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\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}

 Maths Exos6~{\Huge {\bf 
                      ~D\'eveloppements limit\'es }}  \hfill 18/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
	
	\vspace{0.5cm}


\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

	\item {\Large {\bf D\'emontrer l'existence d'un d\'eveloppement limit\'e}}
	
	\vspace{0.5cm}


a) Compl\'eter la r\'eponse suivante, puis \'ecrire les $DL_2$ des $f_i$ qu'il 
faut utiliser pour calculer le $DL_2$ de
$f$ en $1$. 


{\bf Question}

Expliquer pourquoi la fonction 
$f:=x \mapsto |\ln (x \sqrt 5 +\sqrt{x^2-5x+6})-8|$ 
admet un $DL_\infty$ en $1$: 

{\bf R\'eponse}
Cette fonction est de la forme $f_0 \circ f_1 \circ (f_2 + f_3 \circ f_4)$ avec 
$f_0 =  ..............., ~~~\\
f_1 =  ..............., ~~~
f_ 2=  ..............., ~~~
f_ 3=  ..............., ~~~
f_ 4=  ...............$.

Les fonctions $f_2$ et $f_4$ sont des ............... et donc
admettent un $DL_\infty$ en $1$. La fonction $f_3$ admet un $DL_\infty$ en 
$f_{4}(1)$ qui vaut ............... et qui est donc bien  ......................
La fonction $f_1$ admet un $DL_\infty$ en 
............. qui vaut ................. et qui est donc bien  .......................
Enfin la fonction $f_0$ admet un $DL_\infty$ en 
................. qui vaut .......... et qui est donc bien  .......................
Le th\'eor\`eme de combinaison des $DL$ assure que $f$ admet un $DL_\infty$ en
$1$.

	
	\vspace{0.5cm}


b) 
Expliquer o\`u et pourquoi les fonctions suivantes admettent un $DL_\infty$:
 
