Marches aléatoires et applications à la finance

Marc et Francine DIENER

14 février 2000

2

Table des matières

1 Contrats d’option et leur couverture 5 1.1 Options européennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Un modèle binaire à une seule étape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Un modèle binaire à deux étapes ; couverture dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Equations aux différences déterministes 9 2.1 Taux constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Taux variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Equation aux différences infinitésimale et équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 La marche de Wiener 13

3.1 Deux points de vue complémentaires sur la marche de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.1 Les trajectoires W (ω) et leur probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2 Les variables aléatoires W_{t} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 La marche aléatoire de Cox, Ross, et Rubinstein 17 4.1 Trajectoires (espace des états) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 La probabilité de calcul, et les marches Π et Δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3 Marches aléatoires associée au bruit-blanc (δW_{t}^{∗})_{t∈]0..T]} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Espérances conditionnelles 21 5.1 Un nombre appelé espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.2 Une v.a. appelée espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3 Une marche aléatoire appelée espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Application au prix d’une option européennes 27 6.1 Couverture dynamique et espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2 Application : le formule de Cox, Ross, et Rubinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.3 Vers la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7 La formule de Black et Scholes 31 7.1 Rappels d’asymptotique infinitésimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 7.2 Calcul asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2.1 Asymptotique de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7.2.2 Asymptotique de \binom{n}{a} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.2.3 Asymptotique de I(a, p) := ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7.3 Preuve de la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

1Notes du cours de Licence Mass de Marc et Francine Diener à l’Université de Nice-Sophia-Antipolis sur les marches aléatoires appliquées à la finance. Ce cours avait été précédemment assuré par Imme van den Berg. Nous reprenons de nombreuses idées introduites alors.

4 TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Contrats d’option et leur couverture

1.1 Options européennes

Notons S_{t} la cote (le prix), à l’instant t, d’un actif sur un marché donné.

L’exemple le plus naturel d’actif est sans doute celui d’une action cotée en bourse, comme l’action Micsft ou Netscp sur le NASDAQ ou AmOnLne sur le NYSE. Mais cela peut aussi être le cours d’une matière première ou d’un produit agricole tel 50.000 livres de boeuf sur le marché de Chicago.

Nous verrons au chapitre 3 (et les suivants) un modèle mathématique pour S = (S_{t})_{t∈𝕋}. Nous pouvons néanmoins poser dès à présent la définition suivante : On appelle option (européenne) sur S, de date d’échéance T, un contrat souscrit à la date t = 0, assurant au souscripteur, le paiement d’une somme φ(S_{T}), où φ est une fonction donnée.

L’option Call est l’option qui assure à son détenteur de pouvoir acheter, à la date d’échéance T, l’actif S à un prix maximal K; on a donc φ_{Call}(s) = (s − K)^{+}, où x^{+} vaut x si x > 0 et 0 sinon. L’option Put assure à son détenteur de pouvoir vendre, à la date T, l’actif S au prix minimum K; on a donc φ_{P ut}(s) = (K − s)^{+}. Le nombre K s’appelle le prix d’exercice (ou strike) de l’option.

On retrouvera, à la figure 1.1 la description des deux options les plus courantes : l’option Call et l’option Put. Les contrats d’option sur actions ont eux-même fait l’objet d’une négociation en bourse au début des années 70 sur le Chicago Board of Trade (CBOT). Il y a donc également un prix de marché des options telles que le Call et le Put.

Le propre d’un contrat d’option tient à ce que, à la date t = 0 de souscription, la valeur de S_{T} n’est pas connue. Il convient de comprendre un tel contrat comme un contrat d’assurance. Le vendeur de l’option est l’assureur, l’acheteur l’assuré : il s’agit d’un contrat de transfert de risque moyennant un prix. A la différence des contrats d’assurance de sinistre pouvant intervenir avec une probabilité et où l’assureur réduit le risque qu’il a pris en diversifiant ses risques, on dispose aujourd’hui de modèles et de calculs mathématiques suffisamment efficaces pour que l’assureur puisse - dans les limites du modèle, bien entendu - vendre sans risque un unique contrat, moyennant un certain travail bien décrit qu’il devra effectuer tout au long de la durée du contrat. Ce travail consiste à gérer un portefeuille de couverture selon une stratégie que nous allons découvrir progressivement. Dans ce chapitre, nous considérerons deux situations très simples montrant le mécanisme essentiel. Le cas général s’obtient par simple répétition en grand nombre du mécanisme, et une mise en forme (= mise en “formules”) au moyen du langage des marches aléatoires et du calcul y affairant.

Le point essentiel pour l’approche exposée ici est que le marché soit “liquide”, c’est-à-dire que l’on puisse acheter ou vendre l’actif, au prix indiqué, en quantité arbitraire. Ceci est bien entendu une idéalisation, un achat en grande quantité sur une courte période provoquant généralement une hausse et analogue pour une vente. Les premiers contrats d’option étaient des contrats sur cours agricole.

Exercice 1.1 Après avoir étudié la définition d’un Call et d’un Put, indiquer comment au moyen d’achat et vente de Call et Put synthétiser les options définies par les fonctions de pay-off de la figure 1.2.

1.2 Un modèle binaire à une seule étape

Soit S un actif valant 120 à la souscription du contrat et dont on est assuré qu’il ne pourra, à la date d’exercice, que prendre l’une des deux valeurs 180 ou 60. A noter qu’on ne dispose d’aucune information sur les probabilités de chacune de ces deux issues. Voici comment assurer, sans risque, un contrat d’option européenne de fonction de paiement φ. C’est l’idée, fondamentale, de porte feuille de couverture, composé Fig. 1.1: Fonction de paiement d’un call et d’un Put : l’option Call est l’option qui assure à son détenteur de pouvoir acheter, à la date d’échéance T, l’actif S à un prix maximal K. Si S_{T} ≤ K, l’option aura donc une valeur nulle pour t = T. Si S_{T} > K, l’option vaudra S_{T} − K pour t = T, c’est-à-dire la différence entre le prix maximal convenu K et le prix effectif S_{T} de l’actif à la date T. Pour une option Call, on a donc φ_{Call}(s) = (s − K)^{+}, où x^{+} vaut x si x > 0 et 0 sinon. L’option Put assure à son détenteur de pouvoir vendre, à la date T, l’actif S au prix minimum K. En examinant successivement les cas S_{T} ≥ K et S_{T} < K, il est facile de voir que φ_{P ut}(s) = (K − s)^{+}. Le nombre K s’appelle le prix d’exercice (ou strike) de l’option.

(a)  (b)  (c)

(d)  (e)  (f)

Fig. 1.2: Fonctions de pay-off de quelques options standard : (a) straddel, (b) strangel, (c) bull spread,

(d) bear spread, (e) butterfly spread, (f) condor. de a actifs et b unités monétaires (euros, par exemple). A la date T, la valeur Π_{T} de ce portefeuille sera

Π_{T} = aS_{T} + b  (1.1)

à supposer que b ne soit pas porteur d’interêts. Nous voulons que

Π_{T} = φ(S_{T})  (1.2)

et comme S_{T} ne peut prendre que deux valeurs S^{+} = 180 et S^{−} = 60, la relation (1.2) est équivalente au système

\{ \begin{matrix}aS^{+} + b & = & φ(S^{+}) \\ aS^{−} + b & = & φ(S^{−}) \end{matrix}  (1.3)

Les inconnues sont a et b; ce système admet une (unique) solution ssi le déterminant de sa matrice est non nul, c’est-à-dire

S^{+} − S^{−} ≠ 0,

ce qui est précisément le cas ici.

Prenons l’exemple d’un Call de prix d’exercice K = 80. On a φ(S) = (S − 80)^{+}, donc φ(S_{0}^{+}) = φ(180) = (180 − 80)^{+} = 100, et φ(S_{0}^{−}) = φ(60) = (60 − 80)^{+} = 0 ; le système devient donc

\{ \begin{matrix}a180 + b & = & 100 \\ a60 + b & = & 0 \end{matrix}  (1.4)

d’où la sloution a = 10/12 et b = −50 < 0. En pratique, le portefeuille de couverture doit comporter a = 10/12 d’actifs et une dette (b < 0) de |b| = 50, somme que le financier emprunte pour constituer son portefeuille à la date t = 0, lorsque S vaut S_{0} = 120. Soit Π la valeur du portefeuille. A t = 0, ce portefeuille vaut donc Π_{0}, avec

Π_{0} = aS_{0} + B = \frac{10}{12}120 − 50 = +50.

Le financier assurant, sans risque, ce contrat doit donc le facturer (hors frais...) au prix Π_{0} = 50, cette somme, ajoutée à l’emprunt de 50, constituant la somme nécessaire à l’achat de \frac{10}{12} d’actifs. Dans ce modèle, simpliste, du comportement de S_{T}, le prix de l’option Call est donc Π_{0} = 50.

Afin de bien assoir la compréhension de cette démarche, observons quelles sont les situations possibles à la date T (c’est une paraphrase du système 1.4). Si S_{T} = S_{0}^{+} = 180, les actifs valent \frac{10}{12}180 = 150 ; le financier doit payer φ(S_{0}^{+}) = (180 − 80)^{+} = 100 au détenteur de l’option, et il lui reste exactement 50 pour rembourser son emprunt. Si S_{T} = S_{0}^{−} = 60, les actifs valent \frac{10}{12}60 = 50 ; ici encore, il reste exactement de quoi rembourser la dette. Notons que pour que le système (1.4) admette une solution, il suffisait que S_{0}^{−} ≠ S_{0}^{+}, ce qui est précisément l’origine du sens du contrat : s’il n’y avait qu’un seul prix à t = T, il n’y aurait pas besoin d’assurance !

1.3 Un modèle binaire à deux étapes ; couverture dynamique.

Considérons une situation un peu plus élaborée. Soit un titre valant S_{0} = 80 et changeant deux fois de prix avant l’échéance en T = 2δt. Observons que dans l’exemple précédent nous avions, à t = δt, S_{δt} = S_{0}^{+} = S_{0}(1 + \frac{1}{2}) ou S_{δt} = S_{0}^{−} = S_{0}(1 − \frac{1}{2}). Supposons qu’ici S suive un processus analogue :

S_{δt} = S_{0}(1 ± \frac{1}{2}) , S_{2δt} = S_{δt}(1 ± \frac{1}{2}).

Cela donne (figure 1.3)

S_{0} = 80 devient S_{δt} = 120 ou S_{δt} = 40  (1.5)
S_{δt} = 120 devient S_{2δt} = 180 ou S_{2δt} = 60  (1.6)
S_{δt} = 40 devient S_{2δt} = 60 ou S_{2δt} = 20  (1.7)

Reprenons le cas d’une option Call, avec date d’exercice T = 2δt et prix d’exercice K = 80 ; à noter que K = S_{0} : on dit que c’est une option “à la monnaie”.

