Fleuves complexes

Francine Diener

Laboratoire de Mathmatiques Parc Valrose 06108 Nice Cedex 2

A Jean-Louis Callot

J’ai souvent parlé de fleuves complexes, durant les années 1992/1993, avec Jean-Louis Callot . A cette époque, il aimait parler de ces solutions particulières, qu’il appelait distinguées. Je suis bien triste de ne plus pouvoir soumettre à sa critique ces quelques lignes, qui, de toute façon, lui doivent beaucoup.

1 Introduction

Les fleuves ont été étudiés initialement [9] [5] [10] dans le champs réel : il s’agissait d’expliquer certaines concentrations spectaculaires de solutions apparaissant sur des tracés d’ordinateur de portraits de phase. Mais leur étude a permis de comprendre qu’ils n’étaient pas seulement des objets géométriques, solutions particulières d’équations différentielles “structurant” les portraits de phase, mais aussi et surtout des objets analytiques dans le sens suivant : les fleuves possèdent des développements asymptotiques qui sont en fait des séries vérifiant formellement l’équation différentielle. Or une équation différentielle possède en général un petit nombre de solutions formelles et le problème d’associer à une telle solution formelle une “vraie” solution dont elle soit le développement asymptotique n’est pas un problème trivial en général, principalement à cause de la divergence de ces séries. On sait aujourd’hui ([12][4]) que les fleuves sont précisément ces “vraies” solutions qui “incarnent” les solutions formelles.

Il semblait naturel de chercher à généraliser la notion de fleuves aux équations différentielles complexes, au moins dans leur aspect analytique. Mais en fait ce n’est qu’après avoir élucidé les propriétés géométriques des solutions d’équations différentielles complexes (concentration des autres solutions autour des fleuves) qu’on a pu dégager la définition que nous proposons ici et, avec elle, la preuve de l’existence de ces solutions spéciales. Le théorème d’existence, qui est le résultat principal de cet article, est donc, pour le cas particulier des équations différentielles du premier ordre, un “théorème fondamental d’existence” au sens de Wasow [16] ou de Sibuya et Ramis [13]. On verra qu’il permet notamment de préciser, en termes géométriques simples, les raisons profondes qui limitent l’ouverture du secteur sur lequel ces solutions existent.

L’outils fondamental pour “explorer géométriquement” les solutions d’une équation différentielle complexe du type que nous étudions ici \frac{dY}{dX} = F (X, Y) , (X, Y) ∈ ℂ^{2}, est fourni par les fonctions de relief de Callot associées à une version lente-rapide de l’équation [3]. J’en rappelle dans la deuxième partie la définition (avec un point de vue un peu différent de celui de Callot) et l’usage qu’on peut en faire. Dans la troisième partie, je donne la définition d’un fleuve et l’énoncé du théorème d’existence. Enfin dans la quatrième et dernière partie figure la preuve du théorème d’existence.

2 La méthode des reliefs de Callot

Soit F une fraction rationnelle à coefficients complexes, F ∈ ℂ(X, Y) et soit l’équation différentielle :

\frac{dY}{dX} = F (X, Y) , (X, Y) ∈ ℂ^{2}  (1)

Figure 1: Trajectoires de l’équation Y′ = (Y − X)(Y − X^{2}) et ses deux modèles lents rapides ε^{3}y′ = −x^{2}(y − x) + o / et ε^{3}y′ = y(y − x^{2}) + o /.

Pour déterminer le comportement asymptotique des solutions Y (X) de cette équation pour |X| grand, nous étudierons, comme dans le cas réel, une version lente-rapide de l’équation

ε\frac{dy}{dx} = f(x, y)  (2)

(ε > 0 est infinitésimal et f est limitée ainsi que ses dérivées) image de l’équation initiale par le changement d’échelle (un macroscope)

\{ \begin{matrix}x & = & εX \\ y & = & ε^{r}Y \end{matrix}  (3)

de telle sorte qu’un fleuve de (1) ait pour image par (3) une solution lente y(x) de (2), c’est-à-dire une solution telle que f(x, y(x)) ≃ 0.

Rappelons brièvement pourquoi l’étude de la version lente-rapide (qui consiste en quelque sorte à regarder l’équation de loin) fournit, dans le cas réel, la clef du comportement asymptotique des solutions. Dans un champ lent-rapide de ℝ^{2}, les solutions sont quasiverticales sauf lorsqu’elles suivent l’une des branches de courbe lente d’équation f(x, y) = 0 (voir figure 1), c’est-à-dire précisément lorsqu’elles sont lentes. Les seuls comportements asymptotiques possibles à croissance modérée sont donc ceux des solutions qui longent une branche infinie de la courbe lente. Prouver l’existence de fleuves passe alors par la preuve de l’existence de telles solutions. On montre cette existence de façon différente selon que la courbe lente est attractive ou répulsive, c’est-à-dire, selon que \frac{∂f}{∂y} < 0 ou \frac{∂f}{∂y} > 0 (ceci pour un voisinage de +∞, et c’est l’inverse dans un voisinage de −∞) : dans le cas attractif, toutes les solutions issues de points proches de la branche sont piégées le long de cette branche jusqu’à l’infini ; dans la cas répulsif au contraire, elles sont toutes appelées à s’en écarter, sauf une seule qui doit suivre la branche de courbe lente jusqu’à l’infini. C’est cette idée qui a permis à M. Diener [10] puis à I. van den Berg [1] de prouver l’existence de fleuves dans le cas réel.

