\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}}
\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
\newcommand{\et}{\mathop{\rm et }}
\newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }}
\newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }}
\newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }}
\newcommand{\si}{\mathop{\rm si }}
\newcommand{\re}{\mathop{\rm r\'e\'ecrire }}
\newcommand{\reu}{\mathop{\rm r\'eu }}
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\newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }}
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\begin{document}
 Maths Exos2:~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Complexes }}  \hfill 7/10/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		%     \vspace{0.4cm}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item 
Compl\'etez la r\'eponse suivante:

{\bf Question:}
Calculer les parties r\'eelle et imaginaire, le module et l'argument de
$(1-i)^5$.

{\bf R\'eponse:} 
On obtient successivement:

$|1-i|= \sqrt {2}$ 
					\hfill en appliquant \`a 
					$a:=1\in \rr$ et 
					$b:=-1\in \rr$
					la formule $|a+ib|= ............$
				
					
 $1-i=\sqrt {2}\,\Big(\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {i}{\sqrt {2}}\Big)$
					\hfill en appliquant \`a .......... 
					.......................... 
					.....................
					
		\hfill 		la formulede distributivit\'e $a(b-c)= ab-ac;$
				
				

$= \sqrt {2}\,\Big (\cos (-\dfrac {\pi}{4})+ i \sin (-\dfrac {\pi}{4})\Big)$
		\hfill en exploitant
$\dfrac {1}{\sqrt {2}}= ............$~~ et
$-~~\dfrac {1}{\sqrt {2}}=..............$
				
$=\sqrt {2}\,e^{-\frac {i\pi}{4}}$ ~(*)		
		\hfill en exploitant
$\cos \theta +i \sin \theta = e^{i\theta}$ pour $\theta := .........$.

\vspace {0.1cm}

$(1-i)^5=(\sqrt {2}\,e^{-\frac {i\pi}{4}})^5$
		\hfill en exploitant ......

$=(\sqrt {2})^5(e^{-\frac {i\pi}{4}})^5$
					\hfill en appliquant ...... 
					.......................... 
					.....................
					la formule $(ab)^c= a^cb^c.$


$=4\sqrt {2} \,e^{-\frac {5i\pi}{4}}$ ~(**)
					\hfill en exploitant
	la formule $(e^{i\theta})^n= e^{in\theta}$ 
	pour .............................. 
	%$\theta:=-\dfrac {\pi}{4}$ et $n:=5$.

\vspace {0.3cm}

	
On obtient alors le module et l'argument:

$|(1-i)^5|=4\sqrt {2}~~~$ et $\Arg\, (1-i)^5 =-\dfrac {5\pi}{4}~~[2\pi]$

					\hfill en appliquant  \`a ....... 
					.......................... 
					.....................
					les formules $|\rho e^{i\theta}|=\rho$
				et $\Arg (\rho e^{i\theta})=\theta \,[2\pi]$.

\vspace {0.3cm}


On obtient ensuite:

$(1-i)^5= 4\sqrt {2}\Big
(\cos (-\dfrac {5\pi}{4})+ i \sin (-\dfrac {5\pi}{4})\Big )$

						
		\hfill \`a partir de (**) en exploitant
$\cos \theta +i \sin \theta = e^{i\theta}$ pour $\theta := -\dfrac {5\pi}{4}$.

$=4\sqrt {2}\, \Big (-\dfrac {\sqrt{2}}{2}+ i \dfrac {\sqrt{2}}{2} \Big )$
		\hfill en exploitant
$\cos (-\dfrac {5\pi}{4}) = ........$ et
$\sin (-\dfrac {5\pi}{4}) = .......$.

$= -4+4i$ ~(***)
					\hfill en appliquant \`a ...... 
					.......................... 
					.....................
		
		\hfill 	la formule de distributivit\'e $a(b+c)= ab+ac.$
		
\vspace {0.3cm}

			
On obtient enfin les parties r\'eelles et imaginaires:

$\Rea((1-i)^5)=-4$ et $\Ima ((1-i)^5) =4$
							\hfill \`a partir de (***)
					en appliquant \`a

			\hfill 		.......................... 
					.....................
					les formules 
					$\Rea (a+bi)=a$
				et $\Ima (a+bi)=b$.