Observons que si S_{δt} = 120 nous retrouvons l’exemple précédent et comprenons que le portefeuille de couverture, dans ce cas, doit valoir

Π_{δt}(si S_{δt} = 120) = 50.

Fig. 1.3: Une patte-d’oie : évolution sur deux étapes d’un actif à dynamique stochastique binaire, avec S_{0} = 80 et S_{t+δt} = S_{t}(1 ± 0.5).

Qu’en est-il si S_{δt} = 40 ? Ici guère n’est nécessaire de faire des calculs : par (1.7) S_{2δt}(si S_{δt} = 40) vaut 60 ou 20. Comme ces deux valeurs sont inférieures à K = 80, on aura toujours φ(S_{2δt}(si S_{δt} = 40)) = (S_{2δt}(si S_{δt} = 40) − K)^{+} = 0, et donc

Π_{δt}(si S_{δt} = 40) = 0,

puisqu’il n’y a plus rien à couvrir dans ce cas.

Plaçons nous à l’instant t = 0 ; nous comprenons qu’il nous faut composer un portefeuille de couverture (a_{0}, b_{0}) satisfaisant à a_{0}S_{δt} + b_{0} = Π_{δt}, c’est-à-dire au système

\{ \begin{matrix}a_{0}120 + b_{0} & = & a_{0}S_{0}^{+} + b_{0} = Π_{δt}(si S_{δt} = S_{0}^{+}) = 50 \\ a_{0}60 + b_{0} & = & a_{0}S_{0}^{−} + b_{0} = Π_{δt}(si S_{δt} = S_{0}^{−}) = 0, \end{matrix}  (1.8)

avec S_{0}^{±} := S_{0}(1 ± 0.5). On trouve immédiatement a_{0} = \frac{5}{8} et b_{0} = −25, d’où

Π_{0} = a_{0}S_{0} + b_{0} = \frac{5}{8}80 − 25 = 25.

Résumons : cette nouvelle situation nous conduit à une option dont le prix est Π_{0} = 25, auquel on ajoute un montant 25 qu’on emprunte, le tout servant à acheter \frac{5}{8} d’actifs à 80 pièce. Si, pour t = δt, S a évolué à la baisse et que S_{δt} = 40, on solde le portefeuille ; la part en actifs ne vaut plus que a_{0}S_{δt} = \frac{5}{8}40 = 25, soit exactement de quoi rembourser la dette b_{0} = 25. Si, pour t = δt, S a évolué à la hausse et que S_{δt} = 120, nous avons vu dans l’exemple précèdent que le portefeuille doit à présent comporter a_{δt} = \frac{5}{6} ; comme il y a déjà \frac{5}{8} d’actifs dans le portefeuille, il convient d’en racheter \frac{5}{6} − \frac{5}{8} = \frac{10}{48} au prix unitaire S_{δt} = 120, donc pour une valeur de \frac{10}{48}120 = 25, que l’on emprunte, ce qui porte la dette totale à 25 + 25 = 50, comme dans le premier exemple, bien entendu.

Voilà ; c’est aussi simple que cela et cela s’appelle de la couverture dynamique, c’est-à-dire que l’on modifie la composition du portefeuille de manière dynamique, un synonyme pour composition évoluant en fonction du cours. Le cas général consiste simplement à passer d’un modèle à 2 étapes à un modèle à n étapes, et à tenir compte du fait que les emprunts d’argents ne sont pas gratuits et sont soumis à un paiement d’intérêts. Pour ce faire, le langage des marches aléatoires – ou récurrences à choix multiples – est remarquablement commode. Nous allons mettre ce langage en place et reformuler la stratégie de la couverture dynamique dans ce cadre. Nous calculerons également la limite de Π_{0} lorsque n tends vers l’infini, ce qui nous donnera la fameuse formule de Black et Scholes, introduite indépendament par ces deux auteurs d’une part, et Merton d’autre part, en 1973, ce qui valut le prix Nobel d’économie à ses auteurs en 1997.

Equations aux différences déterministes

Nous abordons ici le calcul avec les i-petits dans le cadre d’un problème qui est souvent abordé au moyen des équations différentielles ordinaires y′ = f(t, y) : le calcul des intérêts composés et de l’actualisation.

La monnaie est, notamment, la matérialisation d’un droit à acquérir un bien. La finance traite de la gestion de ce droit au travers du temps et des risques attachées à l’organisme auquel on délègue ce droit pour une durée que nous noterons Δt. Nous abordons ici le cas où l’on estime que ce risque n’existe pas. La dette souveraine d’états jugés stables est, actuellement, ce qui s’apparente le plus à ce modèle. Notons B_{t} et B_{t+Δt} un titre matérialisant un même droit, mais pouvant s’exercer à deux dates distinctes t et t + Δt, avec t ≤ t + Δt. On note R_{t}{Δt} le nombre tel que

B_{t+Δt} = B_{t}(1 + R_{t}{Δt})  (2.1)

La quantité R_{t}{Δt} s’appelle le taux d’intérêt, à la date t, pour une durée^{1} Δt. La question d’élaborer un modèle mathématique réaliste de R_{t}{Δt} est un problème difficile, objet de recherches actives. Nous abordons ici la question plus facile pour Δt fixé et R_{t}{Δt} une fonction (déterministe) de t. Sur un “compte épargne”, Δt est par exemple de 15 jours, avec R_{t}{δt} = 0 pour 0 ≤ δt < Δt.

2.1 Taux constant

Soit r fixé. Vérifions que (2.1) est satisfait par

B_{t} := B_{0}e^{rt}  (2.2)

où nous supposerons que B_{0} ≠ 0. Par (2.1) nous voyons que

B_{0}e^{r(t+Δt)} = B_{t+Δt} = B_{t}(1 + R{Δt}) = B_{0}e^{rt}(1 + R{Δt})

et donc, en simplifiant par B_{0}e^{rt} ≠ 0, nous avons

1 + R_{t}{Δt} = e^{rΔt} =: 1 + R^{∗}{Δt}

où R^{∗}{Δt} est indépentant de la valeur de t : nous disons que (2.2) est un modèle à taux constant. Soit k quelconque ; par (2.1) on a

B_{t}(1 + R^{∗}{kΔt}) = B_{t+kΔt} = B_{0}e^{r(t+kΔt)} = B_{t}(e^{rΔt})^{k} = B_{t}(1 + R^{∗}{Δt})^{k},

d’où, en rapprochant les extrèmes

B_{t}(1 + R^{∗}{kΔt}) = B_{t}(1 + R^{∗}{Δt})^{k},  (2.3)

qui est la formule des intérêts composés qui, pour k entier naturel, a fait les beaux jours des mathématiques financières de l’enseignement élémentaire.

1En finance, si Δt ≤ 1an on parle de “taux d’intérêts à court terme”, et sinon de “taux d’intérêts à long terme”

Nous pouvons nous poser la question s’il existe un autre modèle que le modèle (2.2) pour lequel la formule élémentaire des intérêts composés est vraie pour tout t, tout Δt = 1/n, et tout entier k ≥ 0. Soit r tel que e^{r} = 1 + R^{∗}{1}, et T = kΔt = k/n. On a

B_{T} = B_{0+kΔt} = B_{0}(1 + R^{∗}\{kΔt\}) = B_{0}(1 + R^{∗}\{\frac{k}{n}\}) = B_{0}(1 + R^{∗}\{1\})^{\frac{k}{n}} = B_{0}e^{r \frac{k}{n}} = B_{0}e^{rT} .

Nous voyons donc que nécessairement B_{T} = e^{rT} pour tout T = k/n rationnel, et donc aussi pour tout T réel si l’on suppose que la fonction T ↦ B_{T} est continue. Il n’y a donc pas d’autre modèle que (2.2) qui satisfasse la relation élémentaire des intérêts composés.

Exercice : Montrer, à partir de la formule (2.1), la formule générale des intérêts composés suivante :

(1 + R_{t}{kΔt}) = (1 + R_{t}{Δt})(1 + R_{t+Δt}{Δt})(1 + R_{t+2Δt}{Δt}) … (1 + R_{t+(k−1)Δt}{Δt}).

2.2 Taux variable

Si le taux d’intérêt R_{t}{Δt} n’est pas constant avec t, il est utile de considérer le cas où Δt est petit. Nous formalisons cela en considérant

δt > 0 , un nombre i-petit fixé.  (2.4)

Il est naturel de penser qu’en première approximation le taux d’intérêt R_{t}{Δt} est une fonction linéaire de Δt lorsque Δt est i-petit. Notons r(t) le coefficient de linéarité. En d’autres termes, pour tout t limité et tout Δt i-petit, nous postulons que

R_{t}{Δt} = (r(t) + o /)Δt,

où o / est le symbole générique pour un réel infinitésimal que nous ne souhaitons pas préciser au delà de connaître son ordre de grandeur. A ce stade élémentaire, nous supposerons que t ↦ r(t) est une fonction standard. La formule (2.1) implique que

B_{t+δt} = B_{t}(1 + (r(t) + o /)δt).  (2.5)

Proposition 2.1 Si B_{0} et T = nδt sont limités et si la fonction t ↦ r(t) est en outre continue sur [0, T], alors

B_{T} = B_{0}e^{∫_{0}^{T} r(s)ds+o /}.  (2.6)

2.3 Equation aux différences infinitésimale et équations différentielles

Introduisons la notations

δB_{t} := B_{t} − B_{t−δt}.  (2.7)

La relation (2.5) devient

δB_{t+δt} = B_{t}(r(t) + o /)δt,

et comme, au vu de la proposition 2.1, les solutions restent i-voisines des solutions de

δB_{t+δt} = B_{t}r(t)δt,  (2.8)

c’est par ce type de récurrences que nous modéliserons le cours B_{t} d’une obligation^{2}, ou plus précisément obligation à zéro-coupon.A noter que ceci peut encore s’écrire

\frac{δB_{t+δt}}{δt} = r(t)B_{t},

et la proposition 2.1 montre que la solution d’une telle récurrence reste i-voisine de la solution de l’équation différentielle

B′ = r(t)B

telle que B(0) = B_{0}, puisque B_{0}e^{∫_{0}^{T} r(s)ds} n’est autre que cette solution.

2c’est-à-dire un actif financier dont la valeur au cours du temps est connue, et qui est supposé sans “risque de défaut” :

si vous prétez B_{0} à votre banque, celle-ci vous doit B_{t} après un temps t. Il est important de comprendre que sur un marché ouvert, il ne peut y avoir qu’un seul modèle de fait de placement sans risque en vigueur, sans quoi il y aurait possibilité d’arbitrage, c’est-à-dire d’enrichissement sans prise de risque.