Mais revenons au cas complexe qui nous intéresse ici. Le recours à une équation lente-rapide telle que (2) pour étudier les propriétés asymptotiques des solutions de (1) et l’examen des branches infinies de sa courbe lente peut se faire aussi bien dans ℂ que dans ℝ. Bien entendu la courbe lente f(x, y) = 0 est cette fois une courbe complexe. Mais la question de savoir s’il existe bien des solutions définies sur un voisinage de l’infini (lequel ?) qui restent infiniment voisines d’une branche infinie donnée de la courbe lente se pose en des termes différents maintenant, d’autant que les notions d’attractivité et de répulsivité d’une telle branche n’ont plus d’équivalent simple dans ℂ.

L’idée est alors d’étudier le problème en restriction à un chemin allant à l’infini dans le plan complexe de la variable x. En effet le champ lent-rapide de ℂ^{2} donné par l’équation (2) devient, en restriction à un tel chemin, un champ lent-rapide de ℝ^{3} pour lequel les notions de courbes lentes attractives et répulsives reprennent tout leur sens. Voyons ce que nous livre cette idée.

Dans l’équation (2), posons y = u + iv et x = γ(t), où γ : [0, +∞[→ ℂ est un chemin dérivable, tracé dans le plan des x, tel que lim_{t→+∞} |γ(t)| = +∞. L’équation devient :

\{ \begin{matrix}ε\frac{du}{dt} & = & Re [f(γ(t), u + iv) · γ′(t)] := g(t, u, v) \\ ε\frac{dv}{dt} & = & Im [f(γ(t), u + iv) · γ′(t)] := h(t, u, v) \end{matrix}  (4)

C’est un système lent-rapide de l’espace ℝ^{3} (des variables (t, u, v)) dont la courbe lente est la courbe (standard) définie par ^{o}g(t, u, v) = ^{o}h(t, u, v) = 0. Désignons par C cette courbe lente et cherchons à déterminer à quelle condition l’un de ses points standard M est attractif ou répulsif. Par définition [8], il est attractif ou répulsif si c’est un point stationnaire asymptotiquement stable, respectivement instable, de la dynamique rapide associée : on obtient cette dynamique en multipliant les deux composantes du champ lent-rapide par ε et en prenant la partie standard du champ obtenu. Ici, la dynamique rapide est, t étant fixé :

\{ \begin{matrix}\frac{du}{dτ} & = & ^{o}g(t, u, v) \\ \frac{dv}{dτ} & = & ^{o}h(t, u, v) \end{matrix}  (5)

Comme l’ombre d’une fonction analytique est une fonction analytique (Robinson [14]) et comme le passage à l’ombre commute avec l’opération de prise de partie réelle ou de partie imaginaire, la matrice jacobienne du système (5) en un point M = (t, u, v) est égale à

\frac{1}{ε} ( \begin{matrix}^{o}g′_{u}(M) & ^{o}g′_{v}(M) \\ ^{o}h′_{u}(M) & ^{o}h′_{v}(M) \end{matrix} ) = \frac{1}{ε} ( \begin{matrix}^{o}g′_{u}(M) & ^{o}g′_{v}(M) \\ −^{o}g′_{v}(M) & ^{o}g′_{u}(M) \end{matrix} )

Ses deux valeurs propres \frac{1}{ε}(^{o}g′_{u}(M) ± i^{o}g′_{v}(M)) ont donc pour partie réelle \frac{1}{ε}(^{o}g′_{u}(M)), soit en revenant à l’échelle initiale, \frac{1}{ε}Re [^{o}f′_{y}(M)γ′(t)]. On comprend que si γ(t) est un chemin pour lequel cette quantité est négative en tout point standard de γ([0, +∞[), la courbe C correspondante sera attractive. De même, si γ(t) est un chemin pour lequel cette quantité est positive en tout point standard de γ([0, +∞[), la courbe C correspondante sera répulsive. Nous allons voir qu’une autre façon, plus géométrique, d’exprimer que cette quantité reste négative (resp. positive) lorsque t varie est de dire que le chemin γ descend (respectivement monte) par rapport au relief défini par la fonction R suivante, associé à une branche donnée de courbe lente :

Définition : Considérons une branche de la courbe (complexe) d’équation ^{o}f(x, y) = 0 définie sur un domaine V de ℂ contenant un point x_{0} (on désigne par branche une partie de cette courbe qui est le graphe d’une fonction (implicite) y = ỹ(x) définie sur V). On appelle relief associé à cette branche ỹ(x) la fonction R(x) suivante définie sur V, à valeurs réelles,

R(x) = Re ∫_{x_{0}}^{x}(^{o}f)′_{y}(ξ, ỹ(ξ))dξ.

Définition : On dira qu’un chemin γ(t), dérivable, d’origine γ(t_{0}) = x_{0}, et dont l’image appartient à V, descend le relief R si \frac{d}{dt}R(γ(t)) < 0.

La dérivée \frac{d}{dt}R(γ(t)) se calcule facilement dans notre cas :

\frac{d}{dt}R(γ(t)) = \frac{d}{dt}Re ∫_{x_{0}}^{γ(t)}(^{o}f)′_{y}(ξ, ỹ(ξ))dξ = Re \frac{d}{dt} ∫_{t_{0}}^{t}(^{o}f)′_{y}(M)γ′(s)ds = Re (^{o}f)′_{y}(M)γ′(t).

On voit donc que, le long d’un chemin qui descend le relief, la courbe lente du champ lent-rapide associé est attractive. C’est cette idée, très simple, qu’exprime le théorème suivant, dû à Callot [3]. Mais, avant de l’énoncer, précisons quelques propriétés ou notations non standard utilisées.

