Un fibré vectoriel sur une base X est une famille continue d'espaces vectoriels indéxée par les points de X, localement isomorphe à la projection UxRⁿ→U. Un exemple venant de la géométrie différentielle est le fibré tangent d'une variété. Nous traduirons la définition et les propriétés des fibrés vectoriels, notamment l'invariance par homotopie, dans le monde algébrique des modules sur l'anneau des fonctions numériques continues de X. Nous glisserons ensuite aux anneaux venant de l'algèbre commutative pour obtenir la notion de fibré algèbrique sur un anneau A. L'un des fils directeurs du cours sera de montrer sur des exemples qu'un fibré donné n'est pas isomorphe au fibré trivial Aⁿ.

Le cours sera accompagné d'exposés thématiques par les étudiants et enseignants-chercheurs et d'exercices en séances de TD.

Thématiques : algèbre commutative, topologie algébrique, géométrie algébrique

Page web du cours : http://math.unice.fr/~dehon/Ens/M2fibralg

1-[14sept11](FX) Espace topologique, axiomes de séparation, recouvrement ouvert, compacité, anneau C(X) des fonctions numériques continues sur X, idéaux maximaux de C(X), représentation des applications continues par des homomorphismes d'anneaux. Réf. pour le cours : [J. Dugundji, Topology, chap VII-VIII], [Gillman & Jerison, Rings of Continuous Functions] Feuille de TD no 1 (20sept11) : recouvrements et appl. continues, idéaux de C(X) et ensemble des pts d'annulation, topologie de Zariski. Thèmes d'exposés  : 1a) classification des algèbres de Banach commutatives, 1b) compactification de Stone-Cech 1c) définition faisceautique des variétés différentiables (Voir [A. Neeman, Algebraic and analytic geometry, Cambridge Univ. Press]) 1c-bis)définition faisceautique des variétés algébriques. Reste à faire : passage du local au global. Localisation d'un anneau commutatif abstrait. Définition d'un objet par un atlas (recollement). 2-[21sept11](K) Rappel sur la différentiabilité d'une application, thm des fct implicites, thm d'inversion locale ; sous-variétés de Rn : localt difféomorphe à Rp⊂Rn, localt g-1(0), localt h(Ω), localt le graphe d'une application Rp→Rn ; ex. Fibré tangent, fibré normal d'une sous-variété de Rn : structure d'ev de la fibre, trivialité locale. Fibré vectoriel, fibré trivial, morphisme, ex. ruban de Moebius (non trivial), fibré tautologique sur l'espace projectif. Réf. pour le cours : [J. Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles, chap. 1] [Atiyah, K-theory, chap. I], [Hatcher, Vector Bundle and K-theory, chap.1]. Feuille de TD no 2 (sept11) : sous-variétés de Rn, fibrés. Thème d'exposés : 2a) question de l'existence d'une équation globale régulière pour une sous-variété de Rn. 2b) fibrés vectoriels sur le produit Xx[0,1], invariance par homotopie. 2c) Grassmanniennes et la classification des fibrés vectoriels 2d) G-fibrés principaux Reste à faire : section d'un fibré, champs de vecteurs. 3-[28sept11](K) Opérations sur les fibrés vectoriels : restriction, image réciproque (produit fibré d'espaces topologiques), somme directe. Extension aux fibrés d'une construction sur les espaces vectoriels (fibré dual, fibré des morphismes, produit tensoriel) : cas d'un fibré trivialisable, topologie engendrée par un recouvrement. TD : feuille 1 ex. 4-9, 12. Réf. pour le cours : [Atiyah, K-theory, §1.2] Reste à faire : variété, fibré définis par un atlas, morphismes entre objets définis par des atlas, fibrés sur la sphère via une application de l'équateur dans GLn. 4-[5oct11](FX) TD : f1 ex13, construction d'un idéal premier non maximal de C([0,1]), f2 ex5,3 Cours :  Γ(ξ) = ens des sections d'un fibré vectoriel ξ sur X, C(X)-module. Panorama sur les modules sur un anneau commutatif : libre, de type fini, propriété héritée par les sous-modules (anneau noethérien), projectifs. Cas d'un corps, d'un anneau principal, de k[x,y], de C(X). Γ(εn)≅C(X)n, Hom(εn,ξ)≅Γ(ξ)n. Restriction et extension des scalaires Rq : (Y⊂X)→Γ(ξ|Y) est un préfaisceau, en fait un faisceau. Prop: Y fermé dans X compact alors Γ(ξ)→Γ(ξ|Y) est surjective. Démonstration avec la trivialité locale de ξ et une partition de l'unité adaptée. Réf. ? 