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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 Maths Exos3~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Etude de fonctions }}  \hfill 14/10/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		     \vspace{0.6cm}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item {\Large{\bf Calculer un tableau de variations }} 


Dans la r\'eponse suivante, donner pour chaque ligne, l'\'el\'ement de
justification qui vous para\^{\i}t le plus important.

{\bf Question:}
Calculer le maximum de la fonction
$f$ d\'efinie par
    $f(x)=\frac {x-1}{x^2+8}$.

{\bf R\'eponse:} 


Calcul du signe de  $f'$: on a $f'(x)= \dfrac {  x^2+8 -2x (x-1)}{(x^2+8)^2}$ 
et donc\\
$f'(x)$ est du signe de $-x^2+2x +8$,\\
qui est positif entre ses racines $-2$ et $4$, et n\'egatif ailleurs.\\


Le TV de $f$ est donc le suivant:
$$\begin{array}{|c|rccccccccl|}
\hline
x& -\infty&&-2&&4&&+\infty\\
\hline

f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow\\
\hline
\end {array}
$$

On v\'erifie que $f(4)$ est \'egal \`a $\frac {3}{24}$ \\
et sup\'erieur \`a la
limite de $f$ en $-\infty$, donc le maximum de $f$ est $\frac {3}{24}$.

             \vspace{1cm}
    
 

\item
   {\bf Calculer }le maximum et le minimum de la fonction
$f$ d\'efinie par
    $f(x)=\frac {-1}{x^2+8}$.


             \vspace{3cm}
    
    \item \hfill {\bf \Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}

    \begin{enumerate}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
 Etudier (domaine de d\'efinition, variations, concavit\'e, branches
        infinies, position par rapport aux asymptotes \'eventuelles)
        le graphe de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=xe^{-x^2/2}$. 
Calculer son minimum. Trouver les points d'inflexion. 
 Montrer  que, pour $x\ge  4$, on a $f(x) \leq \dfrac{1}{2^6}$.

    \item
    Etudier (totalement) les  fonctions 
    $~~~~x^ae^{bx},
    ~~~~\dfrac {ax+b}{cx+d}, ~~~~\dfrac {ax^2+bx+e}{cx+d}$. 
    
        \item 
    Discuter les branches infinies du graphe de la fonction $\dfrac
    {P(x)}{Q(x)}$, o\`u $P$ ~et~$Q$ sont deux polyn\^omes \`a coefficients
    r\'eels.


   \end{enumerate}
   
   \newpage
 

\item {\Large{\bf Etudier les branches infinies}} 

Dans la r\'eponse suivante, donner pour chaque ligne, l'\'el\'ement de
justification qui vous para\^{\i}t le plus important, en corrigeant les fqutes
de frappe \'eventuelles.

{\bf Question:}
Etudier une branche infinie de la fonction $f$ d\'efinie par 
$f(x)=1+x+ \sqrt{x^2-5x+6}.$


{\bf R\'eponse:} 

On \'etudie $f(x)$ quand  $x$ tend vers l'infini dans l'intervalle 
$[3, +\infty\,[$, sur lequel $f$ est bien d\'efinie.

Calcul de lim$f$: on a $f(x) \ge x$ et 

on en d\'eduit que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

Calcul de lim $\dfrac {f(x)}{x}$: on a 
$\dfrac {f(x)}{x}= \dfrac {1}{x} + 1 +\dfrac { \sqrt{x^2-5x+6}}{x}$.
Et $\dfrac { \sqrt{x^2-5x+6}}{x}= \sqrt{1- \dfrac {5}{x}+ \dfrac {5}{x^2} }$.

On a lim  $\dfrac {5}{x}=$ lim$ \dfrac {5}{x^2} =0;$ et donc

lim $\Big (1- \dfrac {5}{x}+ \dfrac {5}{x^2}\Big)=1$; puis

lim $ \Big (\sqrt{1- \dfrac {5}{x}+ \dfrac {5}{x^2} }\Big )=1$; et finalement

lim  $\dfrac {f(x)}{x}=2.$

Calcul de lim $(f(x) -2x)$. 

On a  $f(x) -2x=  \sqrt{x^2-5x+6} - (x-1) =
\dfrac {  x^2 -5x +6 - (x-1)^2   }{ \sqrt{x^2-5x+6} + (x-1) }= 
\dfrac {  -3x +5 }{ \sqrt{x^2-5x+6} + (x-1) } $;
 
 et donc
$f(x) -2x= \dfrac {  -3 +\frac {5}{x} }{ \sqrt{1-\frac {5}{x}+\frac {6}{x^2}} 
+ (1-\frac{1}{x}) } $, 

et
lim $(f(x) -2x)= -\dfrac {3}{2}$.

Calcul du signe de  $f(x) -2x+\dfrac {3}{2} $.  
On a  $f(x) -2x+\dfrac {3}{2}= 
\dfrac {  -6 +\frac {10}{x}+3( \sqrt{1-\frac {5}{x}+\frac {6}{x^2}} + (1-\frac{1}{x}) }
{2 \sqrt{1-\frac {5}{x}+\frac {6}{x^2}} +2 (1+\frac{1}{x})) } $.

Donc  $f(x) -2x+\dfrac {3}{2} $ a le m\^eme signe que 
$ g(x):= -6 +2\frac {5}{x}+3( \sqrt{1-\frac {5}{x}+\frac {6}{x^2}} + 
(1-\frac{1}{x}))$.