Remarquons, tout d’abord, que , si la quantité \frac{d}{dt}R(γ(t)), qui doit être strictement positive pour que γ descende le relief R, était infinitésimale, c’est-à-dire si le chemin descendait effectivement le relief, mais seulement infiniment peu, alors l’attractivité de la courbe lente correspondante serait trop faible pour entraîner l’existence d’une solution lente. Il s’avère donc utile de demander que non Figure 2: Du point M_{0}, on peut atteindre tous les points de la région hachurée par des chemins qui S-descendent ce relief.

seulement \frac{d}{dt}R(γ(t)) > 0 mais qu’en fait \frac{d}{dt}R(γ(t)) >_{≄} 0 ; on parle dans ce cas de chemin qui S-descend le relief.

Rappelons également qu’une fonction dérivable γ(t) est de classe S^{1} si elle a une ombre γ_{0} dérivable et si l’on a ^{o}(γ′(t)) = (^{o}γ(t))′.

Précisons enfin que la notation iv est une abréviation pour “infiniment voisin(e)(s)”.

Théorème 1 On suppose qu’une branche de la courbe C d’équation ^{o}f(x, y) = 0 a pour ombre, dans un domaine limité V de ℂ contenant un point x_{0}, le graphe d’une fonction y = ỹ(x). Alors la solution de l’équation différentielle εy′ = f(x, y) issue d’un point iv de (x_{0}, ỹ(x_{0})) existe et est iv de cette branche de C en tout point limité x ∈ V que l’on peut atteindre à partir de x_{0} par un chemin de classe S^{1} qui S-descend le relief R associé à ỹ(x).

Remarque : Ce théorème permet de prouver l’existence d’une solution lente sur tout domaine W ⊆ V sur lequel la condition “tout point peut être atteint depuis x_{0} en S-descendant” est satisfaite. A noter que si x_{0} est choisi standard et si W est une partie compacte et standard de V, on peut remplacer cette condition par “tout point standard peut être atteint depuis x_{0} par un chemin qui descend”, condition un peu plus facile à vérifier.

Exemple : A titre d’exemple d’application de ce théorème, considérons le cas de l’équation de la figure 1. On voit sur cette figure (et on peut le montrer facilement) qu’il existe un fleuve (réel) répulsif unique en X = +∞, asymptote à Y = X^{2} ainsi qu’un fleuve (réel) répulsif unique en X = −∞ asymptote à Y = X. Il y a aussi deux autres fleuves attractifs, et donc non uniques dont nous ne parlons pas ici. Ces fleuves réels sont en fait la trace sur l’axe réel de fleuves complexes (nous verrons au prochain paragraphe une définition précise de ce terme) c’est-à-dire des solutions qui, sous le macroscope adhoc, ici εX = x et ε^{2}Y = y, sont des solutions lentes d’une équation lente-rapide, ici ε^{3} \frac{dy}{dx} = (y − εx)(y − x^{2}). Voyons ce que l’examen du relief associé nous apprend sur elles. Le relief associé à la courbe lente y = x^{2} est R(x) = Re (\frac{x^{3}}{3} ). Ses courbes de niveau sont celles indiquées sur la figure 2. On distingue trois montagnes et trois vallées, l’une des montagnes contenant le demiaxe réel positif. Tout point d’abscisse réelle ig positive a la propriété qu’on peut atteindre, par des chemins descendant, à partir de ce point, tous les points standard du demi-plan {x, Re x > 0}, région constituée d’une montagne et des deux vallées adjacentes. Nous verrons plus loin qu’il existe ici exactement trois fleuves complexes asymptotes à Y = X^{2}, l’un des trois seulement prenant des valeurs réelles sur l’axe réel. C’est celui que l’on voit sur le dessin de la figure 1.

On peut reproduire ce raisonnement pour le fleuve asymptote à Y = X en X = −∞, que l’on voit aussi sur cette figure. Le macroscope adapté est cette fois εX = x et εY = y, l’équation lenterapide associée ε^{3} \frac{dy}{dx} = (y−x)(εy−x^{2}), et le relief R(x) = Re (\frac{−x^{3}}{3} ), c’est-à-dire l’opposé du précédent. L’alternance des montagnes et des vallées est donc inversée et c’est cette fois une montagne qui contient le demi-axe réel négatif.

3 Définition et existence

La notion de fleuve complexe que nous considérons ici a été utilisée sous le nom de solution distinguée par J.L. Callot dans ses derniers papiers [3], [2], sans qu’il ait vraiment pris la peine de la définir (voir aussi Fruchard dans [8], page 46). Nous verrons qu’en général, une équation donnée possède un petit nombre de fleuves complexes, qui correspondent chacun à un comportement asymptotique possible d’une solution, pour |X| grand. Dans une certaine mesure, la notion de fleuve complexe est une généralisation de la notion de fonction spéciale (Airy, Bessel, fonctions cylindro-paraboliques), ces dernières étant distinguées parmi les autres solutions des équations différentielles qui les définissent parce qu’elles correspondent à un fleuve de ces équations.

Nous nous intéressons à des solutions \overline{Y} (X) de l’équation différentielle (1), définie sur un voisinage sectoriel de l’infini S(A, θ_{−}, θ_{+}), c’est-à-dire sur un ensemble de la forme

S = {X ∈ ℂ, |X| > A, θ_{−} < arg(X) < θ_{+}}

A ∈ ℝ^{+}, θ_{−}, θ_{+} ∈ ℝ. Nous ne précisons pas ici que θ_{1} et θ_{2} appartiennent à [0, 2π[ car les solutions considérées sont parfois naturellement définies sur des secteurs d’ouverture supérieure à 2π. L’équation lente-rapide associée à une telle équation sera de la forme

ε^{c} \frac{dy}{dx} = f(x, y)

où ε > 0 est un réel infinitésimal, c un rationnel strictement positif et f(x, y) une fonction^{1}analytique limitée dans un domaine de ℂ^{2} (donc possédant une ombre^{o}f analytique dans ce domaine). On appelle branche infinie de la courbe lente d’équation ^{o}f(x, y) = 0, une portion de cette courbe d’équation y = ỹ(x) définie sur un voisinage sectoriel de l’infini S(a, θ_{−}, θ_{+}) = {x ∈ ℂ, |x| > a, θ_{1} < arg(x) < θ_{2}}. Il se peut que l’ouverture θ_{+} − θ_{−} soit supérieure à 2π, par exemple lorsque la fonction implicite ỹ(x) est ramifiée en 0. Dans ce cas cette fonction ỹ(x) ainsi que son relief associé

R(x) = Re ∫_{x_{0}}^{x}(^{o}f)′_{y}(ξ, ỹ(ξ))dξ,

seront en fait définis sur la surface de Riemann associée.