$x \mapsto |x^3-6x^2|-|11x-6|, ~~~x \mapsto \frac {|x-1|}{\sqrt{x}-2},$ ~~~
	$x \mapsto  |x|^\frac{1}{3}$, ~~~  $x \mapsto \frac{x}{|\ln ~x|}$, 
~~~$x \mapsto \cos \sqrt {-x}$, ~~~
$x \mapsto \Arcsin |x^2-1|$, ~~~ $x \mapsto x+\frac {1}{\sqrt {e^{-x}- x^2}}$ , ~~~
	$x \mapsto \Arccos |2x^2-1|$.
	
	\vspace{0.5cm}



c) Ecrire les $DL_2$ utiles pour calculer les $DL_2$ suivants


\begin {tabular}{llllll}	
en	$0$		&\`a l'ordre  $3$	&de la fonction	 $e^{\cos x};$
&en	$\dfrac{\pi}{2}$	&\`a l'ordre  $2$	&de la fonction	 $e^x\cos x$;\\
en	$2$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $(\ln(1+x)))^{\frac {1}{2}};$
&en	$1$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $\dfrac {\ln x}{1+x^2+x^4}$\\
\end {tabular}
\vspace{0.5cm}


	\item {\Large {\bf Calculer un d\'eveloppement limit\'e}}
	 
\vspace{0.4cm}


%\vspace{0.2cm}
Calculer le d\'eveloppement limit\'e:

\begin {tabular}{llllll}	
en	$0$		&\`a l'ordre  $3$	&de la fonction	 $e^x{\cos
2x}-x^2;$
&en	$\dfrac{\pi}{2}$	&\`a l'ordre  $2$	&de la fonction	 $e^x\cos x$;\\
en	$2$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $(\ln(1+x)))^{\frac {1}{2}};$
&en	$1$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $\dfrac {\ln x}{1+x^2+x^4}.$\\
\end {tabular}
\vspace{0.5cm}
\item{\Large {\bf Calculer des limites et des signes}}

\vspace{0.4cm}


 Soit $f$ d\'efinie sur $]-\pi/2,\pi/2[-\{0\}$ par 
$f(x)=\dfrac{e^{\sqrt{1+\sin x}} - e}{\tan x}$.\\

\vspace{0.2cm}

Calculer le d\'eveloppement limit\'e d'ordre 3 en 0 de 
$e^{\sqrt{1+\sin x}} - e$. Montrer que $f(x)$ admet une limite $\ell$ quand
$x$ tend vers 0.
On pose $f(0)=\ell$; montrer que la fonction $f$ ainsi \'etendue 
est d\'erivable en 0 et
pr\'eciser la position du graphe de $f$ par rapport \`a sa tangente en 0.

	\end{enumerate}
\end{document}

\newpage

\vspace{-0.2cm}


\vspace{0.5cm}
	
\item{\Large {\bf Compl\'eter une preuve}}
	
	Th\'eor\`eme: Le d\'eveloppement limit\'e de la somme est la somme des
	d\'eveloppements limit\'es.
	
	Preuve.  Soit donc $I$ un
	intervalle (non r\'eduit \`a un point) de $\rr$, $a$ un point de $I$, et $n$ un entier
	
	~
	
	naturel. On suppose que  $f$ et $g$ sont deux
	fonctions d\'efinies sur ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ et admettant
	pour
	
	~
	
	d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ respectivement
	le polyn\^ome $P$ et
	le polyn\^ome $Q$ (qui sont donc 
	
	~
	
	de degr\'e au plus ~~~~~~~~~). Il nous
	faut montrer que la fonction $f+g$ admet
	pour
	d\'eveloppement 
	
	~
	
	limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ le polyn\^ome $P+Q.$
	Nos hypoth\`eses signifient que le quotient 
	$\epsilon'(x):=\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^n}$
	
	~
	
	tend vers z\'ero quand $x$ tend vers ~~~~~~~~ en restant dans ~~~~~, de
	m\^eme que  $\epsilon "(x):=$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~. 
	
	~
	
	Ce qu'il 
	nous faut
	prouver est que le quotient 
	$\epsilon(x):=\frac {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{(x-a)^n}$ tend vers z\'ero dans
	les m\^emes 
	
	~
	
	conditions, ce qui r\'esulte du th\'eor\`eme sur la limite 
	~~~~~~~~~~~~~~~~~~, car on v\'erifie facilement que $\epsilon(x)$ 
	
	~
	
	est la
	somme de ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.

\vspace{0.5cm}
	
\item \hfill {\Large {\bf E-T}}
	
		
	Existe-t-il une fonction $f$ d\'erivable sur $\rr$ dont le $DL_2$ en $a$
	est, pour tout $a$, de la forme suivante:\\
	 $c+d(x-a);$ 
~~~~$c+d(x-a)^2;$ ~~~~
$c+2(x-a)+d(x-a)^2; $ ~~~~ $c+d(x-a)+\pi(x-a)^2$. 
	\end{enumerate}
\end{document}	
	%\vspace{0.6cm}
\begin{center}{\bf Rab et r\'evisions}
\end{center}
%\vspace{0.6cm}	
\begin{enumerate}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	\item
	
	Calculer la fonction r\'eciproque de la fonction $f$ d\'efinie sur
	$[-1, 0]$ par $f(x)=2 -\sqrt{1-x^2}$.
\item 
Majorer grossi\`erement $\frac{e^{9\Arccos x}}{e^{9\Arctg x}}$ pour $x$ entre
$0$ et $1$.
\item 
	
	Etudier la continuit\'e de la fonction $f$ qui vaut $1$ sur les rationnels
	et z\'ero sur les irrationnels. Soit $g$ une fonction continue sur
	$\rr$. Etudier la continuit\'e de $f+g$ et de $fg$.

	\end{enumerate}
\end{document}