2.4 Actualisation

En l’absence de risque, B_{t} constitue l’étalon de comparaison entre deux actifs financiers ayant des dates de valeur distinctes. Précisons cela : soit A un actif financier, A_{t} et A_{t+Δt} sa valeur aux instants t et t + Δt. Pour comparer les valeurs intertemporelles de A_{t} et A_{t+Δt}, on compare combien d’obligations cet actif permet d’acquérir aux deux dates t et t + Δt, à savoir

Ã_{t} := \frac{A_{t}}{B_{t}} comparé à Ã_{t+Δt} := \frac{A_{t+Δt}}{B_{t+Δt}} .

La grandeur Ã_{t} := \frac{A_{t}}{B_{t}} s’appelle la valeur actualisée de A_{t} (selon l’obligations B_{t}). Si on choisit B_{t} tel que B_{0} = 1, on voit que Ã_{t} est une actualisation au temps 0, puisque, si b := Ã_{t}, alors A(t) = bB_{t} et b est précisément le prix de b obligations là l’instant 0.

En finance, il y généralement plus simple de comprendre les relations existant entre actifs actualisés : cela efface les difficultés techniques liées aux évolutions déterminsites et ne laisse subsiter que celles liées à la nature stochastiques des modèles.

A titre d’exemple, reprenons l’étude d’un portefeuille de couverture dans le modèle binaire à une seule étape, mais où les actifs sans risques sont porteurs d’intérêts.

Notons a_{0} et b_{0} la composition en actif risqué et actif non risqué, arrètée à l’instant 0 du portefeuille de couverture. Nous voulons que Π_{T} = φ(S_{T}) et donc a_{0}S_{T} + b_{0}B_{T} = φ(S_{T}). En actualisant à l’instant 0, c’est-à-dire en divisant pas B_{T}, nous obtenons

a_{0}S̃_{T} + b_{0} = φ̃(S̃_{T}) := φ(S_{T})/B_{T} .

Notons S̃_{0}^{±} les deux valeurs de S_{T} dans ce modèle élémentaire, nous voulons donc que a_{0} et b_{0} satisfassent le système suivant, que l’on peut résoudre par combinaison, de la manière indiquée :

a_{0}S̃_{0}^{+} + b_{0}  = φ̃(S̃_{0}^{+})  +1 −S̃_{0}^{−}
a_{0}S̃_{0}^{−} + b_{0}  = φ̃(S̃_{0}^{−})  −1 +S̃_{0}^{+}

a_{0}(S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−})  = φ̃(S̃_{0}^{+}) − φ̃(S̃_{0}^{−})

b_{0}(S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}) = S̃_{0}^{+}φ̃(S̃_{0}^{−}) − S̃_{0}^{−}φ̃(S̃_{0}^{+})

Finalement, nous obtenons

a_{0} = \frac{φ̃(S̃_{0}^{+}) − φ̃(S̃_{0}^{−})}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} et b_{0} = \frac{S̃_{0}^{+}φ̃(S̃_{0}^{−}) − S̃_{0}^{−}φ̃(S̃_{0}^{+})}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}}.

En choisissant B_{0} = 1 (c’est-à-dire en choisissant B_{0} pour numéraire), nous avons

Π_{0} = a_{0}S_{0} + b_{0}
= \frac{S_{0}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} (φ̃(S̃_{0}^{+}) − φ̃(S̃_{0}^{−})) + \frac{S̃_{0}^{+}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} φ̃(S̃_{0}^{−}) − \frac{S̃_{0}^{−}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} φ̃(S̃_{0}^{+})

= φ̃(S̃_{0}^{+})\frac{S_{0} − S̃_{0}^{−}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} + φ̃(S̃_{0}^{−})\frac{S̃_{0}^{+} − S_{0}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}}

Observons que si nous posons

p^{+} := \frac{S_{0} − S̃_{0}^{−}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} et p^{−} := \frac{S̃_{0}^{+} − S_{0}}{S̃_{0}^{+} − S̃_{0}^{−}} ,

on a 0 ≤ p^{−}, p^{+} ≤ 1 pourvu que S̃_{0}^{−} ≤ S_{0} ≤ S̃_{0}^{+}, et que p^{+} + p^{−} = 1. En d’autres termes, si on pose Pr {S_{δt} = S_{0}^{+}} := p^{+} et Pr {S_{δt} = S_{0}^{−}} := p^{−}, qu’on note P^{∗} cette probabilité sur la variable aléatoire bivaluée S_{T}, et 𝔼^{P^{∗}} l’espérance pour cette probabilité, alors

Π_{0} = 𝔼^{P^{∗}}[φ̃(S̃_{T})].  (2.9)

C’est ainsi que le calcul des probabilités s’introduit de manière naturelle dans le calcul des prix d’options. Nous allons systématiser cette idée dans un modèle plus sophistiqué d’évolution de S_{t}. Pour cela, nous allons tout d’abord introduire la marche de Wiener, et étudier ses propriétés.

12 CHAPITRE 2. EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES DÉTERMINISTES

La marche de Wiener

Nous venons de rappeler la relation entre suites définies par récurrence ou équations aux différences à une (seule) variable, et équations différentielles. Nous abordons ici un ingrédient important pour aborder d’intéresantes équations aux différences stochastiques, qui elles-mêmes ouvrent la voie aux équations différentielles stochastiques (ces dernières ne seront abordées qu’en maîtrise). Comme pour le cas déterministe que nous venons d’évoquer, nous considérons un intervalle de temps [0, T] que nous subdivisons en n intervalles égaux de longueur δt; donc T = nδt. Il est utile de concevoir δt comme une unité de longueur sur le “temps” t, fixée une fois pour toute. Nous aurons l’occasion d’indiquer des propriété particulières lorsque cette unité peut être considérée comme petite, mais telle n’est pas notre soucis pour le moment. Il nous paraîtrait en revanche nuisible de supposer que δt = 1 ; sur le plan de la modélisation, c’est T = 1 qui serait une restriction acceptable, et comme δt = T/n, il est souhaitable d’imaginer que δt < 1, ce qui implique en particulier que δt < \sqrt{δt}. Nous notons

𝕋 := [0..T] := [0..T]_{δt} := {0, δt, 2δt, …, kδt, …, ndt}

l’ensemble des points de subdivisions. Nous ne considèrerons ici que des fonctions définies sur 𝕋, mais il n’est pas absurde d’imaginer de prolonger ces fonctions sur [0, T] tout entier par des fonctions constantes sur [kδt, (k + 1)δt[.

La marche de Wiener W que nous voulons définir est solution de l’équations aux différence stochastique sur [0..T]

\{ \begin{matrix}δW_{t} & = & W_{t} − W_{t−δt} \\ W_{0} & = & 0. \end{matrix}  (3.1)

où, et c’est l’originalité du stochastique sur le déterministe

“ δW_{t} := W_{t} − W_{t−δt} = ±_{t}\sqrt{δt} ” ,

c’est-à-dire que l’accroissement ne prend pas une valeur unique, mais, dans cet exemple simple mais très utile, deux valeurs, +\sqrt{δt} et −\sqrt{δt}, le choix entre ces deux valeurs dépendant de t = nδt ∈ [0..T]_{δt}. Nous abandonnons tout de suite la notation ±_{t}\sqrt{δt} pour celle, plus proche de l’usage, de δW_{t}. Les δW_{t} sont des variables aléatoires (v.a.) sur un même espace probabilisé (Ω, Pr ) à deux valeurs (ou “bivaluées”, ou “de Bernouilli”). Précisément : les

(δW_{t})_{t∈]0..T]_{δt}}

sont des v.a. aléatoires de Bernouilli indépendantes identiquement distribuées (i.i.d.) telles que δW_{t}(ω) = ±\sqrt{δt}; nous posons

p := Pr \{δW_{t} = +\sqrt{δt}\},

la valeur de p étant indipendantes de la valeur de t, puisque les v.a. δW_{t} ont été supposées identiquement distribuées, un synonyme de “de même loi”. Nous serons amenés plus loin, pour les besoins des applications que nous avons en vue, à choisir la valeur de p de façon adhéquate, en fonction de la valeur de n = T/δt; lorsque δt est petit, p sera proche de \frac{1}{2}. Pour suivre ce qui suit sur un exemple concret, il n’est pas gênant pour le moment d’imaginer que p = \frac{1}{2}. Parfois on réserve même le nom de marche de Wiener à ce cas, mais ce n’est pas ce que nous ferons. Si nécessaire, on pourra préciser que la marche que nous considérons est la p-marche de Wiener.

Exercice : Rappeler comment définir sur Ω = {0, 1}^{n} une probabilité Pr = Pr_{p} telle qu’il existe sur (Ω, Pr_{p}) n v.a. de Bernouilli i.i.d. (X_{k})_{k=1..n} telles que Pr {X_{k} = 1} = 𝔼X_{k} = p.

3.1 Deux points de vue complémentaires sur la marche de Wiener

Il convient de comprendre (3.1) comme une relation définissant W_{t}(ω) par récurrence à partir des valeurs δW_{s}(ω) des v.a. (δW_{s})_{s∈]0..T]}. Précisément, on définit W_{t}(ω) par

\{ \begin{matrix}W_{t}(ω) & = & W_{t−δt}(ω) + δW_{t}(ω) \\ W_{0}(ω) & = & 0. \end{matrix}  (3.2)

En considérant tantôt ω comme paramètre et t comme variable, ou inversement, on obtient deux conceptions utiles des quantités W_{t}(ω).

3.1.1 Les trajectoires W (ω) et leur probabilité

Soit ω ∈ Ω ; pour chaque t = kδt ∈ [0..T], W_{t}(ω) est un nombre réel, et donc W (ω) est une fonction

W (ω) : [0..T] ⟶ ℝ
t ↦ W_{t}(ω)

appelée la trajectoire de W associée à ω. Nous notons W l’ensemble des trajectoires de (W_{t})_{t∈[0..T]}. Chaque trajectoire est caractérisée par les n valeurs de (δW_{s})_{s∈]0..T]}. Si δW_{s}(ω_{1}) ≠ δW_{s}(ω_{2}) pour une valeur de s au moins, alors les trajectoires W (ω_{1}) et W (ω_{2}) sont distinctes. Comme chaque δW_{s}(ω) prend deux valeurs distinctes (±\sqrt{δt}), la marche de Wiener a exactement 2^{n} trajectoires distinctes W_{s}(ω), ω ∈ Ω. Soit γ : [0..T] ⟶ ℝ une de ces trajectoires. On pose

pr_{W} γ = Pr {ω ∈ Ω | W_{t}(ω) = γ(t) pour tout t ∈ [0..T]}.