La définition suivante indique à quelle condition une solution standard \overline{Y} (X) d’une équation différentielle standard \frac{dY}{dX} = F (X, Y), (X, Y) ∈ ℂ^{2} est un fleuve complexe.

Définition : Une solution standard \overline{Y} (X) d’une équation différentielle standard \frac{dY}{dX} = F (X, Y), (X, Y) ∈ ℂ^{2}, définie sur une voisinage sectoriel de l’infini S(A, θ_{−}, θ_{+}), avec A ∈ ℝ^{+}, θ_{−}, θ_{+} ∈ ℝ, est un fleuve complexe de l’équation s’il existe un macroscope (x = εX , y = ε^{r}Y), avec ε > 0 infinitésimal et r ∈ ℝ, qui transforme l’équation en une équation lente-rapide ε^{c} \frac{dy}{dx} = f(x, y) (avec c > 0 et f limitée aux points limités) et tel que l’image de \overline{Y} (X) sous le macroscope ait pour ombre une branche infinie de la courbe lente associée.

Plus généralement une solution quelconque (standard ou non standard) de \frac{dY}{dX} = F (X, Y) est un fleuve complexe si elle appartient à l’ensemble standard E constitué par toutes les solutions de l’équation, définies sur un voisinage sectoriel de l’infini S, et ayant pour éléments standard les solutions standard qui satisfont à cette définition. Cet ensemble existe et il est unique par l’axiome de standardisation ([8], page 10).

1Classiquement, on écrirait ici f(x, y, ε) au lieu de f(x, y) comme nous le faisons, et de même on écrirait f(x, y, 0) et non ^{o}f(x, y) comme nous le ferons ; mais, avec le point de vue non standard adopté ici, ε est une constante qui apparaît dans la définition de f (comme 2 apparaît dans la définition de f(x) = 2x par exemple) et donc il n’y a pas lieu de mentionner la dépendance de f par rapport à ε.

Exemple : L’équation de Liouville \frac{dY}{dX} = Y^{2} − X (qui est une équation de Ricatti dont la version “équation linéaire du second ordre” obtenue en posant Y = −\frac{U′}{U}, n’est autre que l’équation d’Airy \frac{d^{2}U}{dX^{2}} = XU) possède trois fleuves complexes Y_{0}(X), Y_{1}(X) Y_{2}(X), asymptotes à X^{\frac{1}{2}} respectivement sur les secteurs −π < arg(X) < π, −\frac{5π}{3} < arg(X) < \frac{π}{3} et −\frac{π}{3} < arg(X) < \frac{5π}{3} , les déterminations de X^{\frac{1}{2}} étant \sqrt{X} sur l’axe réel positif pour Y_{0}(X) et ∓i\sqrt{−X} sur l’axe réel négatif pour les deux autres fleuves. Le premier fleuve, qui est réel sur le demi-axe réel positif, correspond à la fonction d’Airy (dans la version “équation linéaire du second ordre”). On peut former à l’aide des deux autres, qui ne sont pas réels sur ce demi-axe, la fonction B_{i}(X).

Pour se convaincre de l’existence de ces trois solutions particulières, il suffit d’étudier la version lente-rapide de l’équation (ici le macroscope εX = x, \sqrt{ε}Y = y donne simplement ε^{3/2} \frac{dy}{dx} = y^{2} − x) et d’étudier le relief associé à chacune des branches infinies de la courbe lente (ici y^{2} − x = 0). Le relief associé à la branche asymptote à +\sqrt{x} sur le demi-axe réel positif est R(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} qui présente une montagne et deux vallées formant le secteur −π < arg(X) < π d’ouverture 2π, domaine de définition du premier fleuve Y_{0}(X).

Voici à présent l’énoncé du théorème d’existence, dans le cas d’une équation \frac{dY}{dX} = F (X, Y) rationnelle. Le théorème peut se généraliser à une équation de ce type où F est seulement analytique mais avec un comportement de type rationnel pour X et Y grands.

Rappelons quelques notations : pour un polynôme F (X, Y) et un nombre rationnel r, on appelle r-degré de F le rationnel d_{r}, degré du polynôme F (X, X^{r}) et on note F_{r}(X, Y) la partie r-homogène de r-degré maximum de F. Si F = Q/P est une fraction rationnelle, son r-degré est la différence des r-degrés de P et de Q et sa partie r-homogène de plus haut r-degré est le rapport des parties r-homogènes de plus haut r-degré de Q et de P.

Théorème 2 (théorème fondamental d’existence de fleuves) Soit F (X, Y) une fraction rationnelle. Supposons qu’il existe un nombre complexe k ≠ 0 et un nombre rationnel r tels que

1. la constante c définie par c = 1 − r + d_{r} soit strictement positive

2. le nombre k soit une racine simple de l’équation F_{r}(1, Y) = 0

où d_{r} est le r-degré de F et F_{r} la partie r-homogène de r-degré maximal de F. Soit q le plus petit entier positif tel que cq = \overline{c} soit entier.

