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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 Maths Exos8:~~~{\Huge {\bf 
                      ~~~~~G\'eom\'etrie affine }}  \hfill 09/12/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

\vspace{0.7cm}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item {\Large {\bf Calculer une droite ou un point du plan}}

\vspace{0.5cm}

a) Trouver deux points de la droite d'\'equation $\pi x +\sqrt 3 y =e$
dans $\rdeu$.


\vspace{0.3cm}

b) Trouver une \'equation de la droite passant par $ (\sin 3, \Arctg \sqrt 2)$
et $(\pi, -1)$.


\vspace{0.3cm}

b') Trouver une \'equation de la droite passant par $ (\sin 3, \Arctg \sqrt 2)$
et de vecteur directeur $(\pi, -1)$.


\vspace{0.3cm}

c) Calculer les coordonn\'ees du point $ (\sin 3, \Arctg \sqrt 2)$
 dans le rep\`ere cart\'esien
$ ((0, 1);( 2, 1), (5,4))$.


\vspace{0.3cm}

d) Calculer les fonctions coordonn\'ees  dans ce rep\`ere.

\vspace{0.7cm}


\item {\Large {\bf Calculer un plan ou une droite de l'espace}}

\vspace{0.5cm}

a) Trouver trois points non align\'es du plan d'\'equation: \hfill
 $\pi x +\sqrt 3 y -2z=e$; 

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~de celui d'
\'equation: \hfill
 $m x +(m+1) y -(m+2)z=e$.

\vspace{0.3cm}

b) Trouver une \'equation du plan passant par
 $(1,m,1)$, $ (2,3,4)$ et $(3,4,5)$.


\vspace{0.3cm}

c) Trouver deux \'equations d\'efinissant la droite passant par $(m,2,3)$ et
$ (2,3,m+4)$. 


\vspace{0.3cm}

d) Trouver deux points de la droite d'\'equations $x-2y+mz=1 ~\et ~x+y-z=2m$.


\vspace{0.7cm}

\item {\Large {\bf Calculer une intersection dans l'espace}}

\vspace{0.5cm}

1. Calculer l'intersection du plan d'\'equation 
$x+my+m^2z=2$
avec la droite $<(1,1,0); (0,1,1)>$.


\vspace{0.3cm}

2. Calculer l'intersection du plan $<(1,1,3); (3,-1,5); (0,1,0)>$
avec la droite $<(1,2,3); (a,4,5)>$.


\vspace{0.3cm}

3. Calculer l'intersection du plan d'\'equation $x+2y-2z=1$
avec  la droite d'\'
equations 

$~~~x+z-3=2y-az-1=0$.

\vspace{0.7cm}


\end{enumerate}
\end{document}
\vspace{0.2cm}
\item \hfill{\Large {\bf Dessiner}}

\vspace{0.5cm}


En instanciant \'eventuellement le param\`etre \`a votre convenance, dessiner 
les droites et les plans mentionn\'es dans cette feuille.


\begin{center}{\bf Pour commencer en douceur}
\end{center}

a) Trouver deux points de la droite d'\'equation $\pi x +\sqrt 3 y =e$
dans $\rdeu$.

b) Trouver une \'equation de la droite passant par $ (\sin 3, \Arctg \sqrt 2)$
et $(\pi, -1)$.

b') Trouver une \'equation de la droite passant par $ (\sin 3, \Arctg \sqrt 2)$
et de vecteur directeur $(\pi, -1)$.

c) Calculer les coordonn\'ees du point $ (\sin 3, \Arctg \sqrt 2)$
 dans le rep\`ere cart\'esien
$ ((0, 1);( 2, 1), (5,4))$.

d) Calculer les fonctions coordonn\'ees  dans ce rep\`ere.

\begin{center}{\bf R\'evision}
\end{center}


Calculer le DL en $0$ \`a l'ordre $3$ de $e^{\sin (\sqrt{\frac {\pi}{2}+2x}}$.


\begin{center}{\bf Pour finir \`a donf}
\end{center}

Trouver trois points non align\'es du plan d'\'equation: 
 $m x +(m+1) y -(m+2)z=e$.