Toute trajectoire W (ω) est déterminée par les nombres (δW_{t}(w))_{t∈]0..T]} ; posons δγ(t) := γ(t) − γ(t − δt). Il est clair que

γ(t) = W_{t}(ω) pour tout t ∈ [0..T]  (3.3)

si et seulement si

γ(0) = 0 (= W_{0}(ω)) , ce qui est vrai pour toutes trajectoires de W, et
δγ(t) = δW_{t}(ω) pour tout t ∈]0..T].

Donc, par (3.3), si γ est une trajectoire de W,

pr_{W} γ = Pr {ω ∈ Ω | δW_{t}(ω) = δγ(t) pour tout t ∈]0..T]} ,

et comme les v.a. (δW_{t})_{t∈]0..T]} sont indépendantes,

pr_{W} γ = Π_{t∈]0..T]}Pr {ω ∈ Ω | δW_{t}(ω) = δγ(t) pour tout t ∈]0..T]}.  (3.4)

A noter que les facteurs composant le membre de droite de (3.4) n’ont que deux valeurs possible, p et 1 − p, donc

pr_{W} γ = p^{j}(1 − p)^{n−j},  (3.5)

où j = j(γ) désigne le nombre de t ∈]0..T] tels que δγ(t) = +\sqrt{δt} et, partant, n − j désigne le nombre de t ∈]0..T] tels que δγ(t) = −\sqrt{δt}. Nous dirons que j(γ) est le nombre de ups de γ et n − j(γ) est son nombre de downs.

Notons que l’ensemble des valeurs des divers j(γ) est \{0, 1, …, n\} et qu’il y a exactement \binom{n}{j} trajectoires distinctes γ telles que j(γ) = j, à savoir le nombre de choix distincts de j instants t ∈]0..T] où δγ(t) = +\sqrt{δt}. Donc si w_{j} := j\sqrt{δt} + (n − j)(−\sqrt{δt}) = (2j − n)\sqrt{δt},

Pr \{ω ∈ Ω | γ_{ω}(T) = w_{j}\} = Pr \{ω ∈ Ω | W_{T} (w) = w_{j}\} = \binom{n}{j}p^{j}(1 − p)^{n−j}.

Exercice : Montrer que si, pour tout Γ ⊆ W, on pose Pr_{W} (Γ) := ∑_{γ∈Γ} pr_{W} γ, la fonction Pr_{W} : P(W) ⟶ ℝ^{+} est une mesure de probabilité sur W; on l’appelle la mesure image de la marche de Wiener sur l’ensemble W de ses trajectoire. Indications : pour w_{j} := (2j − n)\sqrt{δt}, j = 0..n, les évènement {W_{T} = w_{j}} constituent une partition de Ω ; appliquer la formule du binôme.

3.1.2 Les variables aléatoires W_{t}

Soit t ∈ [0..T]_{δt}; pour chaque ω ∈ Ω W_{t}(ω) est un nombre réel, et donc W_{t} est une v.a. sur Ω.

W_{t} : Ω ⟶ ℝ
ω ↦ W_{t}(ω)

En adaptant ce qui a été dit dans la sous-section précèdente pour le cas t = T, il est facile de voir que pour t = kδt, W_{t} prend k + 1 valeurs w_{t,j}, avec

w_{t,j} = (2j − k)\sqrt{δt} = (j − \frac{k}{2} )δw si t = kδt.  (3.6)

également espacées d’une quantité δw = 2\sqrt{δt}, comprises entre −k\sqrt{δt} et +k\sqrt{δt}, ou encore

W_{t}(ω) = −k(ω, t)\sqrt{δt} + j(ω, t)δw,

avec t =: k(ω, t)δt et où j(ω, t) est le nombre de s ≤ t tels que δW_{s}(ω) > 0 (nombre de ups antérieurs à t).

Comme les v.a. (δW_{s})_{s∈]0..t]} sont indépendantes, on a

Proposition 3.1 Soit t = kδt ∈]0..T]_{δt}. On a Pr \{W_{t} = w_{t,j}\} = \binom{k}{j}p^{j}(1 − p)^{k−j}.

Preuve : Notons que

Pr \{W_{t} = −k\sqrt{δt} + jδw\} := Pr \{ω ∈ Ω | W_{t}(ω) = −k\sqrt{δt} + jδw\}  (3.7)
= Pr {E(j, k)}  (3.8)

où, pour k ≥ 1, E(j, k) désigne l’évèvement “il existe exactement j valeurs de s ∈]0..kδt]_{δt} telles que δW_{s}(ω) = +\sqrt{δt}”, et qui peut encore se formaliser par

E(j, k) := \{( ∑_{0<s≤t} 𝕀_{\{δW_{s}=+\sqrt{δt}\}}) = j\} .

Montrons par récurrence sur k que

Pr E(j, k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k}.

Pour k = 1, il est clair que Pr E(0, 1) = 1 − p = \binom{1}{0}p^{0}(1 − p)^{1−0}, et Pr E(1, 1) = p = \binom{1}{1}p^{1}(1 − p)^{1−1}. Pour k > 1, il est facile de voir que E(j, k) et la conjonction (ou “réunion”) des deux évenements

incompatible (ou “d’intersection vide”) suivants :

E(j, k − 1)^{−} := E(j, k − 1) ∩ \{δW_{kδt} = −\sqrt{δt}\}
E(j − 1, k − 1)^{+} := E(j − 1, k − 1) ∩ \{δW_{kδt} = +\sqrt{δt}\}

Comme, en outre, E(j, k − 1) et E(j − 1, k − 1) ne font intervenir que ses v.a. δW_{lδt} pour l ≤ k − 1 et que celles-ci sont indépendantes de δW_{kδt}, on a, en appliquant l’hypothèse de récurrence pour k′ = k − 1,

Pr E(j, k) = Pr E(j, k − 1)^{−} + Pr E(j − 1, k − 1)^{+}
= Pr E(j, k − 1)Pr \{δW_{kδt} = −\sqrt{δt}\} + Pr E(j − 1, k − 1)Pr \{δW_{kδt} = +\sqrt{δt}\}
= \binom{k − 1}{j}p^{j}(1 − p)^{k−1−j}(1 − p) + \binom{k − 1}{j − 1}p^{j−1}(1 − p)^{k−1−(j−1)}p
= (\binom{k − 1}{j} + \binom{k − 1}{j − 1}) p^{j}(1 − p)^{k−j}
= \binom{k}{j}p^{j}(1 − p)^{k−j} , par la relation du Triangle de Pascal.

□ 16 CHAPITRE 3. LA MARCHE DE WIENER

La marche aléatoire de Cox, Ross, et Rubinstein

Hey, Queen, Nice Dogs You Have There ! Michael Lewis The Liar’s Pocker

J. Cox, S. Ross, et M. Rubinstein^{1}ont proposé en 1979 de modéliser l’évolution du prix d’un actif par la relation de récurrence binaire suivante :

S_{t} = S_{t−δt} + S_{t−δt}(μdt ± σ\sqrt{δt}),  (4.1)

où S_{0} > 0 est donné, ce qui, en posant δS_{t} := S_{t} − S_{t−δt}, s’écrit encore

δS_{t} = S_{t−δt}(μδt + σδW_{t}).  (4.2)

4.1 Trajectoires (espace des états)

On notera que dans la relation ci-dessus, on a fait usage de la notation δW_{t} et non δW_{t}^{(p)}, c’est-à-dire que les δW_{t} sont des couples (+\sqrt{δt}, −\sqrt{δt}) et non les v.a. de Bernouilli δW_{t}^{(p)} prenant ces valeurs avec une certaine probabilité p et 1 − p respectivement.

Nous entendons marquer par là que le processus de modélisation ne porte que sur l’ensemble des évènements que le modèle veut pouvoir prendre en compte, sans se prononcer sur le fait que ces évènement sont plus ou moins probables et, partant ne se prononce pas sur l’oportunité d’envisager un “comportement espéré”, qui serait la moyenne pondérée des évènements possibles.

Du point de vue des trajectoires, ce modèle peut s’interpréter de la façon suivante : si σ = 0, le prix suit une croissance géométrique de raison 1 + μδt, c’est-à-dire une relation d’intérêts composés, de taux d’intérêts μδt par période de base de durée δt. Si σ > 0, la croissance du cas σ = 0 est soumise à des “chocs”

σS_{t}δW_{t} = ±σS_{t}\sqrt{δt}.

Le coefficient σ, communément appelé volatilité, est un paramètre (essentiel) du modèle, devant prendre en compte l’intensité des chocs. Nous supposerons qu’il est constant, mais cela pourrait être une fonction (déterministe) du temps, voire une fonction aléatoire. La présence du facteur S_{t} (linéarité) assure que le modèle est indépendant du choix des unités (ici, du numéraire FRF, USD, EURO, …). Indiquons que les deux exemples vus aux sections 1.2 et 1.3 correspondent à des cas où [0..T] a été subdivisé respectivement en un et deux intervalles de longueur δt.

1Ce modèle fait suite à un modèle introduit en 1971 indépendement par Black et Scholes, et Merton, fondé sur une approche stochastique en temps continu. Une première tentative dans ce sens avait été effectuée par Bachelier, dans sa thèse (1900), à laquelle Black et Scholes rendent hommage. On peut penser que c’est la sociologie des Mathématiques qui explique la pause 1900-1971 de publication sur ce sujet. Les économistes, et on les comprend, sont réticents à utiliser une approche mathématique dont ils apprécient mal pas les tenants et aboutissants. L’approche exposée ici est dûe, selon les écrits de Cox et Rubinstein, à Sharpe, un prix Nobel d’économie (date ?). Nous montrerons les liens entre les deux approches. Nous pensons que celle exposée ici est plus à même d’aider à formuler des modèles plus subtiles. L’approche en temps continu présentant des avantages de calcul indéniables une fois que l’on maîtrise ce calcul, elle sera enseignée en Maîtrise. Remarquons que cette question est également abordée au moyen d’équations aux dérivées partielles. Le livre de P. Wilmott, S. Howison, et J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press (1995) est excellent sur ce point de vue. Le lien entre les deux approches continues est aujourd’hui bien compris, et fait l’objet d’un cours de Denis Talay, en DEA de Mathématiques de l’UNSA notamment.

A chaque trajectoire W (ω) ∈ W de la marche de Wiener (W_{t})_{t[0..T]} correspond donc une trajectoire S(ω) ∈: S de la marche (S_{t})_{t[0..T]}. Plus précisément si deux trajectoires W (ω_{1}) et W (ω_{2}) dans W sont égales pour tout s ∈ [0..t], il en est de même pour les trajectoires correspondantes S(ω_{1}) et S(ω_{2}) dans S : on dit que S est adapté à W – nous reviendrons sur cette notion plus tard.