Alors pour chaque direction θ_{n} = (−Arg ((F_{r})′_{Y} (1, k)) + 2nπ)/\overline{c}, n = 1, …, \overline{c}, et pour toute ouverture (θ_{−}, θ_{+}) telle que θ_{n} − \frac{3π}{2c} < θ_{−} < θ_{+} < θ_{n} + \frac{3π}{2c}, il existe A > 0 tel que l’équation différentielle \frac{dY}{dX} = F (X, Y) possède une solution définie sur le voisinage sectoriel de l’infini S(A, θ_{−}, θ_{+}) et asymptote à kX^{r} sur S.

On comprend mieux l’énoncé, quelque peu abstrait, de ce théorème lorsqu’on voit la situation géométrique simple qu’il recouvre : sous les hypothèses choisies, le relief possède \overline{c} montagnes et \overline{c} vallées, réparties sur q tours et chaque secteurs S(A, θ_{−}, θ_{+}) comporte une montagne et ses deux vallées adjacentes.

4 Preuve du théorème d’existence

L’idée de la preuve consiste à montrer que, sous les hypothèses du théorème, l’équation différentielle peut être transformée par macroscope en une équation lente-rapide dont la géométrie est très simple (r-homogène) ce qui permet, en appliquant le théorème de Callot (théorème 1), d’établir l’existence d’une solution lente, définie sur le voisinage sectoriel indiqué dans l’énoncé et ayant pour ombre une branche infinie de la courbe lente. Il convient ensuite de s’assurer qu’à cette solution lente de l’équation lente-rapide correspond une solution de l’équation initiale possédant une ombre sur ce secteur et que cette ombre est alors asymptote à kX^{r}. Cette partie de la preuve reprend l’idée introduite par I. van den Berg pour prouver l’existence de fleuves réels (voir [1] ou [8]) et elle porte le nom de méthode du fer à repasser parce qu’elle consiste à “tirer”, par permanence, une propriété asymptotique du halo de l’infini vers les limités puis, après avoir pris l’ombre de la solution, à “repousser” à nouveau cette propriété dans le halo de l’infini par une nouvelle permanence.

Par transfert, on peut supposer F, k, r et donc les θ_{n} standard. Choisissons l’un des θ_{n} et notons le θ_{0}. Quitte à ouvrir le secteur, on peut également supposer que l’on a θ_{−} < θ_{0} < θ_{+}.

La première partie de la preuve consiste à montrer que les hypothèses faites sur les nombres c, k et r impliquent l’existence d’une version lente-rapide de l’équation ayant pour branche infinie de courbe lente la courbe y = kx^{r} et pour relief une simple fonction puissance :

Soit ε > 0 infinitésimal. Considérons le macroscope εX = x, ε^{r}Y = y. Il transforme l’équation \frac{dY}{dX} = F (X, Y) en l’équation ε^{c} \frac{dy}{dx} = f(x, y), où précisément c vaut c = 1 − r + d_{r} et où l’ombre de f(x, y) est la fraction r-homogène F_{r}(x, y). Donc, sous les hypothèses du théorème, cette équation est lente-rapide (puisque c > 0 et F_{r}(x, y) est limitée aux points limités). De plus, comme F_{r} est r-homogène de degré d_{r}, on a :

(^{o}f)(x, kx^{r}) = F_{r}(x, kx^{r}) = x^{d_{r}}F_{r}(1, k).

Donc puisque k vérifie F_{r}(1, k) = 0, la courbe lente de cette équation possède une branche infinie y = ỹ(x) d’équation ỹ(x) = kx^{r}. Calculons le relief associé. On a :

R(x) = Re ∫_{0}^{x}(^{o}f)′_{y}(ξ, ỹ(ξ))dξ = Re ∫_{0}^{x}(^{o}f)′_{y}(ξ, kξ^{r})dξ

En utilisant l’homogénéité de ^{o}f qui est égale à F_{r}, on obtient donc

R(x) = Re ∫_{0}^{x} ξ^{d_{r}−r}(F_{r})′_{Y} (1, k)dξ = Re ((F_{r})′_{Y} (1, k)[ξ^{c}/c]_{0}^{x}) = Re (λx^{c})

avec λ = (F_{r})′_{Y} (1, k)/c. Cette constante λ n’est pas nulle puisqu’on a supposé que (1, k) est une racine simple de F_{r}. On constate que si c s’écrit c = \frac{\overline{c}}{q}, ce relief est une fonction ramifiée en x = 0 définie sur la surface de Riemann à \overline{c} feuillets et qu’elle possède, sur cette surface de Riemann, \overline{c} montagnes et \overline{c} vallées qui se succèdent alternativement lorsque x tourne autour de 0. Les \overline{c} montagnes sont précisément centrées sur les demi-droites Arg (x) = θ_{n}, n = 1, …, \overline{c} et elles ont pour ouverture, tout comme les vallées, \frac{π}{c}. Donc si les directions θ_{−} et θ_{+} sont choisies comme indiqué dans l’énoncé du théorème, le secteur S(0, θ_{−}, θ_{+}) qu’elles délimitent est strictement contenu dans le secteur centré en θ_{0} constitué par la réunion de la montagne d’arête Arg (x) = θ_{0} et des deux vallées adjacentes.

Dans la seconde partie de la preuve, on choisit une solution de l’équation initiale Ŷ (X) issue d’un point ig (à l’échelle initiale) situé sur cette arête de la montagne et nous allons montrer qu’elle est définie et qu’elle vérifie la relation

\frac{Ŷ (X)}{kX^{r}} ≃ 1.  (6)

dans tout le secteur considéré, pourvu que le module de X soit ig et “nettement” inférieur au module de la condition initiale.

