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\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
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\newcommand{\rr}{{\bf R}}
\newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}}
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\newcommand{\rX}{{\bf R}[X]}
\newcommand{\qq}{{\bf Q}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{0.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{15cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
\begin{center} {\Large {\bf MIAS-SM TC UMED
                    31/01/02  \\} }%
       
     Calculettes et documents interdits.  Dur\'ee: 2h.  Bar\`eme: $8\times 3=24
     >20=$ note\_max.
                  
                                    \end{center} 
\begin{enumerate}
\item
On d\'efinit un connecteur logique $nimp: \bb \times \bb \rar \bb$ par $nimp (A,
B)= non (A \imp B)$. Etendre de fa\c{c}on pertinente ce connecteur \`a
$\bb_\perp = \bb \amalg \{\perp\}$.


\item

Sachant que $P$ est une partie de $\rr$, donnez une d\'efinition formelle pour
 la phrase suivante: $P$ est
un intervalle.


\item

Sachant que $f$ est une fonction sur l'intervalle $I$, formalisez la phrase 
suivante: $f$ est
strictement croissante.


\item 	
L'une des formules de la feuille du bac est: $\overline {z}=x-iy$.

a)
Quelles y sont les variables libres et leurs types? 

b) Indiquez les ressources mises en oeuvre
avec leur type. 

c) Quel est le contexte sous-entendu? 

d) Donner
une version quantifi\'ee et une version r\'edig\'ee de cette formule.

 
\item

Quelle ressource appliquez-vous \`a quels arguments pour passer 
du but A au but B?


A: Contexte: $x\in \rr$; \'enonc\'e: $ \sqrt 4 \le \sqrt{x^2+4}$


B: Contexte: $x \in \rr$; \'enonc\'e: $0 \le 4 \le x^2+4$.


\item

 D\'emontrer (en termes de tactiques) l'\'enonc\'e suivant, o\`u $f$ est
 d\'efinie par $f(x)=x^2-x^6$:

		     \vspace{-0.2cm}


 $$(\forall x \in \rr, \exists m \in \rr, f(x)  \ge m )\et
\forall x \in \rr, \exists T \in \rr^*, f(x+T)=f(x).$$

\noindent Est-ce que $f$ est minor\'ee? p\'eriodique? 

 \item 
 
 La formule $\ln \frac{1}{x}= -\ln x$ aurait pu \^etre sur la feuille du bac.
 
 a)Indiquez toutes les ressources mises en oeuvre
avec leur type. 

b) Quel est le contexte sous-entendu? 

c) Donner
une version quantifi\'ee et une version r\'edig\'ee de cette formule.
 
 d) On consid\`ere $\overline \rr := \rr \amalg \{-\infty, +\infty \}$ et 
$\overline \rr_+ := [0, +\infty[ \amalg \{ +\infty \}$. Proposez une extension
de $\ln$ ($\hat \ln: \overline \rr_+ \rar \overline \rr$), ainsi que
des autres ressources du a), qui \'etende au mieux le domaine de validit\'e de 
la
formule.

 
\item

On consid\`ere le texte suivant:

Si $a$ est positif, sur $[-2a, +\infty[$ le graphe de $x \mapsto x^3$ est
au-dessus de sa tangente en son point d'abscisse $a$. 

Preuve. L'\'equation de cette tangente est $y=a^3+3a^2(x-a)$ et on doit donc
montrer que pour $x \ge -2a$, on a $x^3 \ge a^3+3a^2(x-a)$. ...

L'analyse de ce texte fait appara\^{\i}tre les deux buts suivants:

A: Contexte: $a\in \rr, a \ge 0$; \'enonc\'e: 
$\forall x \in \rr, x \ge -2a \imp x^3 \ge
a^3+3a^2(x-a)$


B: Contexte: $a, x\in \rr, a \ge 0$; but: $x\ge -2a \imp x^3 \ge a^3+3a^2(x-a)$

a) Quelle tactique fait passer de A \`a B?

b) Quelle tactique proposez-vous pour passer de B \`a un autre but?

c) Citez deux ressources que vous pourriez utiliser pour terminer cette preuve.
Pour chacune, indiquer les arguments auxquels vous l'appliqueriez.



\end{enumerate}
\end{document}

\item


On consid\`ere le texte suivant:

La fonction $x\mapsto \frac {2+\sin x}{\sqrt{x^2+4}}$ est major\'ee. 

Preuve. En majorant le num\'erateur par $3$ et en minorant le d\'enominateur par
$2$, on voit que la fonction est major\'ee par $\frac{3}{2}$.


Dans l'analyse de ce texte, on peut faire appara\^{\i}tre les deux buts suivants:


C: Contexte: $x\in \rr$; 
\'enonc\'e: $ \frac {2+\sin x}{\sqrt{x^2+4}} \le \frac{3}{2}$


D: Contexte: $x \in \rr$; \'enonc\'e: $0 < 4 \le  x^2+4$.

a) Expliquez l'encha\^{\i}nement de deux tactiques qui a g\'en\'er\'e le but C.

b) Proposer un encha\^{\i}nement de tactiques pour passer de C \`a D.
Indiquez le(s) but(s) interm\'ediaire(s).

c) Quelle tactique proposez-vous pour passer de D au but suivant?

d) Citez une ressource que vous pourriez utiliser pour terminer cette preuve.


\item

L'une des formules du bac est  (F): ~~$(ku)'=ku'$. 

a) Quels sont, dans (F), les types de $k$ et de la
multiplication (on ne demande pas la r\'eponse la plus
g\'en\'erale)?

b) R\'edigez un \'enonc\'e correspondant \`a (F) (on ne demande pas
l'\'enonc\'e le plus g\'en\'eral).

c) On note $der_\perp: (\rr_\perp \rar \rr_\perp) \rar (\rr_\perp \rar
\rr_\perp)$ et $|\, |_\perp: \rr_\perp \rar \rr_\perp$ les extensions naturelles
de la d\'erivation et de la valeur absolue. D\'ecrivez $der_\perp(|\,|_\perp)$.

d) Proposez une extension pertinente de la multiplication des nombres:

$mult_\perp: \rr_\perp \times \rr_\perp \rar \rr_\perp$ et de la multiplication
des fonctions  
$mult_\perp: \rr_\perp \times (\rr_\perp \rar \rr_\perp) \rar 
(\rr_\perp \rar \rr_\perp)$, et formulez l'extension correspondante de (F).
Justifiez vos choix.

\end{enumerate}
\end{document}
