L1MD - Raisonnement mathématiques
2013-15
Présentation
Ce cours reprend celui
d'André Hirschowitz sur la période 2008-13
L'objectif du cours est de :
- Préciser d'un point de vue syntaxique ce que sont les objets
mathématiques et les énoncés portant sur ces objets. Expliciter la
notion de type pour un objet (objets de même type, constructions
disponibles pour un tel type d'objet) omniprésente dans un exposé
mathématique mais le plus souvent implicite.
- Expliciter les règles du raisonnement en mathématiques. En dehors
d'un cours de logique les règles de raisonnement sont presque toujours
implicites
- Présenter les preuves comme des chemins (orientés) entre
théorèmes. Expliciter les règles de raisonnement. Montrer par des
exemples la place des axiomes et des théorèmes admis dans un exposé
mathématique.
Les éléments du cours sont :
- Les objets mathématiques et leur type (nombre, ensemble,
fonction, etc.). Ils sont représentés par des constantes (sin, π, R,
etc.), des variables, des formules (ou "constructions") telles que
:
- Les énoncés : Passer des énoncés
informels (tels que "f est
continue", "E admet un plus grand élément") aux énoncés formels et
inversement. Identifier les constantes et les variables libres d'un
énoncé (ce sur quoi l'énoncé dit quelque chose), identifier les
variables liées (qui servent à formuler l'énoncé ou un objet de
l'énoncé)
. Valeur de vérité d'un énoncé (un énoncé n'a pas toujours une valeur
de vérité même si on accepte le tiers exclus en logique
classique). Connecteurs logiques ('non', 'et', etc.), tables de vérité,
quantificateurs.
- Théorèmes et leur formalisation en
séquents : on déclare les variables libres de l'énoncé avec leur type et on
distingue les hypothèses de la conclusion.
- Preuves et leur formalisation en calcul des séquents : on
explicite les règles du raisonnement. Un preuve est un chemin entre un
ou plusieurs théorèmes admis vers un nouveau théorème, chaque étape du
chemin résultant de l'application d'une règle.
Storyboard (archives 2013-14)