Notons que nous avons même mieux : si, pour un t ∈ [0..T] on a W_{t}(ω_{1}) = W_{t}(ω_{2}), alors on a aussi S_{t}(ω_{1}) = S_{t}(ω_{2}) (même si W_{s}(ω_{1}) ≠ W (ω_{2}) pour certains s < t). Ceci se voit facilement à l’aide de la fonction j_{#}, égale au nombre de ups antérieurs à t :

j_{#}(t, ω) := Cardinal de {s ∈]0..t] | δW_{s}(ω) > 0}.

On voit immédiatement, par récurrence sur k, avec t := kδt, que

W_{nδt} = j_{#}(t, ω) − (n − j_{#}(t, ω)) = 2j_{#}(t, ω) − n.

et que

S_{nδt} = S_{0}(μδt + σ\sqrt{δt})^{j_{#}(t,ω)}(μδt − σ\sqrt{δt})^{n−j_{#}(t,ω)}.  (4.3)

(le démontrer !) Donc, toujours pour t = nδt, si W_{t}(ω_{1}) = W_{t}(ω_{2}), alors j_{#}(t, ω_{1}) = j_{#}(t, ω_{2}) =: j, et donc

S_{t}(ω_{1}) = S_{nδt}(ω_{1}) = S_{0}(μδt + σ\sqrt{δt})^{j}(μδt − σ\sqrt{δt})^{n−j} = S_{nδt}(ω_{2}) = S_{t}(ω_{2}).

Nous dirons que les trajectoires S se recombinent comme les trajectoires W.

Exercice : Soient n = 2, δt = T/2, σ :]0..T]_{δt} → ℝ_{∗}^{+}, et S les trajectoires de la marche définie par

δS_{t} = S_{t}(μδt + σ(t)δW_{t}).

Montrer que dans ce cas les trajectoires de S ne se recombinent comme celles de W que si la fonction σ est constante. Indication : pour ω_{1} = .01 et ω_{2} = .10, on a W_{T} (ω_{1}) = W_{T} (ω_{2}). Vérifier que S_{T} (ω_{1}) = S_{T} (ω_{2}) implique que σ(δt) = σ(2δt)(= σ(T)).

4.2 La probabilité de calcul, et les marches Π et Δ

Nous allons à présent transformer la marche (S_{t})_{t∈[0..T]} en une marche stochastique, en substituant (W_{t}^{(p)})_{t∈[0..T]} à (W_{t})_{t∈[0..T]}, c’est-à-dire en choisissant p ∈ [0, 1], ce qui, comme nous l’avons vu au chapitre 3, muni les trajectoire W de la marche de Wiener d’une probabilité, et fait que (W_{t}^{(p)})_{t∈[0..T]} est une marche aléatoire. La relation (4.2) devient

δS_{t} = S_{t−δt}(μδt + σδW_{t}^{(p)}).  (4.4)

et fait de (S_{t})_{t∈[0..T]} une marche aléatoire, simplement en définisant S_{t}(ω) par récurrence par la donnée de S_{0}, puis par la relation

S_{t}(ω) = S_{t−δt}(ω) + S_{t−δt}(ω)(μδt + δW_{t}(ω)).  (4.5)

Le choix de p se fera en fonction de considérations purement opérationnelles, comme dans les deux exemples du chapitre 1 pour calculer le prix Π et la composition (a, b) d’un portefeuille de couverture d’une option européenne d’échéance T et de pay-off φ(S_{T}). Formalisons l’idée qui se dégage des deux exemples que nous avons vus, en en reprenant les diverses étapes. Convenons d’appeler titre sous-jacent à l’option, ou simplement sous-jacent, le titre dont le prix est modélisé par S_{t}

– A la date t ∈]0..T], lorsque le sous-jacent vaut S_{t}, on dispose d’un portefeuille se composant d’une quantité a de sous-jacent, et d’une quantité b de placement non-risqué, ce qui confère au portefeuille une valeur

Π_{t} = aS_{t} + b.  (4.6)

– Les quantités a et b ont été arrêtées à l’instant t − δt (il est commode de dire “la veille”), lorsqu’on ne connaissait que S_{t−δt} ce que nous exprimons en notant

a =: a_{t−δt} et b =: b_{t−δt}.

Ce point est évidement crucial pour l’applicabilité de la méthode. Le choix de la notation est donc également important. De façon générale, nous veillons à donner aux marches (X_{t})_{t∈[0..T]} déduite, comme (S_{t})_{t∈[0..T]}, de (W_{t})_{t∈[0..T]}, des indices tels que X_{t}(ω) soit entièrement déterminé par les δW_{s}(ω) pour s ∈]0..t] : c’est ce que nous formaliserons plus loin par la notion de marche adaptée à la marche (W_{t})_{t∈[0..T]} – ou aux chocs (δW_{s})_{s∈[0..T]} – de Wiener.

– Le portefeuille de couverture doit être conçu de manière à ce qu’à la date d’échéance T, sa valeur

Π_{T} soit telle telle que

Π_{T} = φ(S_{T}),

quelque soit la valeur de S_{T} parmi celles possibles dans le modèle considéré.

– En fait, nous cherchons une relation de récurrence pour les Π_{t} rétrograde (“backward”) de manière à lier les véritables inconnue Π_{0}, a_{0}, et b_{0} que sont le prix et la composition initiaux, à la donnée des φ(S_{T}). Nous souhaitons que la variation δΠ_{t} := Π_{t} − Π_{t−δt} soit dûe à la seule variation de S entre la date t − δt et la date t.

δΠ_{t} = Π_{t} − Π_{t−δt} = (a_{t−δt}S_{t} + b_{t−δt}) − (a_{t−δt}S_{t−δt} + b_{t−δt}) = a_{t−δt}δS_{t}.  (4.7)

En particulier le portefeuille doit être autofinancé, c’est-à-dire que le changement de composition (couverture) intervenant à la date t se fait sans apport ou retrait de capitaux :

a_{t−δt}S_{t} + b_{t−δt} = Π_{t} = a_{t}S_{t} + b_{t}  (4.8)

– Plaçons nous la veille, à t − δt. Posons S := S_{t−δt}(ω) et Π := Π_{t−δt}(ω). Deux issues sont possibles pour la valeur du sous-jacent, le “lendemain”, en fonction du signe de δW_{t}(ω), valeurs que nous notons S^{+} et S^{−}, d’où résultent deux valeurs de portefeuille, que nous notons Π^{+} et Π^{−}, une fois fixé a = a_{t−δt} et b = b_{t−δt}. Nous devons donc avoir (relation (4.6))

aS^{+} + b = Π^{+}
aS^{−} + b = Π^{−}

qui se résoud immédiatement par combinaison, d’où

a = \frac{Π^{+} − Π^{−}}{S^{+} − S^{−}} et b = \frac{Π^{−}S^{+} − Π^{+}S^{−}}{S^{+} − S^{−}} ,  (4.9)

d’où facilement, en utilisant que Π = aS + b,

Π = p^{+}Π^{+} + p^{−}Π^{−},  (4.10)

où on a posé

p^{+} := \frac{S − S^{−}}{S^{+} − S^{−}} et p^{−} := \frac{S^{+} − S}{S^{+} − S^{−}} .  (4.11)

– Et voici comment s’introduit le calcul des probabilités : on observe que

p^{+} + p^{−} = \frac{(S − S^{−}) + (S − S^{−})}{S^{+} − S^{−}} = 1,

et de plus

si S^{+} ≥ S ≥ S^{−} , alors p^{+} := \frac{S − S^{−}}{S^{+} − S^{−}} ≥ 0 et p^{−} := \frac{S^{+} − S}{S^{+} − S^{−}} ≥ 0.

Donc, si on conçoit Π^{±} comme une v.a. de Bernouilli, avec Pr {Π^{±}} = p^{±} alors, pour cette probabilité, on a Π = 𝔼Π^{±}. Mais qu’est-ce que Π^{±}? C’est la valeur de Π_{t}(ω) pourvu que Π_{t−δt}(ω) = Π, c’est-à-dire Π_{t} conditionné par la valeur antérieure Π_{t−δt}, qui est elle-même déterminée par la valeur de S_{t−δt}. Cette valeur étant fixée, Π^{±} reste une v.a. pouvant prendre deux valeurs, et la formule Π = 𝔼 Π^{±} est vraie dès lors qu’on à choisit la valeur de p^{∗} comme indidiqué :

p^{∗} := p^{+} = \frac{S − S^{−}}{S^{+} − S^{−}} = \frac{S − S(1 + μδt − σ\sqrt{δt})}{S(1 + μδt + σ\sqrt{δt}) − S(1 + μδt − σ\sqrt{δt})} = \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}.

et on a donc p^{−} = 1 − p^{∗} = \frac{1}{2} + \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}.

– Observons encore que les coefficients p^{+} et p^{−} ont également la propriété que

S = p^{+}S^{+} + p^{−}S^{−},  (4.12)

ou encore, avec la cette probabilité,

S_{t−δt} = 𝔼(S_{t} connaisant S_{t−δt}).

On dit que (S_{t})_{t∈[0..T]} est une martingale.

– La marche (a_{t})_{t∈[0..T [} est généralement notée (Δ_{t})_{t∈[0..T [}, l’une des greques de la finance : Delta (Δ), Gamma (Γ), Rho (ρ), Theta (Θ), et Vega (V) ; nous reviendrons sur ces quantités.

4.3 Marches aléatoires associée au bruit-blanc (δW_{t}^{∗})_{t∈]0..T]}

Fig. 4.1: Calcul du prix Π_{0} du portefeuille de couverture. On sait qu’en fonction de la valeur de S_{T}, le portefeuille doit valoir φ(S_{T}). Ceci determine les valeurs marquées par un ⊗ de la figure (b). La figure (a) rappelle que pour chaque motif “en cerise”, la valeur à gauche se déduit des deux valeurs à droites par multiplication respective par p := p^{∗} et q := 1−p^{∗}. Il convient alors de se convaincre que, dans Π_{0}, la contribution de chaque valeur finale ⊗ intervient comme la somme sur tous les chemins joignant cette valeur finale à la valeur initiale, chaque chemin étant muni d’un coefficiant multiplicatif égal au produit des coefficients portés par chacun des segments qu’il emprunte. Ces coefficients sont précisément les probabilités choisies pour les chemins de la marche (S_{t})_{t∈𝕋} de Cox-Ross-Rubinstein, dite probabilité de calcul, et Π_{0} = 𝔼 φ(S_{T}) = ∑_{ω∈Ω} φ(S_{T} (ω))pr^{∗}(ω).