\item 

Voici un calcul de la partie  imaginaire de
$(2+i)^{-3}$.
Pour  chaque \'etape du calcul, indiquer la principale ressource utilis\'ee en 
pr\'ecisant les
arguments.

$\dfrac {1}{2+i}= \dfrac {2-i}{|2+i|^2}= \dfrac {2-i}{5}.$

$(2+i)^{-3}= \Big ( \dfrac {2-i}{5}\Big )^3 =  
\dfrac {(2-i)^3}{125}= \dfrac {8 -12i -6 +i}{125}= \dfrac {2-11i}{125}$

\item

Calculer les parties r\'eelle et imaginaire, le module et l'argument de
$(-1+i \sqrt{3})^{12}$ (seules les justifications donnent des points).


\item 
Citer la principale ressource, avec les arguments correspondants, 
permettant de justifier chacune des 
affirmations dans  la r\'eponse suivante:

{\bf Question:}
Calculer les racines cubiques de 
$(1+i)$.

{\bf R\'eponse:} 

On sait que $1+i$ a trois racines cubiques distinctes dont on note $\rho$ le 
module (commun) et $ \theta _0,  \theta _1,  \theta _2$ les arguments.

On a $|1+i|= \sqrt {2}$ et donc $\rho= \sqrt [3] { \sqrt 2}= 2^{ \frac {1}{6}}.$

On a ensuite
$1+i= 
\sqrt  {2}\Big (\dfrac { \sqrt {2}} {2}+ i  \dfrac { \sqrt  {2}}{2}\Big )= 
\sqrt {2} e^{\frac  {i\pi}{4}}$ et donc
$\Arg (1+i) = \dfrac  {\pi}{4}\, [2\pi]$.
Les arguments cherch\'es $\theta_k$ v\'erifient donc 
$3 \theta_k = \dfrac  {\pi}{4}\, [2\pi]$ et ce sont, pour $k=0, 1, 2$, ~~
$\theta_k = \dfrac  {\pi}{12}+ \dfrac  {2k\pi}{3} \, [2\pi]$.

\item

Calculer et dessiner les racines quatri\`emes de $8\sqrt{3}-8i$ 
(seuls les justifications et le dessin donnent des points).
             

\item 
Compl\'eter la r\'eponse suivante, et citer les ressources utilis\'ees en 
donnant les arguments:

{\bf Question:}
Calculer l'ensemble $E$ des points $z$ du plan complexe v\'erifiant \\
$\Rea (iz+2\overline z) \le 1 ~\et ~ |(1-i)z+3| > 2.$

{\bf R\'eponse:} 

Soit ..... un nombre complexe dont on note ..... et .... les parties r\'eelles
et imaginaires.

On obtient successivement:

$\Rea (iz+2\overline z) =\Rea (..............................................) =.................................................$

$  |(1-i)z+3| > 2  \ssi  |........||z+........| > 2  \ssi 
| z + \dfrac {3}{.........} | > \dfrac  {2}{..........} 
\ssi | z -  \, ...........| > \, ..........$

L'ensemble $E$ est donc     ..................................................  du demi-plan ..........................
d'équation  .......................................................   et du complémentaire du disque ......................... de centre
............................. et de rayon  ..............................

\item 

Calculer et dessiner l'ensemble des nombres complexes $z$ v\'erifiant  \\
$\Ima (iz+2\overline z) \ge 0 ~\ou ~|(3+4i)z+5| \le 4.$


\item \hfill {\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}

\begin{enumerate}
\item 
Calculer $\cos 5 \theta$ en fonction de $\cos \theta$.
\item

Pour quelles valeurs de $a \in \cc$~ l'\'equation $(a+i)z^2+z+a-i=0$~
a-t-elle deux racines
conjugu\'ees? deux racines imaginaires pures? 

\item 
Calculer $\cos \frac {2\pi}{5}$ (indication: r\'esoudre $z^5-1=0$).

