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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}
 Maths Exos4~~~{\Huge {\bf 
                      ~Fonctions r\'eciproques }}  \hfill 21/10/02 ~TC\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\item {\Large {\bf Calculer une fonction r\'eciproque}}
	
a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis
 rectifier les erreurs \'eventuelles 
dans la r\'eponse suivante. Enfin 
donner, pour chaque affirmation, le compl\'ement de
justification qui vous para\^{\i}t le plus important.

 {\bf Question:}	 Soit $f:= x\longmapsto(x+1)\sqrt{x+1} +2.$ Calculer
le domaine de d\'efinition, l'image et la d\'eriv\'ee de $f$. 
Montrer que $f$ admet une r\'eciproque $f^{-1}$, calculer cette r\'eciproque 
et sa d\'eriv\'ee.

{\bf R\'eponse:} 


Pour $x$ r\'eel quelconque, on a 
$f(x)\neq \bot \ssi 
(x+1)\sqrt{x+1} \neq \bot \ssi 
\sqrt{x+1} \neq \bot \ssi 
x+1 > 0.$ 
Le domaine de d\'efinition de $f$ est donc l'intervalle $[-1, \, + \infty[$.
Elle est strictement croissante sur cet intervalle en vertu des r\'esultats 
concernant le sens de variation des sommes et produits. Comme elle est 
d\'erivable et que sa limite en $+\infty$ est 
$+\infty$, son image est l'intervalle $[2, \, + \infty[$. La d\'eriv\'ee de 
$f$ sur $[-1, \, + \infty[$ est donn\'ee par la formule 
$f'(x)= \frac {3}{2}\sqrt{x+1} $ qui est bien strictement positive \`a part en 
$0$. Le th\'eor\`eme d'inversion assure que $f$ admet une fonction 
r\' eciproque d\'efinie sur 
l'intervalle $[-1, \, + \infty[$ qui est strictement croissante. Pour calculer 
sa valeur en $y \ge 2$, on r\'esout l'\' equation $f(x)=y$ \`a l'inconnue 
$x \in [-1, \, + \infty[$. On a

 $(x+1)\sqrt{x+1} +2=y  \ssi
 (x+1)\sqrt{x+1} = y-2 \ssi
(x+1) = (y-2)^ {\frac {2}{3} } \ssi
x = (y-2)^ {\frac {2}{3} } -1$.
La fonction r\'eciproque est donc d\'efinie pour $y \ge 2$ par $f^{-1}(y)= (y-2)^ {\frac {2}{3} } -1$.
Elle est donc d\'erivable sur $]2, \, + \infty[$, avec pour $y > 2$,  
$(f^{-1})'(y)= \frac {2}{3}(y-2)^ {-\frac {1}{3} }$.

b) Soit $f:=\,x\longmapsto x+\sqrt{x+1}.$ Calculer
le domaine de d\'efinition, l'image et la d\'eriv\'ee de $f$. 
Montrer que $f$ admet une r\'eciproque $f^{-1}$ puis calculer cette 
r\'eciproque et sa d\'eriv\'ee.

\vspace{0.6cm}	

\item{\Large {\bf Calculer la d\'eriv\'ee d'une fonction r\'eciproque}}
	
a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis
 rectifier les erreurs \'eventuelles 
dans la r\'eponse suivante. Enfin 
donner, pour chaque affirmation, le compl\'ement de
justification qui vous para\^{\i}t le plus important.

 {\bf Question:}
Quelles sont les domaines de d\'efinition des fonctions inverses de la fonction
\\
$f=x \mapsto x^3-3x +1$?
Quelles sont les valeurs et les d\'eriv\'ees de ces fonctions en $y=1$?

{\bf R\'eponse:} 


Le tableau de variation de $f$ fait appara\^ \i tre trois intervalles maximaux 
de 
stricte monotonie qui sont $]- \infty, \, -2[$,  $]- 2, \, +2[$ et 
$]+2, \, + \infty[$, d'images respectives  $]- \infty, \, 2[$,  $]- 2, \, +2[$ et 
$]-2, \, + \infty[$. La valeur $1$ est prise respectivement en $-3, \, 0$ et 
$3$, qui sont donc les valeurs prises en $1$ par les trois fonctions 
r\'eciproques. La  d\'eriv\'ee de $f$ en ces trois points vaut respectivement 
$2, \, -3$ et $2$, ce qui fait que la d\'eriv\'ee en $1$ de ses fonctions 
r\'eciproques vaut respectivement $\frac {1}{2}, \, -\frac {1}{3}$ et 
$\frac {1}{2}$.


b) Quelles sont les domaines de d\'efinition des fonctions inverses de la fonction 
$f:=x \mapsto x^3-3x^2 +1$? Dessiner les graphes de toutes ces fonctions.
Quelles sont les valeurs et les d\'eriv\'ees de ces fonctions en $y=-1$?

\newpage
	
	\item{\Large {\bf Calculer un d\'efaut de r\'eciprocit\'e}}
	
a) Esquisser le graphe des fonctions dont il est question puis
 rectifier les erreurs \'eventuelles 
dans la r\'eponse suivante et 
donner, pour chaque affirmation, le compl\'ement de
justification qui vous para\^{\i}t le plus important.

 {\bf Question:}
Calculer $\Arcsin (\sin \frac{25}{2})$.

{\bf R\'eponse:} 
On a $4\pi \le \frac{25}{2} \le 5\pi$, donc 
$\sin(\frac{25}{2})= \sin(\frac{25}{2})-4\pi$ avec
$0 \le \frac{25}{2}-4\pi \le \pi$. Donc 
$\Arcsin (\sin \frac{25}{2})=\sin(\frac{25}{2})-4\pi.$

b) Calculer $\Arcsin (\sin 22/7)$, $\Arccos (\cos 22/7)$, 
	$\Arctan (\tan 22/7)$ et $\Arcsin (\cos 22/7)$. 
	
	\vspace{0.6cm}
\item{\Large {\bf Petit rab}}
	\begin{enumerate}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
Calculer $f^{-1} (1)$ et $(f^{-1})' (1)$ pour $f:= x \mapsto x+\frac{1}{x^2+1}$.
	\item 
Calculer la r\'eciproque de $x \mapsto e^{x^3+1}$.
\end{enumerate}
	
	\vspace{0.6cm}

	\item \hfill{\Large {\bf E-T}}
	\begin{enumerate}
	\item
Pour quelles valeurs du r\'eel $m$ la fonction $x^3+mx +1$ admet-elle une
fonction r\'eciproque sur $\rr$? Pour lesquelles de ces valeurs cette fonction
r\'eciproque est-elle d\'erivable? Calculer sa d\'eriv\'ee en $0$ ou en $1$.
Expliquer votre choix.
	
 \item 
Pour quelles valeurs du r\'eel $m$ la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle
$]1,+\infty[$ par $$f(x)=mx^3+3x +m$$ admet-elle une
fonction r\'eciproque? Pour lesquelles de ces valeurs cette fonction
r\'eciproque est-elle d\'erivable? Pour $1<m<2$, calculer, au choix, 
sa d\'eriv\'ee en $7$ ou en $9m+6$.
Expliquer votre choix.


	\item 
	Discuter le probl\`eme de la
	 fonction r\'eciproque pour $f(x)= \frac {ax+b}{cx+d}$.
	\end{enumerate}\end{enumerate}
\end{document}
.