Pour les raisons indiquées à la section précédente, nous considérons la suite de v.a. i.i.d. sur l’espace de probabilité (Ω, Pr )

(δW_{t}^{∗})_{t∈]0..T]} := (δW_{t}^{(p^{∗})})_{t∈]0..T]},  (4.13)

avec p^{∗} := \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}. A partir de ce “bruit-blanc”, nous pouvons définir, par récurrence, les marches (W_{t}^{∗})_{t∈[0..T]} et (S_{t}^{∗})_{t∈[0..T]}, par la donnée de W_{0}^{∗}(ω) = 0 et de S_{0}^{∗}(ω) = S_{0}, pour tout ω ∈ Ω. Nous allons voir maintenant comment définir, de façon naturelle à partir de ces marches, la marche aléatoire (Π_{t}^{∗})_{t∈[0..T]} telle que Π_{T} = φ(S_{T}). De là il sera facile de déduire les marches (δa_{t})_{t∈[0..T [} et (δb_{t})_{t∈[0..T [}, et surtout la valeur de Π_{0}, le prix du portefeuille de couverture et, partant, de l’option. Nous aurons le théorème suivant : Théorème 4.1 Soit p^{∗} = \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}. La valeur initiale Π_{0} du portefeuille de couverture d’une option sur S_{T} de valeur finale Π_{T} = φ(S_{T}) définit de manière rétrograde de manière à satisfaire (4.7) et (4.8) est donnée par

Π_{0} = 𝔼 φ(S_{T}^{(p^{∗})}) =: 𝔼^{∗}φ(S_{T}).  (4.14)

La manière mathématiquement commode de prouver ce théorème est de reconnaître dans la marche (Π_{t})_{t∈𝕋} décrite la belle notion probabiliste d’espérence conditionnelle que nous étudierons au chapitre suivant. Toutefois la figure 4.1 qui résume le calcul permet également de se convaincre de se résultat fondamentale de la théorie de la valorisation des options.

Espérances conditionnelles

Au chapitre précédent nous avons introduit une marche binaire (S_{t})_{t∈𝕋} modélisant l’ensemble des évolutions possibles des cours d’une action. Puis nous avons vu comment introduire une probabilité sur les accroissements (δS_{t})_{t∈𝕋_{∗}}, supposés indépendants, comme commodité de calcul du prix Π_{t} d’un portefeuille de couverture, sachant le prix S_{t} atteint par l’actif sous-jacent. Nous avons noté (S_{t}^{∗})_{t∈𝕋} la marche aléatoire correspondant à ce choix. Nous allons introduire ici la notion de marche aléatoire “espérance conditionnelle” 𝔼_{t}(X/S) associée à une v.a. X sur une marche aléatoire (S_{t})_{t∈𝕋}; cette notion achèvera de formaliser le calcul du prix du portefeuille de couverture ; nous aurons Π_{t} = 𝔼_{t}(φ(S_{T}) / S), et les propriétés élémentaires de la marche espérance conditionnelle nous indiqueront comment calculer Π_{0}, le prix de l’option.

Rappelons que nous notons (Ω, Pr ) un espace probabilisé, que nous supposons désormais fini. Pour ω ∈ Ω, nous notons^{1} pr (ω) := Pr {ω}, et supposons que pr (ω) ≠ 0 pour tout ω ∈ Ω ; en d’autres termes, aucun évènement élémentaire n’est négligeable.

5.1 Un nombre appelé espérance conditionnelle

Soit X une v.a. sur Ω. Rappelons qu’on appelle espérance de X le nombre

𝔼 X = ∑_{ω∈Ω} X(ω)pr (ω)

( =: ∫_{ω∈Ω} X(ω)dP (ω) = : ∫_{Ω} XdP notations alternatives.)

Soit A ⊆ Ω ; soit 𝕀_{A} la v.a. “indicatrice de A”, égale à 1 sur A et 0 sinon. On a

Pr A = ∑_{α∈A} pr (α) = 𝔼 𝕀_{A}

( =: ∫_{α∈A} dP (α) = : ∫_{A} dP avec les notations alternatives.)

On appelle espérance conditionnelle de “X sachant A” le nombre

𝔼[X/A] := \frac{1}{Pr A} ∑_{α∈A} X(α)pr (α)

= \frac{𝔼 X𝕀_{A}}{𝔼 𝕀_{A}}
( = \frac{1}{∫_{α∈A} dP (α)} ∫_{α∈A} X(α)dP (α) = \frac{∫_{A} XdP}{∫_{A} dP} .)

En d’autres termes 𝔼[X/A] est la moyenne des X(α) pour α ∈ A.

A noter que

𝔼[X/A] = ∑_{α∈A} X(α)\frac{pr (α)}{Pr A} =: ∑_{α∈A} X|_{A}(α)pr_{A}(α)

1E. Nelson, Radically Elementary Probability Theory, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press (1987).

où X|_{A} est la restriction à A de la v.a. X, et pr_{A}(α) := \frac{pr_{A}(α)}{Pr A} > 0, qui est une probabilité sur A puisque

∑_{α∈A} pr_{A}(α) = ∑_{α∈A} \frac{pr (α)}{Pr A} = \frac{1}{Pr A} ∑_{α∈A} pr (α) = \frac{Pr A}{Pr A} = 1.

Si on note 𝔼_{A} l’espérance sur l’espace probabilisé (A, Pr_{A}) avec, pour B ⊆ A, Pr_{A}(B) := ∑_{β∈B} pr_{A}(β), on a donc

𝔼[X/A] = 𝔼_{A}X|_{A}.  (5.1)

5.2 Une v.a. appelée espérance conditionnelle

Soient Ω_{1}, …, Ω_{m} des parties non vides de Ω. On dit que

Ω | := {Ω_{1}, …, Ω_{m}}

est une partition de Ω si et seulement si les Ω_{i} sont deux-à-deux disjoints et Ω est la réunion des Ω_{i}. Pour souligner que C := A ∪ B est une réunion de parties disjointes A et B nous utiliserons la notation C = A ˙∪B, et de façon analogue nous écrirons Ω = ˙⋃_{i=1}^{m}Ω_{i} pour exprimer que {Ω_{1}, …, Ω_{m}} est une partition de Ω.

La relation ∼ sur Ω définie par ω′ ∼ ω” si et seulement si ω′ et ω” appartiennent à un même Ω_{i} ∈ Ω | est une relation d’équivalence. Réciproquement, si ∼ est une relation d’équivalence quelconque sur Ω, les classes d’équivalences \overline{ω} des éléments de Ω consituent une partition de Ω, où on a noté

\overline{ω} := \{w′ ∈ Ω | ω′ ∼ ω\}.

Exemple : Un exemple de partition de Ω important pour ce cours, que nous noterons

Ω | _{t} ,

est la partition associée à la relation d’équivalence ∼^{t} définie par

ω′ ∼^{t} ω” si et seulement si W_{r}(ω′) = W_{r}(ω”) pour tout r ∈ [0..t],

Définition : Si Ω | est une partition de Ω et X est une v.a. sur Ω, l’espérance conditionnelle de X relativement à la partition Ω | est la v.a. notée 𝔼(X/Ω | ) définie par

𝔼(X/Ω | )(ω) := 𝔼[X/\overline{ω}]

où \overline{ω} désigne l’élément Ω_{i} ∈ Ω | tel que ω ∈ Ω_{i}.

L’espérance conditionnelle est donc une v.a. qui est constante sur les éléments Ω_{i} de la partition. On dit aussi qu’elle est mesurable pour la partition Ω | dans le sens général suivant :

Définition : On dira qu’une v.a. Y est mesurable pour la partition Ω | (ou Ω | -mesurable) si et seulement si Y est constante sur les éléments Ω_{i} de la partition Ω | .

Exemple : Soit X une v.a. sur Ω dont les valeurs sont X(Ω) = {x_{1}, …, x_{k}}. Pour x_{i} ∈ X(Ω), soit Ω_{i} = X^{−1}(x_{i}) = {ω ∈ Ω | X(ω) = x_{i}}. Les Ω_{i} forment une partition Ω | _{X} = {Ω_{1}, …, Ω_{k}} de Ω appelée partion associée à X. Dire que la v.a. Y est Ω | _{X}-mesurable signifie que Y prend une même valeur y_{i} sur chaque Ω_{i}. Si on définit f par f(x_{i}) := y_{i} si x_{i} ∈ X(Ω) (et, par exemple, f(x) = 0 si x ∉ X(Ω), mais cela n’a pas d’importance), nous voyons que dire que Y est Ω | _{X}-mesurable implique que Y = f(X), c’est-à-dire Y (ω) = f(X(ω)). Cette idée simple porte, dans un contexte un peu plus général, le nom de lemme de Doob-Dynkin. Il est facile de voir que la réciproque est vraie, puisque X(ω′) = X(ω′′) implique que Y (ω′) = f(X(ω′)) = f(X(ω′′)) = Y (ω′′). Au lieu de Ω | _{X}-mesurable, on écrit souvant X-mesurable. Nous voyons que Y est X-mesurable si et seulement si pour “mesurer Y ” (c’est-à-dire, ici, connaître Y (ω)), il suffit de “mesurer X” ; Y (ω) se déduit de manière déterministe (via f) de X(ω).

Exercice : Soit X_{t} := Max_{s∈[0..t]_{δt}}W_{t}. Montrer que, pour t = 2δt (puis plus généralement t ≥ 2δt), X_{t} n’est pas W_{t}-mesurable mais est Ω | _{t}-mesurable. En d’autres termes, il faut connaître tout le passé de W avant t pour connaître la valeur de X; c’est en ce sens que Ω | _{t} représente l’information disponible, sur W, à l’instant t. Que pensez-vous de Y_{t} := Min_{s∈[0..t]_{δt}}W_{t} et de Z_{t} := Max_{s∈[t..T]_{δt}}W_{t}?

Proposition 5.1 Si X est une v.a. quelconque, et si Y est une v.a. mesurable pour la partition Ω | , alors

𝔼(XY/Ω | ) = Y 𝔼(X/Ω | ).  (5.2)

Preuve : Pour tout ω ∈ Ω, on a \overline{ω} ∈ Ω | , et si α ∈ \overline{ω}, alors Y (α) = Y (ω). On a alors

𝔼(XY/Ω | )(ω) = 𝔼[XY/\overline{ω}]
= ∑_{α∈\overline{ω}} X(α)Y (α)pr \overline{ω}(α)
= ∑_{α∈\overline{ω}} X(α)Y (ω)pr \overline{ω}(α)
= Y (ω) ∑_{α∈\overline{ω}} X(α)pr \overline{ω}(α) = Y (ω)𝔼[X/\overline{ω}].

