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\newcommand{\kx}{{\bf K}[X]}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 M\'ethodo Exos5~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      Nier, traduire}}  \hfill 18/11/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
                     
                     \vspace{0.9cm}

\begin{enumerate}

\item {\Large {\bf Nier}} 
                   
                     \vspace{-0.7cm}


$$\binom {n}{p} = \dfrac {n!}{ p! (n-p)!};~~~
\forall n,p \in \nn,  \binom {n}{p} = \dfrac {n!}{ p! (n-p)!};~~~
\lim _{x \rar 0} x^ {\alpha} = 0;~~~
\tan x=0 \imp \exists k \in \zz, x=\dfrac {\pi}{2} +k\pi;$$
                   
                     \vspace{-0.7cm}


$$
\forall \alpha \in \rr, \lim _{x \rar 0} x^ {\alpha} = 0;~~    
\forall x \in I, f'(x) >0;~~~
\forall x,y \in I, x \le y \imp x^2 \le y^2;~~
\forall x,y \in I, x < y \imp f(x) < f(y);$$
                   
                     \vspace{-0.7cm}


$$ 
\forall x,y \in I, x \le y \ssi f(x) \le f(y);~~
\forall x,y \in I, x < y \ssi f(x) < f(y);~~
\forall x, y \in \rr, \ln (xy)=\ln x +\ln y;$$
                   
                     \vspace{-0.7cm}


$$
\forall \theta, \theta ' \in \rr , 
\rho e^{i\theta} =\rho ' e^{i\theta '} \imp
\rho=\rho';~
\exists T \in \rr, \forall x \in \rr, f(x+T)=f(x);~~
\forall x \in \rr,\exists T  \in \rr, f(x+T)=f(x).$$

                     
                     \vspace{0.3cm}


\item {\Large {\bf Formuler la contrapos\'ee puis la r\'eciproque}}

$\forall x,y \in I, x \le y \imp x^2 \le y^2; ~~
\forall x,y \in I, x < y \imp f(x) < f(y);~~
\forall x,y \in I, x^4=y^4 \imp x=y.$
                     
                     \vspace{0.3cm}


\item {\Large {\bf Traduire sous contexte}}\\ 
Dans le contexte donn\'e, formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants.

\begin{enumerate}

\item {Contexte : $x$ et $y$ sont r\'eels.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent

$x$ et $y$ ont m\^eme partie enti\`ere; ~~ $(x \geq 0 \et y \leq 0) \ou 
(x \leq 0 \et y \geq 0)$; ~~ 
$x$ est d\'ecimal.
                    
                     \vspace{0.2cm}

\item {Contexte : $I$ est un intervalle, $f$ et $g$ sont des fonctions sur
$I$.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent
$f$ est positive; \hfill $\exists m \in \rr,\  
\forall x \in I,\  f(x) \geq m$; \\
$f$ est constante; \hfill $\forall x\in I,\  f(x) \neq g(x)$;\\
$f$ est croissante; \hfill $f$ est major\'ee par $2$; \\
$f$ est born\'ee; \hfill
$\forall x,\ x' \in I,\  f(x)=0 \et f(x')=0 \Rightarrow x=x'$;\\
$f$ et $g$ sont distinctes;\hfill $f$ majore $g$; \\
$f$ change de signe une et une seule fois sur $I$; \hfill
$\forall x \in I,\  x+\pi \in I \et f(x+\pi)=f(x)$;
\\
$f$ est monotone; \hfill
$(\forall x\in I,\  f(x) > g(x)) \ou
(\forall x\in I,\  f(x) < g(x)$; \\
$\exists x \in I,\  \forall y\in I,\  y \geq x \Rightarrow f(y) \geq 0$.
\end{enumerate}
                     
                     \vspace{0.3cm}


\item  {\Large {\bf Traduire sans contexte}}\\    
Formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants.
\begin{enumerate}
\item{Concernant les nombres entiers et rationnels}:
\vspace{.1mm}\par\noindent

$\exists x \in \nn,\  \forall y\in \nn,\  y \geq x \Rightarrow \exists z 
\in \nn,\  y^3 \leq z^2 \leq (y+1)^3$; \\
$\forall n \in \nn^*,\  \exists
a,\ b,\ c,\ d\in \nn^*,\  n=a^2+b^2+c^2+d^2$. 
                 