On a $g(x)= 3 \sqrt{1-\frac {5}{x}+\frac {6}{x^2}} -(3 +\frac{1}{x})$ et donc 

$g(x)$ a le m\^eme signe que $9(1-\frac {5}{x}+\frac {6}{x^2}) -
(3 +\frac{1}{x})^2$ 

ou encore que $\dfrac {5-25x}{x^2},$

qui est n\'egatif pour $x$ suffisamment grand.

Conclusion: le graphe de $f$ admet la droite d'\'equation $y=2x -\dfrac {3}{2}$ pour asymptote inf\'erieure.

            \vspace{1cm}

 
\item 


{\bf Etudier} la branche
	infinie (avec la position par rapport \`a l'asymptote \'eventuelle)
	du graphe de la fonction $f$ d\'efinie sur $[0' \, +\infty[$
	par $f(x)=\pi x -1
	-\sqrt{x^2+x+5}$. 




\end{enumerate}

\end{document}
             \vspace{0.6cm}

    
    
    \item \hfill {\bf \Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}

    \begin{enumerate}
    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    \item
    Etudier (totalement) les  fonctions 
    $~~~~\Ch, ~~~~\Sh, ~~~~\Th, ~~~~x^ae^{bx},
    ~~~~\dfrac {ax+b}{cx+d}, ~~~~\dfrac {ax^2+bx+e}{cx+d}$. 
    
        \item 
    Discuter les branches infinies du graphe de la fonction $\dfrac
    {P(x)}{Q(x)}$, o\`u $P$ ~et~$Q$ sont deux polyn\^omes \`a coefficients
    r\'eels.

    \item
    Calculer $\Ch^2 x- \Sh^2 x$, puis $\Ch(x+y)$ et $\Sh (x-y)$ en fonction
    de $\Ch x,\Ch y, \Sh x, \Sh y.$ En d\'eduire $\Th (x+y)$ en fonction de
    $\Th x$ et $\Th y$.



\end{enumerate}
\item {\Large{\bf Calculer le tableau de variations}} \hfill de la fonction
 suivante:
	
	$$x^3-6x^2+11x-6,
	  ~~~~\frac {x-1}{x+2}, ~~~~\frac {x ^2+1}{x-1}, ~~~~\frac {x^3+1}{x^2-3x+2},
	~~~~\frac {1}{x^2+1},~~~~\frac {1}{(x^2+1)^5},$$
	
	
	 $$ x^a, ~~~~x^ae^x, ~~~~\frac {x}{\ln x}, ~~~~\Ch x:= \frac {e^x+e^{-x}}{2}, 
	~~~~1+x+ \sqrt{x^2-5x+6}\, . $$ 
	
		     \vspace{0.6cm}


\item {\Large{\bf Etudier les branches infinies}} \hfill 
du graphe de la fonction suivante:

	$$ 2x^3-x^2+2x-1,  ~~~~\frac {x-1}{x+2},  ~~~~\frac {x^3+1}{x-1}, 
	~~~~\frac {x^3+1}{x^2-3x+2}, ~~~~\frac{ex^6-x^4+\sin x}{2x^5-3x^4+\ln x},$$
	
	$$\Sh x:= \frac {e^x-e^{-x}}{2}, ~~~~\Th x:= \frac {\Sh x}{\Ch x},
	~~~~\frac {1}{(x^2+1)^5}, ~~~~x+\frac {1}{\sqrt {x^2+1}}\, .$$

		     \vspace{0.6cm}

	
	\item {\Large{\bf Dessiner le graphe}} \hfill de la fonction suivante:
	
	 $$ x^a, ~~~~x^ae^x, ~~~~\frac {x}{\ln x}, ~~~~\Ch x:= \frac {e^x+e^{-x}}{2}, 
	~~~~1+x+ \sqrt{x^2-5x+6}\,. $$ 

		     \vspace{0.6cm}


 
\item {\bf \Large {\bf La totale}} \hfill {\bf Extrait du contr\^ole de novembre 00}

\begin{enumerate}
\item
 Etudier (domaine de d\'efinition, variations, concavit\'e, branches
        infinies, position par rapport aux asymptotes \'eventuelles)
        le graphe de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)=xe^{-x^2/2}$. 

\item
 Pr\'eciser o\`u est
        atteint son minimum et combien il vaut.

        %c) O\`u sont les points d'inflexion? Combien vaut $f'$ en ces points?

\item
 Tracer le graphe. Pr\'esente-t-il une sym\'etrie?

\item
 Montrer  que, pour $x\ge  4$, on a $f(x) \leq \dfrac{1}{2^6}$.
\end{enumerate}
		     \vspace{0.6cm}

	
	\item \hfill {\bf \Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}

	\begin{enumerate}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\item
	Etudier (totalement) les  fonctions 
	$~~~~\Ch, ~~~~\Sh, ~~~~\Th, ~~~~x^ae^{bx},
	~~~~\dfrac {ax+b}{cx+d}, ~~~~\dfrac {ax^2+bx+e}{cx+d}$. 
	
		\item 
	Discuter les branches infinies du graphe de la fonction $\dfrac
	{P(x)}{Q(x)}$, o\`u $P$ ~et~$Q$ sont deux polyn\^omes \`a coefficients
	r\'eels.

	\item
	Calculer $\Ch^2 x- \Sh^2 x$, puis $\Ch(x+y)$ et $\Sh (x-y)$ en fonction
	de $\Ch x,\Ch y, \Sh x, \Sh y.$ En d\'eduire $\Th (x+y)$ en fonction de
	$\Th x$ et $\Th y$.



\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