Soit X_{0} un point d’argument θ_{0} et de module ig et soit Ŷ (X) la solution locale de l’équation \frac{dY}{dX} = F (X, Y) de condition initiale (X_{0}, kX_{0}^{r}). Soit S(R) la portion du secteur S(0, θ_{−}, θ_{+}) (ou couronne sectorielle) définie par

S(R) = \{X ∈ ℂ , Arg (X) ∈ [θ_{−}, θ_{+}] , R ≤ |X| ≤ \frac{|X_{0}|}{2}\}.

Nous avons limité arbitrairement cet ensemble aux nombres de module inférieur à \frac{|X_{0}|}{2}, simplement pour éviter les nombres de module iv de |X_{0}|. Nous allons établir le lemme suivant :

Lemme 3 Pour tout R > 0 ig, la solution Ŷ (X) est définie sur S(R) et vérifie sur cet ensemble la relation (6).

On regarde tout d’abord l’équation en restriction à la crête de la montagne, plus précisément le long du chemin Γ(T) = T e^{iθ_{0}}, T ∈ [R, |X_{0}|]. Son extrémité est le point X_{0} et son origine un point de l’arête situé plus bas. Ce chemin S-monte la montagne le long de l’arête, c’est-à-dire qu’il S-descend si on le parcourt en faisant diminuer T. Désignons par Ŷ (T) la solution du champ de ℝ^{3} obtenu par restriction de l’équation considérée au chemin Γ :

\frac{dY}{dT} = e^{iθ_{0}}F (T e^{iθ_{0}}, Y)  (7)

et dont la condition initiale est Ŷ (0) = kγ(0)^{r}. Pour montrer le lemme nous allons tout d’abord vérifier qu’il est vrai en restriction au chemin Γ, c’est-à-dire montrer que

“Pour tout R > 0 ig, Ŷ (T) est définie pour tout T tel que R < T < \frac{|X_{0}|}{2} et vérifie (6)”. Pour cela nous allons montrer qu’il existe ρ_{0} > 0 standard tel que, pour tout ρ, 0 <_{≄} ρ < ρ_{0}, la corne définie par

C_{ρ} = {(T, Y) , T > 0 ig , |Y − kΓ(T)^{r}| ≤ ρT^{r}}

est négativement invariante pour le champ de ℝ^{3} obtenu par restriction à Γ. Plus précisément nous allons établir que, pour toute solution Y (T) et tout T tels que |Y (T) − kΓ(T)^{r}| = ρT^{r}, on a :

\frac{d}{dT} \{|Y (T) − kΓ(T)^{r}|^{2}/T^{2r}\} > 0.  (8)

Examinons l’équation lente-rapide associée à (7) :

\frac{dy}{dt} = (F_{r}(γ(t), y) + o /)γ′(t)

où γ(t) = te^{iθ_{0}}. Sa dynamique rapide, à t fixé, est le champ standard

\frac{dy}{dτ} = e^{iθ_{0}}F_{r}(te^{iθ_{0}}, y)

que nous allons étudier lorsque t = 1. Par hypothèse, cette dynamique possède pour point stationnaire isolé, le point y_{0} = t^{r}e^{irθ_{0}}, et, puisqu’on a choisi pour θ_{0} l’un des θ_{n}, ce point stationnaire est asymptotiquement instable. Il en résulte l’existence d’un ρ_{0} > 0 standard tel que, pour tout ρ vérifiant 0 <_{≄} ρ < ρ_{0}, on ait :

|y − y_{0}| = ρ ⇒ \frac{d}{dτ} |y(τ) − y_{0}|^{2} > 0

ce qui peut encore s’écrire, en notant (.,.) le produit scalaire hermitien dans ℂ,

|y − y_{0}| = ρ ⇒ ( y − y_{0} , e^{iθ_{0}}F_{r}(e^{iθ_{0}}, y)) > 0.

Mais revenons à l’inégalité (8). Supposons |Y − kΓ^{r}(T)| = ρT^{r}. On a alors :

\frac{d}{dT} \{|Y (T) − kΓ(T)^{r}|^{2}/T^{2r}\} = \frac{1}{T^{4r}} (2T^{2r}(Y − kΓ^{r} , F (Γ, Y)Γ′ − krΓ^{r−1}Γ′) − 2r|Y − kΓ^{r}|^{2}T^{2r−1})
= \frac{2}{T^{2r+1}} (Y − kΓ^{r} , T F (Γ, Y)Γ′ − krΓ^{r−1}Γ′ − r(Y − kΓ^{r}))
= \frac{2}{T^{2r+1}} (Y − kΓ^{r} , T F (Γ, Y)Γ′ − rY).

Fixons un T ∈ [R, |X_{0}|] et notons ε := 1/T et donc Γ = e^{iθ_{0}}/ε. La condition |Y − kΓ^{r}(T)| = ρT^{r} s’écrit simplement |y − y_{0}| = ρ sous le macroscope et on a :

\frac{d}{dT} \{|Y (T) − kΓ(T)^{r}|^{2}/T^{2r}\} = 2ε^{r}(y − y_{0} , e^{iθ_{0}}F (\frac{e^{iθ_{0}}}{ε} , \frac{y}{ε^{r}} ) − \frac{ry}{ε^{r−1}} ).

On a |y − y_{0}| = ρ donc y ≄ 0 et, comme F_{r} est la partie r-homogène de F de r-degré d_{r}, on a :

F (\frac{e^{iθ_{0}}}{ε} , \frac{y}{ε^{r}}) = \frac{1}{ε^{d_{r}}} (F_{r}(e^{iθ_{0}}, y) + o /)

et, par ailleurs, comme c := 1 − r + d_{r} > 0,

ε^{d_{r}} \frac{ry}{ε^{r−1}} = ε^{c}ry ≃ 0

D’où

e^{iθ_{0}}F (\frac{e^{iθ_{0}}}{ε} , \frac{y}{ε^{r}} ) − \frac{ry}{ε^{r−1}} = \frac{1}{ε^{d_{r}}} (F_{r}(e^{iθ_{0}}, y) + o /) + o /.

