\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

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\begin{document}

\begin{Large}
\noindent {\bf Corrig\'e du partiel de maths du 24/11/2001 \hfill Sujet A}
\end{Large}

\vspace{.5cm}

\noindent {\bf Exo 1. Dessiner l'ensemble des nombres complexes $z$ v\'erifiant} Re$((1-i)z)<2$ {\bf et $\mid iz + 3 \mid \leq 3$ en pr\'ecisant par les moyens de votre choix ce qui se passe ``au bord''.}

\vspace{.2 cm}

\noindent On note ${\cal S}=\{z \in {\mathbb C} \, ;$ Re$((1-i)z)<2$ et $\mid iz + 3 \mid \leq 3 \}$,  ${\cal S}_1=\{z \in {\mathbb C} \, ;$ Re($(1-i)z)<2 \}$ et ${\cal S}_2=\{z \in {\mathbb C} \, ; \, \mid iz + 3 \mid \leq 3 \}$. On a ${\cal S}={\cal S}_1 \cap {\cal S}_2$.

\noindent Soit $z \in {\mathbb C}$, avec $x=$Re($z)$ et $y=$Im($z)$. 
On a donc $z=x+iy$.

\noindent Alors   
$\mid iz + 3 \mid \leq 3 \Longleftrightarrow \mid z - 3i \mid \leq 3$ et donc
 ${\cal S}_1$ est le disque ferm\'e de centre $3i$ et de rayon $3$, 

\noindent D'autre part Re($(1-i)z)<2 \Longleftrightarrow$ Re($(1-i)(x+iy))<2 
\Longleftrightarrow $ Re($x-ix+iy+y)<2 \Longleftrightarrow x+y<2$,

\vspace{.2 cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\raggedright}m{5cm}@{ }>{\raggedright}m{12.5cm}@{}}
\includegraphics{24_11a.ps} & et donc ${\cal S}_2$ est le demi-plan ouvert sous 
la droite d'\'equation $x+y=2.$

\vspace{.5cm}

L'intersection ${\cal S}={\cal S}_1 \cap {\cal S}_2$ est la partie hachur\'ee du dessin 
ci-contre. 

Au bord, les points du cercle sont dans ${\cal S}$ mais pas 
les points de la droite 
(ni les deux points d'intersection du cercle et de la droite). \\
\end{tabularx}

\vspace{.5cm}

\noindent {\bf Exo 2. Montrer que la fonction $f$ d\'efinie sur ${\mathbb R}$ par } $f(x)=x$E$(x)$ {\bf (o\`u } E$(x)$ {\bf est l'entier caract\'eris\'e par} E$(x) \leq x < $E$(x)+1$) {\bf est discontinue.}

\vspace{.2 cm}

\noindent Pour $0 \leq x < 1$, on a E$(x)=0$ donc $f(x)=0$.

\noindent Pour $1 \leq x < 2$, on a E$(x)=1$ donc $f(x)=x$.

\noindent On peut tracer le graphe de la fonction $f$ sur $[0,2[$ et constater 
qu'elle semble discontinue en 1.

\noindent On a: $f$ discontinue en 1 ssi $ \exists 
u \in {\mathbb R}^{\mathbb N}, u \to 1$ et $f(u) \not\to f(1)$.

\vspace{.2 cm}


\noindent Exhibons la suite r\'eelle $u$ d\'efinie par 
 $u_n=1-\dfrac{1}{2^n}$. 

\vspace{.2 cm}


\noindent On a bien $u \to 1$ et on constate que $f(u_n)$ est nul pour tout $n$, donc 
$f(u) \to 0 \neq f(1)=1$.

\vspace{.5cm}

\noindent {\bf Exo 3. Pour quelles valeurs du r\'eel $m$ la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]1,+\infty[$ par $f(x)=mx^3+x+m$ admet-elle une fonction r\'eciproque ? Pour lesquelles de ces valeurs cette fonction r\'eciproque est-elle d\'erivable ? Pour $1 < m < 2$, calculer au choix, sa d\'eriv\'ee en 5 ou en $9m+2$. Expliquer votre choix.}

\vspace{.2 cm}

\noindent Pour que la fonction $f$, qui est d\'erivable, 
admette une r\'eciproque sur $]1,+\infty[$, il faut et il suffit qu'elle soit 
strictement monotone. Etudions donc sur  $]1,+\infty[$ le signe de
$f^{\prime}(x)=3mx^2+1$. On distingue deux cas.

\noindent $\bullet \underline{1^{er} cas \, : \, m \geq 0.}$ 
On a $\forall x \in {\mathbb R}, \, 3mx^2+1 > 0$. La fonction $f$ est donc 
strictement croissante sur $]1,+\infty[$ et donc 
admet une r\'eciproque sur $]1,+\infty[$.

\noindent $\bullet \underline{2^{nd} cas \, : \, m < 0.}$ Alors 
$f^{\prime}(x)=3mx^2+1$ est un polyn\^ome du second degr\'e en $x$ qui admet 
deux racines 


\vspace{.2cm}

\noindent
r\'eelles distinctes $~~x_1 =-\dfrac{1}{\sqrt{-3m}}~~$ et 
$~~x_2=\dfrac{1}{\sqrt{-3m}}~~$. On distingue alors deux sous-cas. 

\vspace{.1cm}

$\diamond \underline{1^{er} sous-cas} \, : \, x_2 \leq  1 $
autrement dit $ m \leq -\dfrac{1}{3}:$ 

\vspace{.1cm}

$$\begin{tabular}{|c|lcccccccr|} \hline
$x$              & $-\infty$ &          & $x_1$    &          & $x_2$     &           & 1       &            & $+\infty$ \\ \hline
$f^{\prime}(x)$  &           & -        &  0       &  +       & 0         & -         &         & -          &  \\ \hline
                 &           &          &          &          &           &           & $2m+1$  &            &  \\
$f(x)$           & $\hdots$  & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ &  $\hdots$ &  $\hdots$ &         & $\searrow$ &  \\
                 &           &          &          &          &           &           &         &            & $-\infty$ \\ \hline
\end{tabular}$$

\vspace{.6cm}


\noindent $f$ est strictement d\'ecroissante, 
et admet donc une r\'eciproque.