                     \vspace{0.2cm}

\item{Concernant les nombres complexes}:
\vspace{.1mm}\par\noindent
Deux nombres complexes sont \'egaux si et
seulement si leurs modules et leurs arguments le sont;\\
$\forall z \in \cc^*,\  \exists r,\ r'\in \cc,\ 
r \neq r' \et r^2=z \et {r'}^2=z$;\\
$\forall z \in \cc^*,\  \forall \theta \in \rr,\  
\Arg z=\theta \, [2\pi] \, \Rightarrow \Arg z^{-1} =-\theta \, [2 \pi]$;\\ 
$\forall z,\ z' \in \cc,\  z^2={z'}^2 \Rightarrow z=z' \ou z=-z'$;\\ 
Il y a exactement $n$ racines $n$-i\`emes de l'unit\'e
distinctes, et ce pour tout $n$.


\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{document}


\item{Petit rab}:
\vspace{.1mm}\par\noindent
Tout polyn\^ome de coefficient dominant 
positif tend vers l'infini \`a l'infini;\\
Un trin\^ome du second degr\'e 
qui s'annule en trois points est identiquement nul;\\ 
 Un syst\`eme de deux \'equations lin\'eaires \`a deux 
inconnues de discriminant non-nul admet une unique solution; \\
Deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues peuvent n'avoir
aucune solution commune. 

\end{enumerate}

\item {\Large {\bf R\'ediger}}

Traduire informellement et \'evaluer les \'enonc\'es suivants; pour chaque
\'enonc\'e faux, proposer une variante juste.

 $\forall x,y \in {\bf R},\, x\leq y \Longrightarrow x^2 \leq y^2;$
\hfill $\forall x,y \in [0, +\infty[,\, x^3 < y^3 \ssi x < y;$\\
 $\forall x,y \in {\bf R},\, max(x, y)=min(x,y) \Longrightarrow x=y;$
\hfill
$\forall x, y \in  {\bf R},\, max(x,y)=x \ou max(x,y)=y;$\\
$\forall x,y,a \in {\bf R},\, x <y \Longrightarrow x+a <y+a;$ \hfill
 $\forall x, y , a, b \in  {\bf R},\, x<y \et a \leq b \imp x+a < y+b;$\\
 $\forall x,y \in \rr, \forall a \in [0, +\infty[,\, 
 x \leq y \Longrightarrow ax \leq ay;$ \hfill
 $\forall x, y , a, b \in  [0, +\infty[,\, x<y \et a \leq b \imp ax < by;$\\
$\forall x \in {\bf R},\,\exists n \in {\bf N},\, 
n \leq x \leq n+1;$\hfill
$\forall z \in \cc,\,\exists r \in \cc,\, 
r^3=z;$ \\
$\exists z, t\in \cc,\, 
|z+t| \neq |z| +|t|$;\hfill
$\forall x,y \in \rr,\, e^{x+y}=e^xe^y.$\\
		     
		     \vspace{0.6cm}

\item
 {\Large {\bf Formaliser}}

Proposer une interpr\'etation formelle pour les
 \'enonc\'es suivants:

\begin{enumerate}
\item
Tout nombre complexe non nul poss\`ede deux racines carr\'ees oppos\'ees.
\item
Deux nombres positifs sont toujours rang\'es dans le m\^eme ordre que leurs
logarithmes.
\item
 Un nombre complexe non nul est d\'etermin\'e par son module et son argument.
\item
 Un nombre complexe non nul n'est d\'etermin\'e ni par son module ni par
 son argument.
\end{enumerate}





\end{enumerate}


\end{document}


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%%% TeX-master: t
%%% End: 
