
\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}}
\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
\newcommand{\et}{\mathop{\rm et }}
\newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }}
\newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }}
\newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }}
\newcommand{\Rea}{\mathop{\rm Re }}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }}
\newcommand{\si}{\mathop{\rm si }}
\newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }}
\newcommand{\Arcsin}{\mathop{\rm Arcsin }}
\newcommand{\Arccos}{\mathop{\rm Arccos }}
\newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }}
\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }}
\newcommand{\cotan}{\mathop{\rm cotan }}
\newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }}
\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch }}
\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh }}
\newcommand{\thy}{\mathop{\rm th }}
\newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }}
\newcommand{\non}{\mathop{\rm non }}
\newcommand{\rr}{{\bf R}}
\newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}}
\newcommand{\rrn}{{\bf R^n}}
\newcommand{\nn}{{\bf N}}
\newcommand{\kk}{{\bf K}}
\newcommand{\kx}{{\bf K}[X]}
\newcommand{\rX}{{\bf R}[X]}
\newcommand{\qq}{{\bf Q}}
\newcommand{\zz}{{\bf Z}}
\newcommand{\rar}{\rightarrow}
\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}
\newcommand{\limp}{\longleftarrow}
\newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow}
\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\ove}{\overline}
\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 Maths Exos7~~{\Huge {\bf 
                      ~~~Syst\`emes lin\'eaires }}  \hfill 25/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item 

{\Large {\bf Syst\`emes sans param\`etres}} 

		     \vspace{0.4cm}

a) R\'esoudre les syst\`emes suivants, aux deux inconnues r\'eelles $x$ et $y$:

\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+3y&=&7\\
5x+4y&=&8
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
x+y&=&2\\
x\cos \frac{\pi}{4}+y \sin \frac{\pi}{4}&=&\sqrt 2
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
x+2y\cos \pi&=&2\\
x\sin \frac{\pi}{6}-y \tan \frac {\pi}{4}&=&\sqrt 2.
\end{array}\right.  \)

		     \vspace{0.4cm}

b) R\'esoudre les syst\`emes suivants, aux deux inconnues r\'eelles $x$ et $y$:


\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+3y&=&7\\
5x+4y&=&8\\
x-y&=&1
\end{array}\right.  \)
~~~~~~~~~~~~~~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+3y&=&3\\
5x+4y&=&8\\
x-2y&=&2.
\end{array}\right.  \)

		     \vspace{0.4cm}


c) R\'esoudre les syst\`emes suivants, aux trois inconnues r\'eelles $x,y$ 
et $z$:

\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+3z&=&7\\
5x+4z&=&8
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
x+y-2z&=&2\\
x\cos \frac{\pi}{4}+y \sin \frac{\pi}{4}-z \sqrt 2&=&1
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
x\tan \frac{\pi}{4}+y\cos \frac{\pi}{4}+z \sin \frac{\pi}{4}&=&1\\
x\cotan \frac{\pi}{4}+y\sin \frac{\pi}{4}+z \cos \frac{\pi}{4}&=&1.

\end{array}\right.  \)

		     \vspace{0.4cm}

d) R\'esoudre les syst\`emes suivants, aux trois inconnues r\'eelles $x,y$ 
et $z$:

\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+y-z&=&1\\
3x+2y+z&=&4\\
x+y+2z&=&2
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+y-z&=&1\\
3x+2y+z&=&4\\
x+3y+z&=&2
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x-y-z&=&1\\
3x-2y+z&=&4\\
x-3z&=&-2.
\end{array}\right.  \)
~~~

		     \vspace{0.4cm}


\item 

{\Large {\bf Syst\`emes avec param\`etres}} 


		     \vspace{0.4cm}


a) R\'esoudre le syst\`eme suivant, aux deux inconnues r\'eelles $x$ et $y$,
o\`u $m$ est un param\`etre r\'eel:

 \( \left\{ \begin{array}{rrr}
 x+(3m+7)y&=&1\\
(m+4)x+(4m+10)y&=&2.
\end{array}\right.  \)


		     \vspace{0.4cm}


b) R\'esoudre 
en fonction du param\`etre $m$ le 
syst\`eme d'\'equations aux inconnues $x, y, z$ suivant:


\( \left\{ \begin{array}{rrr}
x-y+z&=&2-m\\
-mx -2y+2z&=&3\\
3x-(m+1)z&=&1-2m.
\end{array}\right.  \)
~~~
		     \vspace{0.3cm}


c) R\'esoudre 
en fonction des param\`etres les 
syst\`emes d'\'equations aux inconnues $x, y, z, t$ suivants:

		     \vspace{0.3cm}


 \( \left\{ \begin{array}{rrrrrrr}
x & + & ay & + & z & = & 2\\
ax & + & y & + & z & = & b
\end{array}\right.  \)
~~~
 \( \left\{ \begin{array}{rrr}
(1+m)x+y+z&=&a\\
x+(1+m)y+z&=&b\\
x+y+(1+m)z&=&c
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
-cy+bz&=&\alpha \\
cx-az&=&\beta\\
-bx+ay&=&\gamma
\end{array}\right.  \)

\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2x+3y&=&3m+4\\
5x+4y&=&4m+3
\end{array}\right.  \)
~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
2mx+3y&=&7\\
4x+6y&=&1+m
\end{array}\right.  \)
~~
\( \left\{ \begin{array}{rrr}
x+2y+z-mt&=&3m+1\\
 -x+2y+mt&=&1\\
 4y+z&=&4
\end{array}\right.  \)

\( \left\{ \begin{array}{rrr}
(1+m)x+(2+m)y+(3+m)z&=& 4+m\\
(5+m)x+(6+m)y+(7+m)z&=& 8+m
\end{array}\right.  \)~~~~
\( \left\{ \begin{array}{rrrr}
(1+m)x+(2+m)y&=& 4+m&\\
(5+m)x-(6+m)y&=& 8+m&.
\end{array}\right.  \)


\end{enumerate}
\end{document}
		     \vspace{0.3cm}



\item	\hfill {\Large {\bf E-T}}

		     \vspace{-0.2cm}


Trouver un syst\`eme de trois \'equations lin\'eaires \`a trois inconnues
avec $(1,2,3)$ et \\$(2, -1, 1)$ comme solutions, mais pas $(a,0,0)$ (quelque soit
$a$). Interpr\^etation g\'eom\'etrique?


