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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\begin{document}

 M\'ethodo Exos6~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                     Raisonner}}  \hfill 25/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
		     
		     \vspace{0.2cm}
                                                
\begin{enumerate}

\item 
On consid\`ere la preuve suivante:

 Pour $x \le -1$, on a $\frac{1}{\sqrt {x^2+1}} 
\le \frac {\sqrt 2}{2}.$
		     
		     \vspace{0.2cm}

Pour 	$x \le -1$, on a $x^2 \ge 1$, donc $x^2+1 \ge 2$, d'o\`u 
	    $ \sqrt {x^2+1} \ge \sqrt 2$. Par cons\'equent, on a bien 
$\frac{1}{\sqrt {x^2+1}} 
\le \frac {\sqrt 2}{2}$.

a) Formaliser l'\'enonc\'e et expliciter l'objectif initial.

b) D\'ecrire l'objectif apr\`es les introductions naturelles.

c) Expliquer les tactiques utilis\'ees, avec les ressources et les arguments
correspondants.


\item

Dans chacun des  textes suivants, formaliser l'\'enonc\'e, reconstituer
les objectifs successifs, identifier les tactiques qui permettent de passer de
l'un \`a l'autre, puis recenser les 
ressources utilis\'ees et  leurs arguments effectifs.
		     
		     \vspace{0.1cm}

                                               
\begin{enumerate}



\item 
 Pour tout couple $(z,z')$ de nombres complexes,
$|zz'|=|z||z'|$.

Preuve (Guinin/Joppin). $|zz'|^2=zz' \overline {zz'}= zz' \overline {z}\overline {z'}=
(z \overline {z})(z'\overline {z'})=|z|^2|z'|^2.$


		     \vspace{0.2cm}

\item 
 Pour tout r\'eel $a$ strictement positif:
 $\ln \sqrt a = \frac {1}{2} \ln a$.

Preuve (Guinin/Joppin). La relation $(\sqrt a)^2= a$ et la propri\'et\'e 6
donnent $2 \ln \sqrt a =\ln a$, d'o\`u la conclusion.

		     \vspace{0.2cm}

\item 
 Pour tout r\'eel $a$ strictement positif:
 $\ln \frac {1}{a} =-\ln a$.
		     
Preuve(d'apr\`es Guinin/Joppin). Il suffit de prouver 
$\ln \frac {1}{a} +\ln a=0$, ou encore, d'apr\`es le th\'eor\`eme 1, 
$\ln (\frac {1}{a}. a)=0$, ce qui r\'esulte de $\ln 1=0$.

		     \vspace{0.2cm}

\item 

 La fonction $x \mapsto \frac{1}{\sqrt {x^2+4}}$ est born\'ee.
		     

Preuve. Cette fonction est positive donc minor\'ee. Pour montrer qu'elle est major\'ee
par $\frac{1}{2}$, il nous suffit de montrer, pour $x$ quelconque,
 $ \sqrt {x^2+4} \ge 2$, 
 ce qui r\'esulte du fait que tout carr\'e est positif.


		     \vspace{0.2cm}
\item 
 Si deux fonctions ont m\^eme sens de variation sur $\rr$,
leur compos\'ee est croissante.
		     

Preuve. Soient par exemple $f$ et $g$ deux fonctions d\'ecroissantes sur $\rr$,
et $x$ et $y$ deux r\'eels avec $x \le y$. Comme $f$ est d\'ecroissante, on
d\'eduit
$f(x) \ge f(y)$, puis $g(f(x))\le g(f(y))$ puisque $g$ est aussi d\'ecroissante,
ce qui prouve que $g\circ f$ est croissante.
		     
		     \vspace{0.2cm}

\item 
 Pour $a$ et $b$ complexes, on a $a.b=0 
\ssi (a=0 \ou
b=0).$

Preuve (Liret-Martinais). Si par exemple $a=0$, alors nous savons d\'ej\`a que 
$a.b=0.b=0.$
Supposons $a.b=0$ et $a \neq 0$. Il vient $b =
1.b=((1/a).a).b=(1/a).(a.b)=(1/a).0=0.$

		     
		     \vspace{0.2cm}

\item 
  Si $b$ est non nul,
$|a|
\leq |a+b| 
~\et |a|\leq |a-b|$ implique $|a|\leq |b|/2$.

Preuve (Silici). 
Par homog\'en\'eit\'e, on peut diviser par $b$. Il faut donc
d\'emontrer\\
$|a|
\leq |a+1| ~
\et ~|a|\leq |a-1| \imp |a|\leq 1/2$.\\
 On observe que le signe de $a$ est
indiff\'erent, supposons-le positif. La premi\`ere in\'egalit\'e est inutile
mais la seconde donne le r\'esultat.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}

----

i) Enoncer correctement la r\'eponse.

ii) R\'ediger une preuve  qui explicite tous les ingr\'edients.
 
 \item{\bf R\'ecurrence:} 
 Dire (sans langue de bois) ce qu'est une fonction ind\'efiniment d\'erivable.
 D\'emontrer que si $P$ est un polyn\^ome, la fonction $P(x)e^{-x^2}$ est
 ind\'efiniment d\'erivable et tend vers z\'ero ainsi que toutes ses
 d\'eriv\'ees lorsque $x$ tend vers l'infini; on formulera avec le plus grand
 soin les \'eventuelles hypoth\`eses de r\'ecurrence. 

Dans chacun des  textes suivants:\\
		     
		     \vspace{-0.1cm}


a) reconstituez 
l'encha\^{\i}nement des buts (avec leurs contextes) par les 
tactiques;\\
		     
		     \vspace{-0.1cm}


b) recensez les 
ressources utilis\'ees et  leurs arguments effectifs;\\
		     
		     \vspace{-0.1cm}


c) donnez une preuve deux fois plus d\'etaill\'ee.

                                                
\begin{enumerate}

\item {\Large {\bf Pour $x \le -1$, on a $\frac{1}{\sqrt {x^2+1}} 
\le \frac {\sqrt 2}{2}.$}}
		     
		     \vspace{0.2cm}

Pour 	$x \le -1$, on a $x^2 \ge 1$, donc $x^2+1 \ge 2$, d'o\`u 
	    $ \sqrt {x^2+1} \ge \sqrt 2$. Par cons\'equent, on a bien 
$\frac{1}{\sqrt {x^2+1}} 
\le \frac {\sqrt 2}{2}$.