5-[12oct11] TD(K) : f2 ex 6 Cours(FX) : Objectif : pour X compact on a Homfibrés(ξ,η)→HomC(X)-modules(Γ(ξ),Γ(η)) bijective et les C(X)-modules Γ(ξ) sont à isomorphisme près exactement les C(X)-modules projectifs de type fini. Extension des scalaires : B⊗AM est le quotient de M par ker(A→B)M si B est un quotient de A. discussion HomB(B⊗AM,N) pour les A-modules M de présentation finie. Y⊂X, ξ fibré sur X alors C(Y)⊗C(X)Γ(ξ)→Γ(ξ|Y) est iso si ξ est isomorphe au fibré trivial ou si X est compact et Y fermé dans X. En particulier si (πi) est une partition de l'unité trivialisante pour ξ alors C(supp πi)⊗C(X)Γ(ξ) est un C(supp πi) module libre de type fini. Algébrisation : A→Ai,i=1..n morphisme d'anneaux surjectif, Ai→A morphisme de A-module injectif tq la composée A→Ai→A est la multiplication par un élément πi∈A et Σiπi=1. On a : Soit M un A-module alors M=+iπiM et πiM→πiAi⊗AM est iso ; Soit f:M→N morphisme de A-modules, alors f admet une section ssi Ai⊗Af admet une section pour tout i ; idem pour rétract et iso ; Soit M un A-module tel que Ai⊗AM est libre de type fini pour tout i alors M est projectif de type fini. 6-[17oct11](FX) Présentation de la feuille de TD localisation d'un anneau et des modules sur cet anneau : modules sur un anneau localement libre, cas du C(X)-module Γ(ξ). Cours : Φ:Homfibrés(ξ,η) → HomC(X)-mod(Γ(ξ),Γ(η)) est une bijection. Deux approches : - Localisation : ∀x∈ X,∃f∈ C(X),f(x)≠0 et ξ|supp(f), η|supp(f) sont trivialisables ; alors C(supp(f))⊗C(X)Hom(ξ,η)→Hom(ξ|supp(f),η|supp(f)) est iso (on utilise le fibré des morphismes) puis C(supp(f))⊗C(X)Φ est iso. On montre ensuite qu'un morphisme localement iso est iso. - Reconstruction de Hom(ξ,η), respectivement Hom(Γ(ξ),Γ(η)) à partir des Hom(ξ|Yi,η|Yi), resp. Hom(Γ(ξ|Yi),Γ(η|Yi)), où (Yi) est un recouvrement fermé de X ; on compare ensuite deux diagramme égalisateur. Tout C(X) module projectif de t.f. est isomorphe au module des sections d'un fibré vectoriel sur X : on est amené à montrer que pour f:εn→εn idempotent, le "noyau" de f est localement trivial donc est un fibré vectoriel. Réf. : Pour la localisation : par ex. [Bourbaki, Algèbre commutative, chap.II,§5]. Pour le noyau d'un idempotent εn→εn : [Atiyah, K-theory,§1.3]. Pour l'isomorphisme Homfibrés(ξ,η) → HomC(X)-mod(Γ(ξ),Γ(η)) voir aussi la remarque en fin du §1.3 de [Atiyah]. Reste à faire : construction de fibrés par recollement : cas des fibrés sur la sphère, fibré vectoriel au dessus de Xx[0,1] (invariance par homotopie) 7-[26oct11](K) Cours : Applications continues homotopes, équivalence d'homotopie. Prop.1: f,g:X→Y applications continues homotopes, ξ fibré sur Y alors f*ξ et g*ξ sont isomorphes. Prop.2 : ξ fibré sur Xx[0,1] alors ξ est étendu (ξ est isomorphe à prX*ξ|Xx{0}). Application : classification des fibrés sur la sphère Sn+1 à isomorphisme orienté près par une classe d'homotopie d'application Sn→GL+(Rd). Réf. : [Atiyah, K-theory, §1] pour l'invariance par homotopie, [Hatcher, Vector Bundle and K-theory, chap.1] pour les fibrés vectoriels sur la sphère. TD : feuille 3 §1 jusque Ex. 8-[9nov11](K) Classification