Or pour |y − y_{0}| = ρ, la quantité F_{r}(e^{iθ_{0}}, y) n’est pas ip puisque par ailleurs on a :

F_{r}(e^{iθ_{0}}, y) = F_{r} (e^{iθ_{0}}, (k + \frac{y − ke^{irθ_{0}}}{e^{irθ_{0}}} ) e^{irθ_{0}}) = e^{id_{r}θ_{0}}F_{r} (1, k + \frac{y − ke^{irθ_{0}}}{e^{irθ_{0}}} )

Or F_{r} est une fonction standard ayant des zéros isolés et donc, si ρ est assez petit (mais non ip), le module de \frac{y−ke^{irθ_{0}}}{e^{irθ_{0}}} étant égal à ρ, comme F_{r} est une fonction standard ayant un zéro isolé en (1, k), on a F_{r}(e^{iθ_{0}}, y) ≄ 0. Donc l’inégalité

(y − y_{0} , F_{r}(e^{iθ_{0}}, y)e^{iθ_{0}}) > 0.

entraîne

(y − y_{0} , e^{iθ_{0}}F (\frac{e^{iθ_{0}}}{ε} , \frac{y}{ε^{r}} ) − \frac{ry}{ε^{r−1}} ) > 0.

D’où l’inégalité (8).

Il en résulte que le lemme est vrai en restriction au chemin Γ. Montrons à présent qu’il reste vrai dans toute la région S(R). Soit X_{1} ∈ S(R). Posons ε := \frac{1}{|X_{1}|} et considérons l’équation lente-rapide obtenue au moyen du macroscope correspondant à cet ε. Le point X_{1} est de module 1 à cette échelle et la région S(R) étant contenue dans un secteur du plan constitué, pour le relief associé, d’une montagne et des deux vallées adjacentes, on peut l’atteindre en S-descendant ce relief depuis un point X_{2} de l’arête de la montagne de module également appréciable à cette échelle . Comme le lemme est vrai au point X_{2}, il reste vrai au point X_{1} d’après le théorème 1.

Dans la troisième et dernière partie de la preuve, nous allons montrer que la solution Ŷ (X) possède une ombre \overline{Y} (X) qui est la solution cherchée :

On déduit tout d’abord du lemme qu’il existe un A > 0 limité et ρ > 0, que l’on peut choisir standard, tels que Ŷ (X) est définie et satisfait l’inégalité |\frac{Ŷ (X)}{kX^{r}} − 1| < ρ sur S(A). En effet cette propriété interne étant satisfaite pour tout A ig, elle le sera aussi par permanence pour certains A limités. Mais cela entraîne qu’aux points X ∈ S(A) de module limité la fonction Ŷ (X) prend des valeurs limitées. Cela suffit pour assurer l’existence d’une ombre \overline{Y} (X) de Ŷ (X) qui est également une solution de l’équation \frac{dY}{dX} = F (X, Y), puisque, cette équation étant standard, l’ombre d’une solution est encore une solution. Par construction cette solution \overline{Y} (X) est définie sur l’ombre de S(A), c’est-à-dire S(A, θ_{−}, θ_{+}). Il reste à s’assurer qu’elle est asymptote à kX^{r}. Comme elle est l’ombre de Ŷ (X), on a, pour tout X limité de S(A, θ_{−}, θ_{+}),

\frac{\overline{Y} (X)}{kX^{r}} ≃ \frac{Ŷ (X)}{kX^{r}}.

Donc ceci reste vrai, par permanence (principe de Fehrele) pour tout X de S(A, θ_{−}, θ_{+}) dont le module reste inférieur à R, pour un certain R ig. Or, on a, pour tout X ∈ S(A, θ_{−}, θ_{+}) ig,

\frac{Ŷ (X)}{kX^{r}} ≃ 1.

Cette relation sera donc vraie aussi pour \overline{Y} (X) en tout point ig de S(A, θ_{−}, θ_{+}) de module inférieur à R. Mais comme \overline{Y} (X) est une fonction standard, ceci entraîne (voir [1] ou le lemme 10.4.1 de [8]) qu’elle est vraie en fait en tout point ig de S(A, θ_{−}, θ_{+}). D’où l’asymptotique cherchée.