\item
R\'esoudre $z^7=\overline {z}$.

\item
Combien y a-t-il de nombres complexes formant, dans le plan complexe, un
triangle \'equilat\'eral avec $2+i$ et $1+2i$? Les calculer.

\item
Trouver le minimum de $|z+\frac {1}{z}|$ quand $z$ varie dans $\cc^*$, et o\`u il
est atteint. Et si $z$ ne varie que dans $\rr$? M\^eme chose pour 
$|z-\frac {1}{z}|$.

\item
Trouver dans les livres comment on r\'esout l'\'equation du troisi\`eme degr\'e.


\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
                
                    





\newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }}
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\newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }}
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\newcommand{\et}{~\mathop{\rm et }~}
%\newcommand{\exp}{~\mathop{\rm exp }~}
\newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }}
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\baselineskip 2cm 
\begin{document}
   

M\'ethodo Exos~~~ \hfill 14/10/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
             

\begin{center}
{\Huge {\bf 
                      Extensions}}  

\end {center}              

             \vspace{0.4cm}

\begin{enumerate}
\item {\Large {\bf L'ensemble $\bb_\perp$}}

             \vspace{0.2cm}

a) Ecrire la table de vérité des connecteurs logiques non, et, ou, implique, ssi, nand.

b) Calculer $1=0 \ou 1>0$  $1=0 \imp 1>0$  $1\neq 0 \imp 1>0$  $1=0 \ssi 1<0$  $1=0 \ou 1>0.$ 

c) Etendre de fa\c{c}on pertinente et autant que possible le connecteur non

d) Etendre de fa\c{c}on pertinente et autant que possible le connecteur ou
\`a $\bb_\perp:= \bb \amalg \{\perp\}.$\\
Cette extension reste-t-elle symétrique? associative?

e) Etendre de fa\c{c}on analogue le connecteur et. Cette extension reste-t-elle distributive vis-à-vis du nouveau ou ? de l'ancien?

f) Etendre de fa\c{c}on analogue les connecteurs $\imp$ et $\ssi$. Reste-t-il vrai que  pour tous $X$ et $Y$ dans 
$\bb_\perp$, $(X \imp Y) \ssi (nonY \imp nonX)$? 

g) Remplacer $x$ par $0$ dans l'énoncé $(\sin \, 2x \neq 0 \imp \cotan x = \dfrac {1}{\tan x}$.
Pour quelles conventions pertinentes concernant  $\imp$,  cet énoncé $(\sin \, 2x \neq 0 \imp \cotan x = \dfrac {1}{\tan x}$ est-il vrai pour tout $x$ réel? 

            \vspace{0.4cm}




\item{\Large {\bf Les suites dans  $\rr_\perp$}}

             \vspace{0.2cm}


a) Expliquer quelles sont les suites $u$ et $v$ dans $\rr_\perp$ d\'efinies par
$u_n=\dfrac{1}{n-9}+\ln (2^n -n^9)$ et
$v_n=\dfrac {u_n}{n}$.

b) D\'efinir $\lim_\perp: (\nn \rar \rr_\perp) \rar \rr_\perp$. Calculer
$\lim_\perp u$ et $\lim_\perp v$.

c) Etendre les ressources concernant la limite d'une somme et d'un produit et 
expliquer pourquoi on se méfie de la convention $ 0 \times \perp =0$.

             \vspace{0.4cm}

\item{\Large {\bf La d\'erivation dans  $\rr_\perp$}}

             \vspace{0.2cm}


a) Expliquer quelle est la d\'eriv\'ee dans $\rr_\perp$ de la fonction valeur
absolue.

b) D\'efinir la d\'erivation 
$der_\perp: (\rr _\perp \rar \rr_\perp) \rar (\rr_\perp \rar \rr_\perp)$. 

c) Etendre les ressources concernant la d\'eriv\'ee d'une somme, d'un produit, d'un carré. Donner une nouvelle raison de se méfier de  la convention $ 0 \times \perp =0$.

d) Qu'est-ce qu' une fonction ind\'efiniment d\'erivable?