□

L’espérance conditionnelle est une v.a. Ω | -mesurable qui ne “change pas la moyenne de X” dans le sens suivant :

Proposition 5.2 Pour toute v.a. X sur Ω et toute partition Ω | de Ω, on a

𝔼 𝔼(X/Ω | ) = 𝔼 X.  (5.3)

Preuve : Soit Ω | := {Ω_{1}, …, Ω_{m}}; donc Ω = ˙⋃_{i=1}^{m}Ω_{i} et

𝔼(X/Ω | )(ω)  =  𝔼[X/\overline{ω}] = \frac{1}{Pr \overline{ω}} ∑_{α∈\overline{ω}} X(α)pr (α)

et donc

𝔼 𝔼(X/Ω)  =  ∑_{ω∈Ω} (\frac{1}{Pr \overline{ω}} ∑_{α∈\overline{ω}} X(α)pr (α)) pr (ω)

=  ∑_{i=1}^{m} ∑_{ω∈Ω_{i}} (\frac{1}{Pr \overline{ω}} ∑_{α∈\overline{ω}} X(α)pr (α)) pr (ω)

=  ∑_{i=1}^{m} ∑_{ω∈Ω_{i}} (\frac{1}{Pr Ω_{i}} ∑_{α∈Ω_{i}} X(α)pr (α)) pr (ω)

=  ∑_{i=1}^{m} (\frac{1}{Pr Ω_{i}} ∑_{α∈Ω_{i}} X(α)pr (α)) ∑_{ω∈Ω_{i}} pr (ω)

=  ∑_{i=1}^{m} (\frac{1}{Pr Ω_{i}} ∑_{α∈Ω_{i}} X(α)pr (α)) Pr (Ω_{i})

=  ∑_{i=1}^{m} ∑_{α∈Ω_{i}} X(α)pr (α) = ∑_{α∈Ω} X(α)pr (α) = 𝔼 X.

□

Définition : On dit que la partition Ω || de Ω est plus fine que la partition Ω | si et seulement si pour tout A′′ ∈ Ω || il existe A′ ∈ Ω | tel que A′′ ⊆ A′. Il convient alors ici de comprendre que chaque A′ ∈ Ω | est en fait partitionné par les A′′ ∈ Ω || tels que A′′ ⊆ A′. On note Ω || |_{A′} cette partition de A′; on a Ω || |_{A′} = Ω || ∩ P(A′).

Exemple : Epreuve commune au collège Bachelier :Nous verrons plus bas combien la notion d’espérance conditionnelle est fondamentale en finance. Donnons ici un exemple plus anodin. Soit Ω l’ensemble des élèves écrits en classe de 6ème du collège Bachelier. Chaque élève est inscrit dans une classe, et les classes de 6ème déterminent donc un partition Ω || de l’ensemble des élèves en 6ème au collège.

Soit X la note à une épreuve commune à tous les élèves de 6ème. Si on probabilise Ω en donnant à chaque élève ω la même probabilité pr (ω) := 1/Card Ω, alors 𝔼 X =: μ est évidemment la moyenne du collège Bachelier à cette épreuve commune. 𝔼(X/Ω ||) est une nouvelle note affectée à chaque élève pour cette même épreuve : c’est sa note “par équipe”, égale à la note moyenne de sa classe. La formule (5.3) assure qu’on ne changerait pas la note moyenne du collège en remplaçant les notes individuelles par les notes par équipe.

Supposons que toutes les copies du collège Bachelier ont été corrigées par les professeurs Cox, Ross, et Rubinstein. Si on considère que les correcteurs n’ont pas fait preuve de la même sévérité, on peut souhaiter faire une péréquation des notes : on va multiplier la note X par une v.a. Y mesurable pour la partition par correcteurs, que nous notons Ω | . Notons Z := XY la note individuelle après péréquation. On souhaite que cette note donne la même moyenne au collège, mais que la moyenne par correcteur 𝔼(Z/Ω | ) soit une constante, que nous notons a. Donc a = 𝔼(Z/Ω | ), et on a

a = 𝔼 a = 𝔼 𝔼(Z/Ω | ) =^{(∗)} 𝔼 Z = 𝔼 X = μ

où (*) résulte de (5.3). Donc a = μ = 𝔼 X. A présent

𝔼 X = a = 𝔼(Z/Ω | ) = 𝔼(XY/Ω | ) =^{(∗)} Y 𝔼(X/Ω | ),

où (*) résulte par (5.2) du fait que la v.a. Y que nous cherchons doit être mesurable pour la partition par correcteurs Ω | . Finalement on trouve

Y = \frac{𝔼 X}{𝔼(x/Ω | )},

et la note individuelle Z après péréquation s’obtient par multiplication de la note individuelle X par le quotient de la moyenne du collège par la moyenne du correcteur de la copie.

La note par équipe, après péréquation est donc

𝔼(Z/Ω ||) = 𝔼 (X \frac{𝔼 X}{𝔼(X/Ω | )}/Ω || ) = 𝔼 X 𝔼 (\frac{X}{𝔼(X/Ω | )}/Ω || ) .

Si MM. Cox, Ross, et Rubinstein se sont partagés les copies “par classe”, c’est-à-dire que toutes les copies d’une même classe étaient corrigées par un même correcteur, la partition Ω | est moins fine que la partition Ω || et la v.a. 𝔼(X/Ω | ) est donc Ω || -mesurable, d’où, comme Y est également Ω || -mesurable (puisque Ω | est moins fine que Ω ||)

𝔼(Z/Ω ||) = 𝔼(XY/Ω ||) = Y 𝔼(X/Ω ||) = \frac{𝔼 X}{𝔼(X/Ω | )} 𝔼(X/Ω ||).

La moyenne par classe des notes après péréquation se déduit de celle avant péréquation par multiplication du rapport de la moyenne du collège par la moyenne par correcteur.

Tout ceci n’est pas surprenant. Grâce à l’introduction de la probabilité de calcul, le calcul du prix du portefeuille de couverture ne sera guère plus difficile et pourtant il débouche sur un résultat qui, à juste titre, a impressionné bien des traders d’options.

5.3 Une marche aléatoire appelée espérance conditionnelle

Exercice 5.1 Montrer que

1. ω′ ∼^{t} ω” si et seulement si δW_{r}(ω′) = δW_{r}(ω”) pour tout r ∈]0..t].

2. ω′ ∼^{t} ω” si et seulement si S_{r}(ω′) = S_{r}(ω”) pour tout r ∈]0..t]. où (S_{t})_{t∈𝕋} est la marche de Cox-Ross-Rubinstein.

En d’autres termes, la partition Ω | _{t} peut être définie indifféremment par les valeurs, pour r ≤ t, de l’une quelconque des trois marches aléatoires bruit-blanc δW, de Wiener W, ou de Cox-Ross-Rubinstein S. Nous utiliserons les notations W_{t} ou S_{t} comme synonyme de Ω | _{t} lorsqu’il sera plus naturel de penser aux trajectoires de W ou de S pour interpréter la partition Ω | _{t}.

Théorème 5.3 Soit Ω | et Ω || deux partitions de Ω ; supposons que Ω || soit plus fine que Ω | . On a

𝔼(𝔼(X/Ω ||) / Ω | ) = 𝔼(X/Ω | ).  (5.4)

Preuve : Pour ω ∈ Ω quelconque, on note respectivement \overline{ω} et \overline{\overline{ω}} les éléments des partions Ω | et Ω || contenant ω. Observons tout d’abord que pour α ∈ \overline{ω}, on a

𝔼(X/Ω ||)|\overline{ω} = 𝔼\overline{ω}(X|\overline{ω}/Ω || |\overline{ω}).  (5.5)

En effet, on a α ∈ \overline{\overline{α}} ⊆ \overline{α} = \overline{ω}, et donc

𝔼(X/Ω ||)|\overline{ω}(α) = \frac{1}{Pr \overline{\overline{α}}} ∑_{β∈\overline{\overline{α}}} X(β)pr (β)

= \frac{1}{\begin{matrix}Pr & \overline{\overline{α}} \\ Pr & \overline{ω} \end{matrix}} ∑_{β∈\overline{\overline{α}}} X(β)\frac{pr (β)}{Pr \overline{ω}}

= \frac{1}{Pr \overline{ω}\overline{\overline{α}}} ∑_{β∈\overline{\overline{α}}} X(β)pr \overline{ω}(β) = 𝔼\overline{ω} (X|\overline{ω}/Ω || |\overline{ω}) (α).

A présent, soit ω ∈ Ω quelconque ; on a

𝔼( 𝔼(X/Ω ||) / Ω | )(ω) = 𝔼[ 𝔼(X/Ω ||) / \overline{ω}]
= 𝔼\overline{ω} 𝔼(X/Ω ||)|\overline{ω}  (5.6)
= 𝔼\overline{ω} 𝔼\overline{ω}(X|\overline{ω}/Ω || |\overline{ω}  (5.7)
= 𝔼\overline{ω} X|\overline{ω}  (5.8)
= 𝔼[X/\overline{ω}] = 𝔼(X/Ω | )(ω)  (5.9)

où (5.6) et (5.9) résultent de (5.1), (5.7) découle de (5.5), et (5.8) découle de (5.3). □

Proposition 5.4 Soient s et t dans [0..T]_{δt}. Si s ≤ t, alors Ω | _{s} est moins fine que Ω | _{t}.

Preuve : C’est évident (sauf éventuellement si on veut écrire quelque chose). □

Exercice : Ecrire la preuve de la proposition ci-dessus. Indication : pour A′′ ∈ Ω | _{t} et α ∈ A′′, noter \overline{α}_{s} la classe de α pour la relation ∼^{s} et \overline{α}_{t} la classe de α pour la relation ∼^{t}; montrer que A′′ = \overline{α}_{t} ⊆ \overline{α}_{s} =: A′ ∈ Ω | .

Corollaire 5.5 (Principe de transitivité de la diffusion) Pour tout s ≤ t et toute variable aléatoire X sur Ω, on a

𝔼_{s}(𝔼_{t}(X)) = 𝔼_{s}(X).  (5.10)

Observons que pour toute v.a. X sur Ω, 𝔼_{t}(X) := 𝔼(X/Ω | _{t}) définit, pour tout t ∈ [0..T], une nouvelle v.a. sur Ω. On l’appelle la marche aléatoire espérance-conditionnelle de la v.a. X associée à la P -filtration (Ω | _{t})_{t∈[0..T]}. Voici une définition générale de ces termes :

Définition : On dira que P := (P_{t})_{t∈[0..T]} est une P -filtration de Ω (ou filtration en partitions) si et seulement si , pour tout t ∈ [0..T], P_{t} est une partition de Ω, et si pour t ≥ s, la partition P_{t} est plus fine que la partition P_{s}.