\end{enumerate}
\end{document}
\item

Pour quelles valeurs de $a$ le couple $(-11,1)$ est-il solution du syst\`eme:

 \( \left\{ \begin{array}{rrrrr}
ax & + & y & = & 1 \\
x & + &a y & = & -1
\end{array}\right.  \)

 Le syst\`eme
a-t-il alors d'autres solutions? Dessinez-le.


\end{enumerate}
\end{document}

\begin{enumerate}                                                    
\item{\bf Questions de cours}
\item Formulez l'\'enonc\'e d'\'equivalence de syst\`emes lin\'eaires
qui permet de l\'egitimer l'algorithme de Gauss.
\item Que savez-vous sur l'ensemble des solutions d'un syst\`eme de 
deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues?
\end{enumerate}
\vspace {0.5cm}
{\bf Exercices-type}
\begin{enumerate}
\item Normaliser un syst\`eme lin\'eaire.
\item Reconna\^{\i}tre une solution d'un syst\`eme lin\'eaire.
\item R\'esoudre un syst\`eme lin\'eaire.
\item Discuter un syst\`eme lin\'eaire avec param\^etres.
\item R\'esoudre un syst\`eme presque lin\'eaire.

	\item {\bf Calculer le d\'eveloppement limit\'e}
	 
%\vspace{0.2cm}
\begin {tabular}{llllll}	
en	$0$		&\`a l'ordre  $3$	&de la fonction	 $e^{\cos x};$
&en	$\frac{\pi}{2}$	&\`a l'ordre  $2$	&de la fonction	 $e^x\cos x$;\\
en	$2$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $(\ln(1+x)))^{\frac {1}{2}};$
&en	$1$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $\frac {\Arctg x}{1+x^2+x^4}$\\
\end {tabular}
\vspace{0.2cm}
\item{\bf Calculer des limites et des signes}

 Soit $f$ d\'efinie sur $]-\pi/2,\pi/2[-\{0\}$ par 
$f(x)=\frac{e^{\sqrt{1+\sin x}} - e}{\tan x}$.\\
Calculer le d\'eveloppement limit\'e d'ordre 3 en 0 de 
$e^{\sqrt{1+\sin x}} - e$. Montrer que $f(x)$ admet une limite $\ell$ quand
$x$ tend vers 0.
On pose $f(0)=\ell$; montrer que la fonction $f$ ainsi \'etendue 
est d\'erivable en 0 et
pr\'eciser la position du graphe de $f$ par rapport \`a sa tangente en 0.

	
\item{\bf Compl\'eter une preuve}
	
	Th\'eor\`eme: Le d\'eveloppement limit\'e de la somme est la somme des
	d\'eveloppements limit\'es.
	
	Preuve.  Soit donc $I$ un
	intervalle (non r\'eduit \`a un point) de $\rr$, $a$ un point de $I$, et $n$ un entier
	
	~
	
	naturel. On suppose que  $f$ et $g$ sont deux
	fonctions d\'efinies sur ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ et admettant
	pour
	
	~
	
	d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ respectivement
	le polyn\^ome $P$ et
	le polyn\^ome $Q$ (qui sont donc 
	
	~
	
	de degr\'e au plus ~~~~~~~~~). Il nous
	faut montrer que la fonction $f+g$ admet
	pour
	d\'eveloppement 
	
	~
	
	limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ le polyn\^ome $P+Q.$
	Nos hypoth\`eses signifient que le quotient 
	$\epsilon'(x):=\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^n}$
	
	~
	
	tend vers z\'ero quand $x$ tend vers ~~~~~~~~ en restant dans ~~~~~, de
	m\^eme que  $\epsilon "(x):=$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~. 
	
	~
	
	Ce qu'il 
	nous faut
	prouver est que le quotient 
	$\epsilon(x):=\frac {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{(x-a)^n}$ tend vers z\'ero dans
	les m\^emes 
	
	~
	
	conditions, ce qui r\'esulte du th\'eor\`eme sur la limite 
	~~~~~~~~~~~~~~~~~~, car on v\'erifie facilement que $\epsilon(x)$ 
	
	~
	
	est la
	somme de ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.
	
	
	  	\end{enumerate}
	 
	%\vspace{0.6cm}
\begin{center}{\bf Rab et r\'evisions}
\end{center}
%\vspace{0.6cm}	
\begin{enumerate}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	\item
	
	Calculer le DL en machin de la fonction si  alors sinon.
\item 
Majorer grossi\`erement $\frac{e^{9\Arccos x}}{e^{9\Arctg x}}$ pour $x$ entre
$0$ et $1$.
\item 
	
	Etudier la continuit\'e de la fonction $f$ qui vaut $1$ sur les rationnels
	et z\'ero sur les irrationnels. Soit $g$ une fonction continue sur
	$\rr$. Etudier la continuit\'e de $f+g$ et de $fg$.

	\end{enumerate}
\end{document}