\end{document}

\begin{enumerate}                                                    
\item{\bf Questions de cours}
\item Formulez l'\'enonc\'e d'\'equivalence de syst\`emes lin\'eaires
qui permet de l\'egitimer l'algorithme de Gauss.
\item Que savez-vous sur l'ensemble des solutions d'un syst\`eme de 
deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues?
\end{enumerate}
\vspace {0.5cm}
{\bf Exercices-type}
\begin{enumerate}
\item Normaliser un syst\`eme lin\'eaire.
\item Reconna\^{\i}tre une solution d'un syst\`eme lin\'eaire.
\item R\'esoudre un syst\`eme lin\'eaire.
\item Discuter un syst\`eme lin\'eaire avec param\^etres.
\item R\'esoudre un syst\`eme presque lin\'eaire.

	\item {\bf Calculer le d\'eveloppement limit\'e}
	 
%\vspace{0.2cm}
\begin {tabular}{llllll}	
en	$0$		&\`a l'ordre  $3$	&de la fonction	 $e^{\cos x};$
&en	$\frac{\pi}{2}$	&\`a l'ordre  $2$	&de la fonction	 $e^x\cos x$;\\
en	$2$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $(\ln(1+x)))^{\frac {1}{2}};$
&en	$1$		&\`a l'ordre  $2$	
&de la fonction	 $\frac {\Arctg x}{1+x^2+x^4}$\\
\end {tabular}
\vspace{0.2cm}
\item{\bf Calculer des limites et des signes}

 Soit $f$ d\'efinie sur $]-\pi/2,\pi/2[-\{0\}$ par 
$f(x)=\frac{e^{\sqrt{1+\sin x}} - e}{\tan x}$.\\
Calculer le d\'eveloppement limit\'e d'ordre 3 en 0 de 
$e^{\sqrt{1+\sin x}} - e$. Montrer que $f(x)$ admet une limite $\ell$ quand
$x$ tend vers 0.
On pose $f(0)=\ell$; montrer que la fonction $f$ ainsi \'etendue 
est d\'erivable en 0 et
pr\'eciser la position du graphe de $f$ par rapport \`a sa tangente en 0.

	
\item{\bf Compl\'eter une preuve}
	
	Th\'eor\`eme: Le d\'eveloppement limit\'e de la somme est la somme des
	d\'eveloppements limit\'es.
	
	Preuve.  Soit donc $I$ un
	intervalle (non r\'eduit \`a un point) de $\rr$, $a$ un point de $I$, et $n$ un entier
	
	~
	
	naturel. On suppose que  $f$ et $g$ sont deux
	fonctions d\'efinies sur ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ et admettant
	pour
	
	~
	
	d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ respectivement
	le polyn\^ome $P$ et
	le polyn\^ome $Q$ (qui sont donc 
	
	~
	
	de degr\'e au plus ~~~~~~~~~). Il nous
	faut montrer que la fonction $f+g$ admet
	pour
	d\'eveloppement 
	
	~
	
	limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ le polyn\^ome $P+Q.$
	Nos hypoth\`eses signifient que le quotient 
	$\epsilon'(x):=\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^n}$
	
	~
	
	tend vers z\'ero quand $x$ tend vers ~~~~~~~~ en restant dans ~~~~~, de
	m\^eme que  $\epsilon "(x):=$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~. 
	
	~
	
	Ce qu'il 
	nous faut
	prouver est que le quotient 
	$\epsilon(x):=\frac {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{(x-a)^n}$ tend vers z\'ero dans
	les m\^emes 
	
	~
	
	conditions, ce qui r\'esulte du th\'eor\`eme sur la limite 
	~~~~~~~~~~~~~~~~~~, car on v\'erifie facilement que $\epsilon(x)$ 
	
	~
	
	est la
	somme de ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.
	
	
	  	\end{enumerate}
	 
	%\vspace{0.6cm}
\begin{center}{\bf Rab et r\'evisions}
\end{center}
%\vspace{0.6cm}	
\begin{enumerate}
	%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
	
	\item
	
	Calculer le DL en machin de la fonction si  alors sinon.
\item 
Majorer grossi\`erement $\frac{e^{9\Arccos x}}{e^{9\Arctg x}}$ pour $x$ entre
$0$ et $1$.
\item 
	
	Etudier la continuit\'e de la fonction $f$ qui vaut $1$ sur les rationnels
	et z\'ero sur les irrationnels. Soit $g$ une fonction continue sur
	$\rr$. Etudier la continuit\'e de $f+g$ et de $fg$.

	\end{enumerate}
\end{document}

