\, dx
~~~~~~~~
\dint_0^{\pi/2}\ds\frac{\sin 2x}{2+\cos^2x}\, dx.
$$


		     \vspace{0.4cm}
 
 \item{\Large \bf E-T 2}


\noindent
On d\'efinit la fonction $G$ par la formule
\[
G(t)= \int_{-\pi/2} ^{2t} \; \frac {\sin x}{2\cos^2 x+\sin^2 x}\;\;  dx.
\]

\noindent
a) 
Calculer $G'$ et montrer qu'on a, pour tout $t$ entre $0$ et $\ds\frac{\pi}{2}$, 
\[\sin 2t \leq G'(t) \leq 2\sin 2t.\] 

\noindent
b) 
Faire un croquis (tr\`es approximatif) du graphe de $G'$ sur 
$[-\frac{\pi}{4} , 2\pi]$. 

\noindent
c) 
Calculer $G(0)$ puis $G(\frac{\pi}{4})$. 
Plus g\'en\'eralement, pour tout entier naturel $n$, 
calculer $G(n\frac{\pi}{4})$. Est-ce que $G(t)$ admet une limite quand $t$ tend
vers $+\infty$? 

\noindent
d)
Calculer le DL \`a l'ordre $2$ de $2\cos^2 2x+\sin^2 2x$ en  $\frac{\pi}{2}$. 

\noindent
e)
Calculer le DL \`a l'ordre $2$ de $G$ en  $\frac{\pi}{2}$. 

\end {enumerate}
\end{document}