5 Conclusions

Il est intéressant de comparer le théorème d’existence que nous venons d’établir et le Main Asymptotic Existence Theorem de Wasow ([16]). La première différence, importante, est que le théorème de Wasow concerne des systèmes d’équations Y′ = F (X, Y), où Y ∈ ℂ^{n} alors que nous n’avons considéré que le cas n = 1. Je parlerai plus loin du cas multidimensionnel. Examinons tout d’abord le théorème de Wasow restreint au cas n = 1. L’hypothèse principale de Wasow porte sur l’existence d’une solution formelle. Cette hypothèse correspond à l’existence d’un k et d’un r ayant les propriétés requises, l’avantage du k et du r étant, mais c’est infime, qu’on peut tester l’hypothèse sur l’équation par un procédé automatique : le r se détermine au moyen d’un polygone de Newton [7] et il reste à extraire pour k la racine d’un polynôme. Mais la différence intéressante se situe au niveau de la conclusion du théorème. Wasow établit l’existence d’une solution ayant l’asymptotique prescrite sur n’importe quel secteur d’ouverture \frac{3π}{2c} (Wasow suppose c entier, donc c = \overline{c}) ; les montagnes et les vallées étant d’ouverture \frac{π}{c}, un tel secteur comportera une montagne ou bien une vallée et une portion d’un des secteurs voisins. L’étude que nous avons faite du relief associé montre que ce résultat n’est pas optimal ; nous avons établi l’existence du fleuve sur un secteur d’ouverture deux fois plus grande, mais en précisant où est centré le secteur en question ; on comprend aussi qu’une ouverture de \frac{3π}{2c} est ce que l’on peut faire de mieux si l’on ne précise pas la demi-droite où est centrée le fleuve. Notre approche explique la présence de directions privilégiées, qui jouent le rôle des lignes parfois appelées “anti-Stokes”. Concernant l’ouverture de \frac{3π}{\overline{c}} que nous avons donnée, on peut vérifier facilement à l’aide d’exemples (l’équation d’Euler Y′ = Y + \frac{1}{X} ou l’équation de Liouville Y′ = Y^{2} − X, dont les fleuves s’expriment au moyen de fonctions spéciales connues (l’exponentielle intégrale et la fonction d’Airy respectivement) qu’elle est optimale, pour le cas général. Il existe bien sûr des équations particulières pour lesquelles deux fleuves centrés sur des montagnes distinctes “confluent” pour ne former qu’une seule solution : on parle alors de canards imaginaires [2] ou de solutions surstables [15] [11]. Ce sont des situations exceptionnelles qui ne se présentent en général pas, sauf s’il existe des paramètres d’ajustement dans l’équation dont on peut choisir la valeur de telle sorte à assurer la confluence.

L’idée de la preuve du théorème de Wasow est d’établir l’existence au moyen d’un théorème de point fixe. On voit facilement que l’utilisation de la fonction de Relief de Callot et de ce qu’elle apprend sur la géométrie du problème permettrait en fait de simplifier également la preuve de Wasow elle-même (preuve qui s’étend sur une dizaine de pages) et d’obtenir aussi, tout en gardant l’idée du point fixe, l’existence sur des “grands secteurs”, c’est-à-dire des secteurs composés d’une montagne et des deux vallées adjacentes. En effet, il est possible de “préparer” l’équation \frac{dY}{dX} = F (X, Y) (comme dans l’annexe consacrée aux fleuves du livre [4]) au moyen du changement de variables (X, Y) → (Z, U) donné par

\{ \begin{matrix}Z & = & ∫ (F_{r})′_{Y} (X, kX^{r})dX \\ U & = & Y − kX^{r} \end{matrix}  (9)

qui transforme l’équation \frac{dY}{dX} = F (X, Y) en \frac{dU}{dZ} = U + G(Z, U), où G est d’ordre au moins 2 en U et G(Z, 0) est ip quand Z est ig. L’opérateur dont on recherche un point fixe est alors simplement

U(Z) ↦ P(U)(Z) := ∫_{γ_{Z}} G(ξ, U(ξ))e^{Z−ξ}dξ

où γ_{Z} est un chemin descendant le relief du sommet de la montagne (centrée sur l’axe réel positif) à Z.

Mais revenons au cas multidimensionnel. Ce que nous avons montré concernant le cas unidimensionnel s’appuie principalement sur le théorème de Callot rappelé ci-dessus. Dans son article [3], Callot a également traité le cas des champs lents-rapides multidimensionnels et on peut probablement obtenir, en appliquant ses résultats, l’existence dans le cas général traité par Wasow. L’idée est que si les équations formant le système étaient découplées, il suffirait d’appliquer à chacune d’elle le théorème unidimensionnel en considérant un relief et un chemin descendant par équation. Dans le cas général, c’est-à-dire si le système n’est pas constitué d’équations indépendantes, on peut, sous des hypothèses assez générales (les ombres des valeurs propres de la matrice jacobienne sont toutes distinctes et non nulles) “préparer” le système en

\frac{dU}{dZ} = AU + G(Z, U)

où A est une matrice diagonale, G est d’ordre 2 au moins en U et G(Z, 0) est ip dans le secteur considéré lorsque Z est ig. Sous un macroscope adhoc, G peut alors être rendu ip et l’équation se comporte comme un système d’équations lentes-rapides toutes indépendantes.

Ajoutons pour finir un mot sur les développements asymptotiques des fleuves. Nous avons rappelé dans l’introduction que les fleuves sont précisément les solutions qui “incarnent” les développements formels solutions de l’équation. Avec la définition que nous avons adoptée, cette propriété n’apparaît pas directement. On peut montrer cependant, exactement comme dans le cas réel, que les fleuves possèdent dans les secteurs où ils sont définis des développements asymptotiques (on établit l’existence de développements en puissances de ε pour les solutions lentes du modèle lent-rapide, et on en déduit les développements asymptotiques des fleuves [5]). Pour les même raisons que dans le cas réel, ces développements sont généralement divergents mais Gevrey, sommables et même résurgents [6],[4],[12].

References

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[7] F. Diener and M. Diener. Fleuves 1-2-3 : mode d’emploi. In M. Diener and G. Wallet, editors, Mathématiques Finitaires et Analyse Non Standard, pages 209–216. Publications Mathématiques de l’Université de Paris VII, 31 :2, 1989.

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[12] F. Michel. Trajectoires remarquables d’équations différentielles. PhD thesis, Université de Nice, 1995.

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[14] A. Robinson. Non standard analysis. North Holland, Amsterdam, 1966.

[15] G. Wallet. Surstabilité analytique et perturbation singulière en dimension un. Ann. Inst. Fourier, 40(3):557–595, 1990.

[16] W. Wasow. Asymptotic Expansions for Ordinay Differential Equations. Interscience Publisher, New York, 1965.