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\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
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\newcommand{\si}{\mathop{\rm si }}
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\newcommand{\rr}{{\bf R}}
\newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}}
\newcommand{\rrn}{{\bf R^n}}
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\newcommand{\kx}{{\bf K}[X]}
\newcommand{\rX}{{\bf R}[X]}
\newcommand{\qq}{{\bf Q}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{0.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{15cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
\begin{center} {\Large {\bf MIAS-SM TC UMED
                    31/01/02  \\} }%
       
     Calculettes et documents interdits.  Dur\'ee: 2h.  Bar\`eme: $8\times 3=24
     >20=$ note\_max.
                  
                                    \end{center} 
\vspace{1cm}

\begin{enumerate}


\item
On d\'efinit un connecteur logique $recimp: \bb \times \bb \rar \bb$ par $recimp (A,
B)= B \imp A$. Etendre de fa\c{c}on pertinente ce connecteur \`a
$\bb_\perp = \bb \amalg \{\perp\}$.

\item

Sachant que $P$ est une partie de $\rr$, donnez une d\'efinition formelle pour
 la phrase suivante: $P$ est
un intervalle.



\item

Sachant que $f$ est une fonction sur l'intervalle $I$, formalisez la phrase 
suivante: $f$ est constante.



\item 	
L'une des formules de la feuille du bac est: $\overline {z}=\rho e^{-i\theta}$.

a)
Quelles y sont les variables libres et leurs types? 

b) Indiquez les ressources mises en oeuvre
avec leur type. 

c) Quel est le contexte sous-entendu? 

d) Donner
une version quantifi\'ee et une version r\'edig\'ee de cette formule.

  \vspace{0.5cm}
  

  
\item

Quelle ressource appliquez-vous \`a quels arguments pour r\'eduire 
le but A au but B?


A: Contexte: $x\in \rr$; \'enonc\'e: $  \frac{1}{4} \ge \frac {1}{x^2+4}$


B: Contexte: $x \in \rr$; \'enonc\'e: $0 < 4 \le x^2+4$.



\item

 D\'emontrer (en termes de tactiques) l'\'enonc\'e suivant, o\`u $f$ est
 d\'efinie par $f(x)=x^4-x^2$:

		     \vspace{-0.2cm}


 $$(\forall x \in \rr, \exists M \in \rr, f(x) \le M )\et
\forall x \in \rr, \exists T \in \rr^*, f(x+T)=f(x).$$

\noindent Est-ce que $f$ est major\'ee? p\'eriodique? 

  
 \item 
 
 On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie par $f(x)= \frac {2x}{1-x^2}$, et on
 pose $\hat \rr := \rr  \amalg \{\infty\}$.
 
 a) Proposez une extension $\tilde f$ de $f$ \`a $\hat
 \rr$. Expliquez votre choix.
 
 b) Proposez une extension $\tilde \tan$ d\'efinie sur $\rr$ 
 de la fonction tangente \`a  valeurs dans
 dans $\hat
 \rr$.
 
 c) On rappelle la formule $\tan 2x=f(\tan x)$. Indiquez son domaine de
 validit\'e.
 
 d) Avec vos choix de a) et b), dans quelle mesure
 la formule pr\'ec\'edente s'\'etend-elle?
 



\item


On consid\`ere le texte suivant:

La fonction $x\mapsto \frac {2+\sin x}{\sqrt{x^2+4}}$ est major\'ee. 

Preuve. En majorant le num\'erateur par $3$ et en minorant le d\'enominateur par
$2$, on voit que la fonction est major\'ee par $\frac{3}{2}$.


Dans l'analyse de ce texte, on peut faire appara\^{\i}tre les deux buts suivants:


C: Contexte: $x\in \rr$; 
\'enonc\'e: $ \frac {2+\sin x}{\sqrt{x^2+4}} \le \frac{3}{2}$


D: Contexte: $x \in \rr$; \'enonc\'e: $0 < 4 \le  x^2+4$.

a) Expliquez l'encha\^{\i}nement de deux tactiques qui a g\'en\'er\'e le but C.

b) Proposer un encha\^{\i}nement de tactiques pour passer de C \`a D.
Indiquez le(s) but(s) interm\'ediaire(s).

c) Quelle tactique proposez-vous pour passer de D au but suivant?

d) Citez une ressource que vous pourriez utiliser pour terminer cette preuve.

\end{enumerate}
\end{document}

\item

L'une des formules du bac est  (F): ~~$(ku)'=ku'$. 

a) Quels sont, dans (F), les types de $k$ et de la
multiplication (on ne demande pas la r\'eponse la plus
g\'en\'erale)?

b) R\'edigez un \'enonc\'e correspondant \`a (F) (on ne demande pas
l'\'enonc\'e le plus g\'en\'eral).

c) On note $der_\perp: (\rr_\perp \rar \rr_\perp) \rar (\rr_\perp \rar
\rr_\perp)$ et $|\, |_\perp: \rr_\perp \rar \rr_\perp$ les extensions naturelles
de la d\'erivation et de la valeur absolue. D\'ecrivez $der_\perp(|\,|_\perp)$.

d) Proposez une extension pertinente de la multiplication des nombres:

$mult_\perp: \rr_\perp \times \rr_\perp \rar \rr_\perp$ et de la multiplication
des fonctions  
$mult_\perp: \rr_\perp \times (\rr_\perp \rar \rr_\perp) \rar 
(\rr_\perp \rar \rr_\perp)$, et formulez l'extension correspondante de (F).
Justifiez vos choix.

\end{enumerate}
\end{document}

\item

On consid\`ere le texte suivant:

Pour tout r\'eel $a$, la fonction $x\mapsto \sin ax$ est p\'eriodique. 

Preuve. Si $a$ est non-nul, on v\'erifie que la fonction est p\'eriodique de
p\'eriode $\frac{2\pi}{a}$. ...

Dans l'analyse de ce texte, on peut faire appara\^{\i}tre les deux buts suivants:

A: Contexte: $a\in \rr, a \neq 0$; \'enonc\'e: 
$\exists T \in \rr^*, \forall x \in \rr, 
\sin ax =\sin a(x+T)$


C: Contexte: $a, x \in \rr, a \neq 0$; \'enonc\'e: $
\sin ax =\sin a(x+\frac{2\pi}{a})$.


a) Quelle tactique a g\'en\'er\'e le but A?

b) Quel couple de tactiques proposez-vous pour passer de A \`a C?
Indiquez le but interm\'ediaire.

c) Quel tactique proposez-vous pour passer de C \`a un autre but?

d) Citez une ressource que vous pourriez utiliser pour terminer cette preuve.
