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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
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\begin{document}
 Maths Exos1:~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~In\'egalit\'es }}  \hfill 30/09/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		%     \vspace{0.4cm}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item 
Compl\'etez la r\'eponse suivante, en ne mentionnant que des intervalles de
monotonie maximaux:

{\bf Question:}
R\'esoudre dans $\rr$: ~~~~~~~~$\sqrt{x+8} -2 \ge \sqrt {2-x}$.

{\bf R\'eponse:} ~~Pour $x < -8$ et pour $x > 2$, l'in\'egalit\'e est mal 
d\'efinie
donc n'est pas v\'erifi\'ee.

Il reste \`a traiter le cas $x \in [-8, \, 2]$. Dans ce contexte, on obtient:

$\sqrt{x+8} -2 \ge \sqrt {2-x}$

$\ssi \sqrt{x+8}  \ge \sqrt {2-x} + 2$
\hfill en appliquant \`a $\underline { \sqrt{x+8} -2}$ et 
$\underline {\sqrt {2-x}}$:
				
\hfill 	$\underline {y
	\mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~}$ est strictement croissante
sur $\underline {\rr}$; \\

$\ssi x+8  \ge 2-x +4\sqrt {2-x} + 4$
					\hfill en appliquant \`a
					$\underline {\sqrt {x+8}}$ et 
					$\underline {\sqrt {2-x} + 2}$
					qui sont \underline {positifs}:
				
				\hfill 	$\underline {y
					\mapsto y^2}$ est strictement croissante
					sur 
				$\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_$; \\
					

$\ssi 2x+2  \ge 4\sqrt {2-x}$
					\hfill en appliquant \`a
		$\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$: 
				
				
				\hfill 	$\underline {y
					\mapsto y- (6-x)}$ est strictement 
					croissante
					sur $\underline {\rr}$;\\
					

$\ssi x+1  \ge 2\sqrt {2-x}$
					\hfill en appliquant \`a 
	$\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$: 

					
					
				\hfill 	$y
					\mapsto 
				\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$
					est strictement 
					croissante
					sur $\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$.\\

Pour $x < -1$, la derni\`ere in\'egalit\'e est fausse. 

On suppose donc d\'esormais 
$x \in [-1, \, 2]$. Dans ce contexte, on obtient

$x+1  \ge 2\sqrt {2-x}$

$\ssi x^2+2x +1  \ge 4 (2-x)$
					\hfill en appliquant 
%aux nombres positifs $x+1$ et $2\sqrt {2-x} $
$ \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~
\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$:

				\hfill 	
	$  \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~
	\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$.\\
		
%$y\mapsto y^2$ est strictement croissante sur $[0,\,+\infty[$; 
					

$\ssi x^2+ 6x - 7  \ge 0$
					\hfill en appliquant 
$ \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~
\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$:

				\hfill 	
	$  \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~
	\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$.\\
		
%					\hfill en appliquant \`a 
%					$x^2+2x +1$ et 
%					$4 (2-x)$:
%					
%				\hfill 	$y
%					\mapsto y -8 +4x$ est strictement 
%					croissante
%					sur $\rr$;\\

$\ssi x  \ge 1$
					\hfill en appliquant  \`a
 $\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$ qui sont $
\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$:
%					$x$ et 
%					$1$, qui majorent bien $-3$ :
					
				\hfill 	$\underline {y
					\mapsto y^2+6y -7}$ est 
$ \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~
\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~~~$.\\
					
					
					
%					strictement 
%					croissante
%					sur $[-3, \, +\infty[$. 
					
On a donc $\{x \in \rr \vert 	\sqrt{x+8} -2 \ge \sqrt {2-x} \} = [1, \, 2].$			

\vspace {0.6cm}
 
\item 

Indiquer les ressources qui justifient le calcul suivant, en pr\'ecisant les
arguments, et les in\'egalit\'es qu'il faut v\'erifier:


$\sqrt {1+\sqrt {1+\sqrt 2}} < \dfrac {1+\sqrt 2}{2} ~~
\ssi ~1+\sqrt {1+\sqrt 2} < \dfrac {3+2\sqrt 2}{4}~~
\ssi~ 4\sqrt {1+\sqrt 2} < 2\sqrt 2 -1      \\
\ssi ~~~16(1+\sqrt 2) < 9-4\sqrt 2~~~
\ssi~~~ 20\sqrt 2 < -7$.

%\vspace {0.3cm}
 

\newpage


\item
 Pour $m$ r\'eel, comparer 
$3+\sqrt {13+3m} ~\et~ 3+m+\sqrt{13}$ 
(seules les justifications donnent des points).


\vspace {0.4cm}
 

\item 

a) Compl\'etez la r\'eponse suivante:
%, en ne mentionnant que des intervalles de monotonie maximaux:

{\bf Question:}
Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, majorer $\dfrac{x^3- \pi x}{5-x}$.

{\bf R\'eponse:}

Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, on obtient:

(1) ~~$x^3 \le 8$  \hfill car $y \mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~$ est croissante sur 
$\rr$ (arguments $ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$);

(2) ~~$-\pi x \le 12$ \hfill car $y \mapsto -\pi y$ est  
$ \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$ sur $\rr$ 
(arguments $ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$) et 
$\_~~\_~~\_~~\_~~\le 12$;

(3) ~~$x^3 -\pi x \le 20$ \hfill en ajoutant (1) et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$;

(4) ~~$5-x \ge 3$  \hfill car $y \mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~$ est d\'ecroissante 
sur $\rr$ 
(arguments 
$ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$
);

(5) ~~$\dfrac{x^3- \pi x}{5-x} \le \dfrac {20}{3}$
\hfill car on peut diviser (3) par (4) puisque 
$ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$
 sont positifs;

b) Expliciter les ressources auxquelles on fait  allusion quand on parle 
d'ajouter ou de diviser
des in\'egalit\'es.
		     
		     \vspace{0.4cm}



\item

Donner les justifications manquantes.

{\bf Question:}
Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, majorer $\dfrac{x^2+5}{x-3}$ par un nombre n\'egatif.

{\bf R\'eponse:} Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, on obtient successivement

$3-x \le 6$,  ~~~$x^2 + 5 \ge 5$, ~~~$\dfrac{x^2+5}{3-x} \ge \dfrac {5}{6}$,  
 ~~~ et $~~~\dfrac{x^2+5}{x-3} \le -\dfrac {5}{6}$.
 
		     \vspace{0.4cm}


 \item
 
 Pour $x$ dans  $[-3, \ln \frac {\pi}{2}]$, majorer 
 $\dfrac{x^2+ \sin x + x}{\sin e^x }$ par un entier.
 
		     \vspace{0.4cm}


 \item
 
 D\'emontrer l'\'enonc\'e de division des in\'egalit\'es mentionn\'e plus haut.
					

		     \vspace{0.9cm}



\item \hfill {\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}



		     \vspace{0.4cm}


a) 
Comparer $~~ \frac{\pi}{3}-\frac{\pi^3}{648} ~\et ~1.$

b) Calculer
$\min (3^{\pi}, \pi^{3}).$ 

c) Comparer $\sin^2 (\pi(2+\sqrt 3)^{1000})$ et $10^{-1000}.$

d) Pour $x$ r\'eel, comparer $2^x$ et $x^2.$

e) Ici, $x= 0,001$. Encadrer finement $\sin (\pi ^{1+x})+ \sin (\pi ^{1-x}).$

f) Comparer $0,\, 9,\, 0,9, \,0,\overline{9}, \,0,\overline{99}, \,0,99$, et $1$.
 
 
\end{enumerate}
\end{document}
				
					