\end{enumerate}

\end{document}
\end {enumerate}
\end{document}


\item 

Indiquer les ressources qui justifient le calcul suivant, en pr\'ecisant les
arguments, et les in\'egalit\'es qu'il faut v\'erifier:


$\sqrt {1+\sqrt {1+\sqrt 2}} < \dfrac {1+\sqrt 2}{2} ~~
\ssi ~1+\sqrt {1+\sqrt 2} < \dfrac {3+2\sqrt 2}{4}~~
\ssi~ 4\sqrt {1+\sqrt 2} < 2\sqrt 2 -1      \\
\ssi ~~~16(1+\sqrt 2) < 9-4\sqrt 2~~~
\ssi~~~ 20\sqrt 2 < -7$.

%\vspace {0.3cm}
 

\newpage


\item
 Pour $m$ r\'eel, comparer 
$3+\sqrt {13+3m} ~\et~ 3+m+\sqrt{13}$ 
(seules les justifications donnent des points).


\vspace {0.4cm}
 

\item 

a) Compl\'etez la r\'eponse suivante:
%, en ne mentionnant que des intervalles de monotonie maximaux:

{\bf Question:}
Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, majorer $\dfrac{x^3- \pi x}{5-x}$.

{\bf R\'eponse:}

Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, on obtient:

(1) ~~$x^3 \le 8$  \hfill car $y \mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~$ est croissante sur 
$\rr$ (arguments $ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$);

(2) ~~$-\pi x \le 12$ \hfill car $y \mapsto -\pi y$ est  
$ \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$ sur $\rr$ 
(arguments $ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$) et 
$\_~~\_~~\_~~\_~~\le 12$;

(3) ~~$x^3 -\pi x \le 20$ \hfill en ajoutant (1) et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$;

(4) ~~$5-x \ge 3$  \hfill car $y \mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~$ est d\'ecroissante 
sur $\rr$ 
(arguments 
$ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$
);

(5) ~~$\dfrac{x^3- \pi x}{5-x} \le \dfrac {20}{3}$
\hfill car on peut diviser (3) par (4) puisque 
$ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$
 sont positifs;

b) Expliciter les ressources auxquelles on fait  allusion quand on parle 
d'ajouter ou de diviser
des in\'egalit\'es.
		     
		     \vspace{0.4cm}



\item

Donner les justifications manquantes.

{\bf Question:}
Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, majorer $\dfrac{x^2+5}{x-3}$ par un nombre n\'egatif.

{\bf R\'eponse:} Pour $x$ dans  $[-3, 2]$, on obtient successivement

$3-x \le 6$,  ~~~$x^2 + 5 \ge 5$, ~~~$\dfrac{x^2+5}{3-x} \ge \dfrac {5}{6}$,  
 ~~~ et $~~~\dfrac{x^2+5}{x-3} \le -\dfrac {5}{6}$.
 
		     \vspace{0.4cm}


 \item
 
 Pour $x$ dans  $[-3, \ln \frac {\pi}{2}]$, majorer 
 $\dfrac{x^2+ \sin x + x}{\sin e^x }$ par un entier.
 
		     \vspace{0.4cm}


 \item
 
 D\'emontrer l'\'enonc\'e de division des in\'egalit\'es mentionn\'e plus haut.
					

		     \vspace{0.9cm}



\item \hfill {\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}



		     \vspace{0.4cm}


a) 
Comparer $~~ \frac{\pi}{3}-\frac{\pi^3}{648} ~\et ~1.$

b) Calculer
$\min (3^{\pi}, \pi^{3}).$ 

c) Comparer $\sin^2 (\pi(2+\sqrt 3)^{1000})$ et $10^{-1000}.$

d) Pour $x$ r\'eel, comparer $2^x$ et $x^2.$

e) Ici, $x= 0,001$. Encadrer finement $\sin (\pi ^{1+x})+ \sin (\pi ^{1-x}).$

f) Comparer $0,\, 9,\, 0,9, \,0,\overline{9}, \,0,\overline{99}, \,0,99$, et $1$.
 
 
\end{enumerate}
\end{document}
				
					
