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\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\def\ds{\displaystyle}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.6cm}{1.5cm}{0.6cm}{2cm}{2cm}{2cm}{2cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
\begin{center} {\Large {\bf MIAS-SM 1 TC maths
                    07/02/01  dur\'ee: 2h \\} }%\vspace{0.6cm}

        
  %   Calculettes et documents interdits.
                
                                    \end{center} 
%\vspace{1cm}
\begin{enumerate}
  \item (sur 2)%1

R\'esoudre dans $\rr$: ~~~~~~~~$\sqrt{x+8} -2 \ge \sqrt {2-x}$.


 %\vspace{1cm}

 
\item (sur 1.5)%2

Mettre le trin\^ome $~~~z^2-(5+i)z+6-2i~~$ sous forme canonique puis r\'esoudre 
dans $\cc$: $~~~z^2-(5+i)z+6-2i=0$ .
% \vspace{1cm}

 \item (sur 1.5)%3
 
 Calculer $\Arccos (\cos 9)$.
 
 \item (sur 3)%4
 
 Calculer le DL en $0$ \`a l'ordre $3$ de $\cos (e^x)$.
 
 \item (sur 3)%5
 
 Trouver deux \'equations d\'efinissant la droite passant par 
 $(m-2, 1,2)$ et $(1, 2, m+2)$.
 
 \item (sur 3)
 
 %6
 Calculer la matrice, le noyau, l'image et s'il y a lieu l'inverse de l'application
lin\'eaire 

$$(x,y,z) \mapsto (x+2y-2z, ~2x+3y+z, ~x+y+3z).$$
 
 \item (sur 3)
 %7
Calculer

 $$\ds\int_0^{3/2} \ds\frac{2-s}{\sqrt{9-s^2}}\, ds\qquad
 \mbox{\rm ( on peut poser $s=3~\sin t$)}.$$
 	


\item  (sur 3)%8

Compl\'eter la preuve suivante:
	
	Th\'eor\`eme: Le d\'eveloppement limit\'e du produit d'une fonction par
	un nombre est le produit par ce nombre du 
	d\'eveloppement limit\'e de la fonction.
	
	Preuve.  Soit donc $I$ un
	intervalle (non r\'eduit \`a un point) de $\rr$, 
	$a$ un point de $I$, et $n$ un entier
	naturel. Soit $\lambda$ un r\'eel quelconque et  $f$ une
	fonction d\'efinie sur ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ et admettant
	pour d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ 
	le polyn\^ome $P$ (qui est donc 
	de degr\'e au plus ~~~~~~~~~). Nos hypoth\`eses signifient que le quotient 
	$\epsilon'(x):=\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^n}$
	tend vers z\'ero quand $x$ tend vers ~~~~~~~~ en restant dans ~~~~~. 
	Il nous
	faut montrer que la fonction $\lambda f$ admet
	pour
	d\'eveloppement 
	limit\'e \`a l'ordre $n$ en $a$ le polyn\^ome $\lambda P.$
	c'est-\`a-dire que le quotient 
	$\epsilon(x):=\frac {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}{(x-a)^n}$ tend vers z\'ero dans
	les m\^emes 
	conditions. Ceci r\'esulte du th\'eor\`eme sur la limite 
	~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~, 
	car on v\'erifie facilement que $\epsilon(x)$ 
	est  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.
	
\end{enumerate}
\end{document}

	
	Th\'eor\`eme: La somme de deux fonctions continues en un point est aussi
	continue en ce point.
	
	Preuve. Soient deux fonctions $f$ et $g$ d\'efinies sur $I$,
	et continues en un point $a$ de $I$ et soit  $n \mapsto u_n$ 
	une suite de nombres de $I$ tendant vers $a$. Nous devons montrer que
	la suite $n\mapsto ~~~~~~~~~~~~~~~~~$ converge vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	Cette suite est \'egale \`a 
	la somme de la
	suite $~~~~~~~~~~~~~~~~$ et de la suite $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ qui, d'apr\`es
	l'hypoth\`ese, convergent vers $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$. 
	En appliquant le th\'eor\`eme sur la limite d'une
	somme de suites, on obtient que notre suite converge vers $~~~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~$. Il
	ne reste qu'\`a observer que ce nombre est bien \'egal \`a $~~~~~~~~
	~~~~~~~~~~~~~~~~~$.
	


