1. (12sept) Présentation du cours
Comparaison des fonctions et des suites (début). Introduction avec une
majoration du nombre e=exp(1) défini par ∫
1e dt/t
= 1 en encadrant ∫
1x dt/t par ∫
1x
dt/t
α
(qui a une expression élémentaire si α=1±1/n). Encadrement de la
fonction exp(x) au voisinage de x=1 par des fonctions polynômiales de
degré 2 grâce au développt limité.
2. (19sept)
Voisinage d'un nombre réel x
0, exemples ; rappel limite en x
0
d'une fonction, limite d'une suite. Fonction f négligeable devant une
fonction g au voisinage de x
0, notation f=o
x0(g)
ou f(x)=o
x→x0(g(x)). Développement suivant une échelle de
fonctions (f
α) en x
0 [à revoir].
3. (26sept)
Voisinages à droite ou à gauche en x
0, voisinage de +∞, de
-∞. Echelles de comparaison en x
0 (nbre réel ou +∞, -∞),
exemples (x
n en 0, en +∞, en -∞, ((x-x0)
α)
α∈R
à droite de x
0, etc), contre-exemples. Equivalence entre
deux fonctions au voisinage de x
0, équivalent d'une fonction
f dans une échelle donnée (l'équivalent n'existe pas toujours), ex.
4. (3oct) Développement asymptotique : motivation avec le comportement
en +∞ de 1+x-√(x
2+1) : limite et vitesse de convergence vers la limite. Développement de Taylor lorsque x
0 n'est pas ±∞ et la fonction est n-fois dérivable en x
0, somme, produit de développements asymptotiques (la précision est le "moins disant"), composition ex ln((x+1)/x).
5. (10 oct)
Intégrales impropres en l'une ou les deux bornes, convergence,
convergence d'une série numérique. Intégrales de Riemann, critères de
convergences : l'intégrale d'une fonction positive est une fonction
croissante de la borne supérieure (et une fct décroissante de la borne
inférieure), fonction dominée par une fonction positive dont
l'intégrale converge, exemples.
Lectures : voir la
page du cours en 2013-14. Essayer successivement avec
wolframalpha :
int sin(t)/t from 0 to x ,
int sin(t)/t from 0 to infinity ,
int exp(-t^2) from 0 to x ,
int exp(-t^2) from 0 to infinity ,
sum 1/n^2
6. (17 oct)
Critères de convergence des intégrales impropres et des séries - suite
(critère de Riemann pour les intégrales, changement de variable pour se
ramener à 0
+). Intégrales et séries semi-convergentes, ex convergence de ∫
1+∞ sin(t)/t dt par intégration par parties.
7. (24 oct) Suites
numériques. Introduction : suites dans la construction des nombres ou
des fonctions, exposé usuel versus exposé académique, exemples.
Critères de convergence des suites : critère de Cauchy, suites
croissantes majorées, application aux séries absolument convergentes.
Suite définie par la relation u
n+1=f(u
n), critère de convergence (théorème du point fixe).
8. (7 nov)
Equations différentielles : terminologie (scalaire, d'ordre n,
linéaire, homogène ou avec second membre, à coefficients constants),
notion de solutions, lien avec le calcul des primitives, l'équation
y'-y=0 et la définition de la fonction exp, lien avec la primitive de
1/x. Résolutions des équations différentielles linéaires d'ordre 1.
(14 nov) Partiel durée 1h20
9. (21 nov)
Equations différentielles (suite) : forme générale (équation résolue ou
pas, scalaire d'ordre n, linéaire ou pas, vectorielle d'ordre 1 ou
plus, forme matricielle des équations différentielles linéaires
vectorielles, système d'équations scalaires couplées).
Equations diff. linéaires scalaires d'ordre 2 : résolution lorsqu'on
connaît une solution non nulle de l'équation homogène associée, cas des
équations à coefficients constants.
10. (28 nov)
Polynôme ou équation caractéristique d'une équations diff. linéaire
scalaire à coefficients constants. Forme des solutions pour une telle
équation homogène ou avec second membre de la forme P(x)exp
αx
suivant la multiplicité de α dans le polynôme caractéristique. Exemples
de calcul avec les équations y''+2y'-3y=x, y''+2y'-3y=xe
-3x, y''+2y'+y=x, y''+2y'+2y=x (partie réelle et partie imaginaire des solutions complexes).
11. (5 dec) Autres
exemples de résolution des eq. diff. scalaires linéaires à coefficients
constants, solutions d'une combinaison linéaire de 2 equations, ex.
y''+2y'+5y=2x-3xe
-xcos(2x) ; exemple d'équation scalaire associée à un système de deux éq. diff couplées d'ordre 2.
Introduction aux relations de récurrence pour les suites numériques.
12 (12 déc.) Suites récurrentes d'ordre p : expression avec l'opérateur Δ (défini par Δ(u
n) := (u
n+1-u
n)
) et ses itérés ; forme générale des solutions d'une relation de
récurrence linéaire à coefficients constants avec second membre de la
forme P(n)a
n. Equation aux différences finies associée à une
équation différentielle, méthode d'Euler d'approximation numérique de
la solution d'une éq. diff. avec conditions initiales.
Video projection : réponses données par le site
WolframAlpha à une sélection d'exercices du cours.
Lecture :
Recurrence relation sur Wikipedia (en anglais).