des fibrés non orientés de dim d sur la sphère Sn+1 : Vectd(Sn+1)≅Vect+d(Sn+1)/~ ≅ [Sn,GL+(Rd)]/~ où on identifie φ:Sn→GL+(Rd) au conjugué de φ par un élément de GL-(Rd). Ex (εn,O)~(εn,-O) ; (τS2,O) n'est pas isomorphe à (τS2,-O). [Sn,GL+(Rd)]≅πn(SO(d)) (classes d'homotopie pointée d'applications pointées de Sn dans SO(d) ). π1(SO(2))≅Z (groupe des entiers naturels) : utiliser le revêtement universel de S1≅SO(2) ; Vect2(S2)≅Z/ n~-n ; détermination d'un φ:S1→GL+(R2) représentant (τS2,O) ; (τS2,O) est le double d'un générateur, en particulier τS2 n'est pas trivial. Complexification, structure complexe. Ex : τS2⊗RC≅τS2⊕(τS2)* est isomorphe au fibré complexe trivial (S1→SO(2)→SU(2)⊂U(2) la composée est homotopiquement triviale). τS2 a une structure complexe (φ:S1→U(1)→SO(2) ) ; τS2 n'est pas stablement trivial comme fibré complexe. Application à l'algèbre : Γ(τS2) est l'image du projecteur de C(S2)3 de matrice I3-t(X Y Z)⋅(X Y Z), où X,Y,Z sont les restrictions à S2 des projections de R3 sur les axes coordonnées, qu'on peut voir comme une matrice idempotente P de M3(A) où A=Z[X,Y,Z]/(X2+Y2+Z2-1). On obtient Γ(τS2)≅C(S2)⊗AIm(P). Γ(τS2) n'est pas un C(S2)-module libre puisque τS2 n'est pas trivialisable donc Im(P) n'est pas un A-module libre. Ker(P) est le sous-module de A3 engendré par (X,Y,Z) donc est un A-module libre. On a A3≅Im(P)⊕Ker(P). On sait τS2⊗RC est un C-fibré trivialisable. A t-on C⊗ZIm(P) est un C⊗ZA-module libre ? Réf. pour l'application à l'algèbre : [R.G. Swan, Vector bundles and projective modules, Trans. Amer. Math. Soc. (1962)] 14h : Exposé de J-B. Campesato. 9-[16nov11] fin du cours(K) : x=(xi)∈An, où A est un anneau commutatif, est un vecteur unimodulaire si l'idéal engendré par les xi est A, ce qui équivaut aux conditions : la droite Ax est un A-module libre et le quotient An/Ax est un A-module projectif. Ce quotient est libre ssi x se complète en une base de An ce qui équivaut à (xi)~(1,0,...,0) pour l'action de GLn(A) sur An. Ex : - n=2 ou A anneau principal alors tout vecteur unimodulaire se complète en une base. - A=R[X,Y,Z]/(X2+Y2+Z2-1) alors (X,Y,Z) est un vecteur unimodulaire de A3 qui ne se complète pas en une base. - A=C[X,Y,Z]/(X2+Y2+Z2-1) alors (X,Y,Z) se complète en une base : (X,Y,Z)~(X+iY,X-iY,Z) et X2+Y2=(X+iY)(X-iY) = 1-Z2 donc (X+iY,Z)~(1,0) pour l'action de GL2(A)... - A=R[X,Y,Z]/(X2+Y2+Z2-1). On a (X,Y,Z)~(X-(Y2+Z2)/(1+X),Y,Z)=(1,Y,Z)~(1,0,0) si on localise A hors de 1+X (A[1/(1+X)]). De même (X,Y,Z)~(1,0,0) si on localise A hors de 1-X. Le fait qu'un vecteur unimodulaire se complète en une base n'est donc pas une propriété locale. TD(FX) : feuille 3-4 modules de type fini, de présentation finie, projectifs, passage du local au global. ex 11,4,13. 10-[23nov11] TD(FX) feuille 3-4 ex 5,9,8,10,7. Commentaires sur les différentes localisations de l'anneau des fonctions numériques continues sur un espace normal : C(supp(f)), C(X)[1/f], C(f-1(R\{0})), C(X)I{x}, C(-)x, où x∈X et f∈C(X) est une application ne s'annulant pas en x et où C(-)x désigne l'anneau des germes de fonctions continues définies au voisinage de x ; de même avec Γξ(-) module des sections d'un fibré vectoriel ξ sur X compact. Ex 18 : Matrices idempotentes de rang 1, tout module projectif de type fini de rang 1 sur un anneau factoriel est libre. Exemple : fibré de Moebius sur le cercle S1 et l'anneau R[X,Y]/(X2+Y2-1). Reste à faire : feuille de TD 5 (fibrés vectoriels sur la sphère), exercices sur les vecteurs unimodulaires. Thème d'exposé : preuve de la 'conjecture' de Serre. Examen prévu jeudi 8 décembre 2011 matin - tout document manuscrit est autorisé.