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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 Maths Exos5~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Fonctions continues }}  \hfill 4/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\item {\Large {\bf Reconna\^{\i}tre une fonction continue}}
	 
\vspace{0.4cm}	

a) Compl\'eter la r\'eponse suivante.


Expliquer o\`u et pourquoi la fonction $x \mapsto |\ln (x \sqrt 5 + \sqrt{x^2-5x+6})|$ est continue: 

~

Cette fonction est de la forme $f_0 \circ f_1 \circ (f_2 + f_3 \circ f_4)$ avec 
$f_0 =  ..............., 
f_1 =  ..............., 
f_ 2=  ..............., 
f_ 3=  ..............., 
f_ 4=  ...............$.
C'est donc une combinaison de fonctions usuelles continues
et par cons\'equent elle est 
continue sur son domaine de d\'efinition, qui est la r\'eunion de ................... avec 
......................


b) 
Expliquer o\`u et pourquoi les fonctions suivantes sont continues: 
\hfill	$x \mapsto |x^3-6x^2|-|11x-6|$

$x \mapsto \frac {|x-1|}{\sqrt{x}-2},$ ~~~
	$x \mapsto  |x|^\frac{1}{3}$, ~~~  $x \mapsto \frac{x}{|\ln ~x|}$, 
~~~$x \mapsto \cos \sqrt {-x}$, ~~~
$x \mapsto \Arcsin |x^2-1|$, ~~~ $x \mapsto x+\frac {1}{\sqrt {e^{-x}- x^2}}$ , ~~~
	$x \mapsto \Arccos |2x^2-1|$.

		     \vspace{0.6cm}

\item{\Large {\bf Reconna\^{\i}tre une discontinuit\'e}}
	 
\vspace{0.4cm}	

a) Compl\'eter les r\'eponses suivantes et citer les ressources utilis\'ees pour conclure.

i) Montrer que la fonction $f$ qui vaut $0$ sur $]-\infty, 0[$ et $1$ sur
$[0, + \infty[$ est discontinue en $0$.

La limite de $f(x)$ pour $x$ tendant vers $0$ par valeurs n\'egatives vaut .......
et par cons\'equent diff\`ere de ........... qui vaut $1$. Il s'ensuit que $f$ 
est discontinue (\`a gauche) en $0$ .

ii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par 
$f(x)= \dfrac{1}{x}\, \si \,x \neq 0 \,\et \,0 \,\sinon\,$ est discontinue en $0$.

La limite de $f(x)$ pour $x$ tendant vers $0$ par valeurs positives vaut .......
et par cons\'equent $f$ est discontinue (\`a droite) en $0$ .

iii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par 
$f(x)= \cos \dfrac{1}{x}$ n'a pas de prolongement continu en $0$.

On consid\`ere les suites $u:= n \mapsto \dfrac{1}{2n \pi}$ et 
$v:= n \mapsto \dfrac{1}{(2n+1) \pi}$ qui tendent toutes les deux vers .......
La limite de $f(u_n)$ est ........ tandis que celle de $f(v_n)$ est .........
Il s'ensuit que $f$ n'a pas de prolongement continu en $0$.


b) 

i) Montrer que la fonction $f := x \mapsto x E(x)$ est discontinue en $1$.

ii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par 
$f(x)= \cos x \ln x \si \,x > 0 \,\et \,0 \,\sinon\,$ est discontinue.

iii) Montrer que la fonction $f$ d\'efinie par 
$f(x)= e^x\sin \dfrac{1}{x}$ n'a pas de prolongement continu en $0$.
	\end{enumerate}
\end{document}


c) Existe-t-il une fonction d\'efinie sur $[-1, +1]$, continue en $0$ et valant,
 pour $x$ diff\'erent de $0$:\\
~~~~~~~~$~~~~~~~~~~~~~~~x/\vert x \vert$;~~~~~~~~~~
~~~~~ $\cos(1/x)$; ~~~~~~~~~~~~~~ $x\sin(1/x)$.

d) Dessiner le graphe de la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= {\bf\si} \,x \in \zz\,
{\bf \alors} \,x \,{\bf\sinon }\,|x|\,$. \\O\`u est-elle discontinue?

		     \vspace{0.6cm}
	
	\item{\Large {\bf Compl\'eter une preuve}}
	 
\vspace{0.4cm}	

	
	Th\'eor\`eme: La somme de deux fonctions continues en un point est aussi
	continue en ce point.
	
	Preuve. Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $I$,
	et continues en un point $a$ de $I$ et soit  $n \mapsto u_n$ 
	une suite de nombres de $I$ tendant vers $a$. Nous devons montrer que
	la suite $n\mapsto ~~~~~~~~~~~~~~~~~$ converge vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	Cette suite est \'egale \`a 
	la somme de la
	suite $~~~~~~~~~~~~~~~~$ et de la suite $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ qui, d'apr\`es
	l'hypoth\`ese, convergent vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	En appliquant le th\'eor\`eme sur la limite d'une
	somme de suites, on obtient que notre suite converge vers $~~~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~$. Il
	ne reste qu'\`a observer que ce nombre est bien \'egal \`a $~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~~~~~$.
	
	
	
	
	
	  	
	
	\vspace{0.6cm}
\item {\Large {\bf Rab et r\'evisions}}

\vspace{0.3cm}	\begin{enumerate}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
\item 
	
	Trouver un r\'eel $M$ v\'erifiant $|\frac{\tg x}{\ch x}| \leq M$ pour
	$|x| < 1$.
	\item
	
	Calculer $\Arcsin \sin 8$.
\item 

 D\'eterminer $\alpha$ pour que la fonction 
d\'efinie par $f(x)=x+1$ si $x\leq 1$, $f(x)=3-\alpha x^2$ si $x>1$ 
soit continue. Dans ce cas, la fonction est-elle d\'erivable?

	\item  
Etudier la continuit\'e de la fonction "partie enti\`ere", not\'ee $E$,
d\'efinie sur $\rr$ et caract\'eris\'ee par:
$E$ est nulle sur $[0,1[$ et pour tout $x$ r\'eel, $f(x+1)$ \'egale $f(x)+1$.
	\item
Soit $h$ une fonction continue sur $[0,1]$. A quelle condition existe-t-il une
fonction $f$ 	prolongeant $h$ \`a $\rr$ tout entier et
v\'erifiant,  pour tout $x$ r\'eel, $f(x+1)=f(x)+1$ (resp. $f(x+1)=2f(x)$)?
	
\item 
	
	Trouver un r\'eel $M$ v\'erifiant $|\frac{\tg x}{\ch x}| \leq M$ pour
	$|x| < 1$.
	\item
	
	Calculer $\Arcsin \sin 8$.
\item
Discuter suivant les valeurs de $m$ le nombre de solutions de l'\'equation
$x^3 +x^2-x=m$.
\item 
Les fonctions $\sqrt {3x+ \sqrt {2x+1}}$ et $\sqrt{2x+ \sqrt {5x+1}}$ sont-elles
comparables sur $[\frac{1}{2}, 1000]$?

	\end{enumerate}\end{enumerate}
\end{document}