\newpage

$\diamond \underline{2^{nd} sous-cas} \, : x_2 >  1 $ c'est-\`a-dire 
$m > -\dfrac{1}{3}:$ 

\vspace{.1cm}

$$\begin{tabular}{|c|lcccccccr|} \hline
$x$              & $-\infty$ &          & $x_1$    &          & 1       &            & $x_2$    &            & $+\infty$ \\ \hline
$f^{\prime}(x)$  &           & -        & 0        &  +       &         &  +         &  0       & -          &           \\ \hline
                 &           &          &          &          &         &            & $f(x_2)$ &            &           \\
$f(x)$           & $\hdots$  & $\hdots$ & $\hdots$ & $\hdots$ &         & $\nearrow$ &          & $\searrow$ &           \\
                 &           &          &          &          & $2m+1$  &            &          &            & $-\infty$ \\ \hline
\end{tabular}$$


\vspace{.6cm}


\noindent Alors $f$ n'est m\^eme pas monotone, 
donc n'admet pas de r\'eciproque.

\vspace{.3cm}

\noindent On a donc montr\'e que $f$ admet une r\'eciproque sur $]1,+\infty[$ si et seulement si $m \geq 0$ ou $ m \leq  -\frac{1}{3}$.

\vspace{.3cm} 

\noindent On sait que $f^{-1}$ est d\'erivable 
\`a condition que l'on ait : 
$\forall x \in ]1,+\infty[, \, f^{\prime}(x) \neq 0$, ce qui est bien le cas 
quand $m \geq 0$ et quand $ m \leq  -\frac{1}{3}$.

\vspace{.1cm}

\noindent Reste \`a calculer pour $1 < m < 2$, $(f^{-1})^{\prime}(5)$ ou 
$(f^{-1})^{\prime}(9m+2)$. Remarquons que si $1 < m < 2$, alors $f$ admet bien 
une r\'eciproque. Ensuite, il faut r\'esoudre une des deux \'equations 
d'inconnue $x$ : $f(x)=5 \, (*)$ ou  $f(x)=9m+2 \, (**)$. L'\'equation $(**)$ 
a pour solution \'evidente $x=2$. On calcule alors $f^{\prime}(2)=12m+1$ 
d'o\`u $(f^{-1})^{\prime}(9m+2)=\dfrac{1}{12m+1}$. Tandis qu'on ne sait pas r\'esoudre
$(*)$.

\vspace{.5cm}

\noindent {\bf Exo 4. Etudier la branche infinie (avec la position par rapport 
\`a l'asymptote \'eventuelle) du graphe de la fonction $f$ d\'efinie sur 
$[0,+\infty[$ par $f(x)=\pi -x -2\sqrt{x^2+3x+5}$}.

\vspace{.2 cm}

\noindent On a $\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.

\noindent Tout d'abord, on calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}$.

\noindent Comme $x$ est positif, on a  
$~~~~\dfrac{f(x)}{x}=-1-2\sqrt{1+\frac{3}{x}+
\frac{5}{x^2}} + \dfrac{\pi}{x}~~~~$ d'o\`u  
$~~~~\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} 
= -3$.

\vspace{.2 cm}

\noindent Ensuite, on calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x)-(-3x))=
\lim_{x \to +\infty} (f(x)+3x)
=\lim_{x \to +\infty} (\pi+2(x-\sqrt{x^2+3x+5}))$.

\vspace{.2 cm}

\noindent En faisant appara\^{\i}tre la quantit\'e conjugu\'ee, puis en
simplifiant par $x$ (qui est ici \'egal \`a $\sqrt {x^2}$), on obtient
 $$x-\sqrt{x^2+3x+5}=\dfrac{x^2 -(x^2+3x+5)}{x+\sqrt{x^2+3x+5}}
 =\dfrac{-3-\frac{5}{x}}{1+\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}}.$$

\noindent On en d\'eduit $$\lim_{x \to +\infty} (x-\sqrt{x^2+3x+5})
=-\dfrac{3}{2}$$ et $$\lim_{x \to +\infty} (f(x)+3x)=\pi + 2(-\dfrac{3}{2}) 
=\pi-3.$$

\noindent 
Donc la droite d'\'equation $y=-3x+\pi-3$ est asymptote \`a $f$ en $+\infty$.

\vspace{.5 cm}

\noindent Pour \'etudier la position par rapport \`a l'asymptote, il faut 
\'etudier, pour $x$ grand, le signe de 
$$f(x)-(-3x+\pi-3)=f(x)+3x-\pi+3=2x+3-2\sqrt{x^2+3x+5},$$ 

\vspace{.2cm}

\noindent autrement dit il faut comparer les deux nombres positifs $~2x+3~$ et 
$~2\sqrt{x^2+3x+5}~$. \\
En \'elevant au carr\'e, puis en simplifiant, on obtient:

$$2x+3 < 2\sqrt{x^2+3x+5} ~~\Longleftrightarrow ~~(2x+3)^2 < 4(x^2+3x+5)
~~\Longleftrightarrow ~~9 < 20.$$

\noindent On en conclut $f(x)+3x-\pi+3 < 0$ en $+\infty$,\\ c'est-\`a-dire que la 
courbe repr\'esentative de $f$ se trouve en-dessous de son asymptote.

\end{document}