On appelle marche aléatoire espérance conditionnelle de la v.a. X associée à la P -filtration P = (P_{t})_{t∈[0..T]} la marche aléatoire (𝔼_{t}(X)_{t∈[0..T]}) définie par

𝔼_{t}(X)(ω) := 𝔼(X/P_{t})(ω) := 𝔼[X/\overline{ω}_{t}],

où \overline{ω}_{t} désigne l’élément de la partition P_{t} contenant ω.

Pour la théorie de l’évaluation des options exposée ici, nous n’aurons pas besoins d’autre P -filtration que celle associée à la marche de Wiener que nous avons considérée jusqu’ici. Le “P −” placé devant le mot filtration se réfère au fait que nous considérons des partitions de Ω, au lieu des tribus considérée par la notion plus classique de filtration. C’est le fait de pouvoir se limiter à un ensemble Ω fini qui rend possible cette simplification. Dans la mesure où ne considèrerons ici que des filtrations en partitions, nous écrirons filtration pour P -filtration, et omettrons donc le préfixe P - .

26 CHAPITRE 5. ESPÉRANCES CONDITIONNELLES

Application au prix d’une option européennes

Rappelons que pour tout p ∈ [0, 1], la marche de Wiener W^{(p)} := (W_{t}^{(p)})_{t∈[0..T]} est définie à partir de la marche δW^{(p)} := (δW_{t}^{(p)})_{t∈[0..T]} par la relation (3.2). Les v.a. δW_{t} sont indépendantes, identiquement distribuées, avec Pr \{δW_{t}^{(p)} = +\sqrt{δt}\} = p et Pr \{δW_{t}^{(p)} = −\sqrt{δt}\} = 1 − p. L’objet de ce chapitre est de pousser la formalisation (ou mise en formules) du chapitre 4.2 qui nous a conduit à considérer la probabilité de calcul p^{∗}, et monter notamment que le prix Π_{t} du portefeuille de couverture n’est autre que

Π_{t} = 𝔼_{t} (φ (S_{T}^{(p^{∗})})) ,

et d’en déduire une preuve du théorème 4.1. Avec une bonne compréhension du sens de l’espérance conditionnelle, le résultat suivant doit être évident, et il est la clé du calcul des espérances conditionnées par la marche de Wiener :

Proposition 6.1 Pour tout p ∈ [0, 1] et tout t ∈]0..T]_{δt} on a

𝔼_{t−δt} (δW_{t}^{(p)}) = 𝔼 δW_{t}^{(p)}.  (6.1)

En particulier pour la probabilité de calcul p^{∗} = \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt},

𝔼_{t−δt}^{∗}(δW_{t}) := 𝔼_{t−δt}(δW_{t}^{∗}) := 𝔼_{t−δt} (δW_{t}^{(p^{∗})}) = −\frac{μ}{σ}δt.  (6.2)

6.1 Couverture dynamique et espérance conditionnelle

Au chapitre 4.2 nous avons expliqué pour toute marche binaire

S_{t}(ω) = S_{t−δt}(ω)(1 + μδt ± σ\sqrt{δt}) =: S_{t−δt}^{±}(ω)

comment couvrir une option européenne φ(S_{T}). Nous avons noté Π(t, S) la valeur du portefeuille de couverture, en fonction de la date t et la valeur la valeur S = S_{t}(ω) de l’action à cette date. L’idée même de portefeuille de couverture d’un option européenne veut que

Π(T, S_{T} (ω)) = φ(S_{T} (ω)).  (6.3)

Nous avons vu que la valeur du portefeuille de couverture satisfait la relation de récurrence descendante sur t ∈]0..T]_{δt}.

Π(t − δt, S_{t−δt}(ω)) = p^{+}Π(t, S_{t−δt}^{+}(ω)) + p^{−}Π(t, S_{t−δt}^{−}(ω)) ,  (6.4)

avec p^{±} = (\frac{1}{2} ∓ \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}) .

C’est ce qui nous a conduit à considérer la marche de Wiener boîteuse (W_{t}^{∗}) = (W_{t}^{(p^{∗})}), avec

p^{∗} = Pr \{δW^{(p^{∗})} = +\sqrt{δt}\} = p^{+} = \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}.

En d’autres termes, pour tout t ∈ [0..T], les relations (6.3) et (6.4) définissement par récurrence descendante les variables aléatoires Π_{t},

Π_{t}(ω) := Π (t, S_{t}^{(p^{∗})}(ω)) .

Théorème 6.2 (formule fondamentale de valorisation d’une option) Soit (S_{t}^{∗})_{t∈[0..T]} la marche de Cox-Ross-Rubinstein associée au choix p := p^{∗} = \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt}. On a, pour tout s ∈ [0..T],

Π_{s} = 𝔼_{s}(φ(S_{T}^{∗})).  (6.5)

Preuve : Montrons la formule (6.5) par récurrence descendante sur s ∈ [0..T]. Elle est vraie pour s = T ; en effet, on a

𝔼_{T} (φ(S_{T}))(ω) = 𝔼 [φ(S_{T})/\overline{ω}_{T}] = 𝔼_{\overline{ω}_{T}} (φ(S_{T})|\overline{ω}(ω))
= 𝔼_{\overline{ω}_{T}} φ(S_{T} (ω)) = φ(S_{T} (ω))𝔼_{\overline{ω}_{T}} 1
= φ(S_{T} (ω)) = Π(T, S_{T} (ω)).

Supposons la formule (6.5) vraie pour s = t : pour tout ω ∈ Ω, Π(t, S_{t}(ω)) = 𝔼_{t}(φ(S_{T}))(ω). Vérifions qu’elle est encore vraie pour s = t − δt. Posons \overline{ω}_{t−δt}^{+} = \{α ∈ \overline{ω}_{t−δt} | δW_{t}(α) = +\sqrt{δt}\} et analogue pour \overline{ω}_{t−δt}^{−}. On a

Pr_{\overline{ω}_{t−δt}}(\overline{ω}_{t−δt}^{±}) = Pr \{δW_{t}^{∗} = ±\sqrt{δt}\} = p^{±}.  (6.6)

En effet, par indépendance de δW_{t}^{∗} des δW_{s}^{∗} pour s < t, on a

Pr_{\overline{ω}_{t−δt}}(ω_{t−δt}^{±}) = \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} Pr \{δW_{δt}^{∗} = δW_{δt}^{∗}(ω), …, δW_{t−δt}^{∗} = δW_{t−δt}^{∗}(ω), δW_{t}^{∗} = ±\sqrt{δt}\}

= \frac{Pr \{δW_{δt}^{∗} = δW_{δt}^{∗}(ω), …, δW_{t−δt}^{∗} = δW_{t−δt}^{∗}(ω)\}Pr \{δW_{t}^{∗} = ±\sqrt{δt}\}}{Pr \overline{ω}_{t−δt}}
= Pr \{δW_{t}^{∗} = ±\sqrt{δt}\} = p^{±}.

A présent nous pouvons achever la preuve : soit ω ∈ Ω et reprenons le mécanisme fondamental du couverture exposé au paragraphe 4.2 dont nous reprenons ici les notations, et aboutissant à la formule de couverture (4.9) et de valeur de l’option (4.10). Pour α ∈ \overline{ω}_{t−δt}, posons

S := S_{t−δt}(ω) = S_{t−δt}(α)

puisque α ∈ \overline{ω}_{t−δt}. Si α ∈ \overline{ω}_{t−δt}^{+} on a donc S_{t}(α) = S^{+}, et on a de même S_{t}(α) = S^{−} si α ∈ \overline{ω}_{t−δt}^{−}. Nous avions posé Π^{±} = Π(t, S^{±}) = Π(t, S_{t−δt}(ω)^{±}) = Π(t, S_{t}(α)) si α ∈ \overline{ω}_{t−δt}^{±}. En se souvenant que Π := Π_{t−δt}(ω) = Π_{t−δt}(α) si α ∈ \overline{ω}_{t−δt}, le mécanisme de couverture abouti au calcul élémentaire suivant :

𝔼_{t−δt}(φ(S_{T}))(ω) = 𝔼_{t−δt}(𝔼_{t}(φ(S_{T})))(ω)  par (5.10) ; notez l’introduction du conditionnement !
:= 𝔼[𝔼_{t}(φ(S_{T}) / \overline{ω}_{t−δt}]
= \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}} 𝔼_{t}(φ(S_{T}))(α)pr α

= \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}} Π(t, S_{t}(α))pr α

= \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} ( ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{+}} Π(t, S_{t}(α))pr α + ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{−}} Π(t, S_{t}(α))pr α)

= \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} ( ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{+}} Π(t, S^{+})pr α + ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{−}} Π(t, S^{−})pr α)

= \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} ( ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{+}} Π^{+}pr α + ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{−}} Π^{−}pr α)

= \frac{1}{Pr \overline{ω}_{t−δt}} (Π^{+} ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{+}} pr α + Π^{−} ∑_{α∈\overline{ω}_{t−δt}^{−}} pr α) = Π^{+}Pr \{\overline{ω}_{t−δt}^{+}\} + Π^{−}Pr \{\overline{ω}_{t−δt}^{−}\}

= Π^{+}p^{+} + Π^{−}p^{−}  par (6.6),
= Π_{t−δt}  par (4.10),
:= Π_{t−δt}(ω),

ce qui montre que (6.5) est vrai pour s = t − δt et achève la preuve. □

Notations : On aura compris que la modélisation S de la dynamique du cours de l’action porte uniquement sur le choix des trajectoires possibles de ce cours, déterminé par le choix de μ et σ. Le choix de la probabilité p = p^{∗} n’est pas un choix de modélisation, mais introduit pour avoir la formule (6.5), très commode pour le calcul. Il est d’usage de poser

𝔼_{t}^{∗}(φ(S_{T})) := 𝔼_{t}(φ(S_{T}^{∗})),

qui souligne que la probabilité pour laquelle on considère l’espérance (conditionnelle) est cette probabilité de calcul déterminée par le choix de p^{∗}; la valeur Π_{t}(ω) = Π(t, S_{t}(ω)) est alors une espérance conditionnelle 𝔼_{t}^{∗} pour ce choix de la probabilité.

Corollaire 6.3 La valeur Π_{0} du portefeuille de couverture d’une option européenne de pay-off φ(S) est donnée par

Π_{0} = 𝔼 (φ(S_{T}^{∗})) = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}p_{+}^{j}p_{−}^{n−j}φ(S_{0}u_{+}^{j}u_{−}^{n−j}).  (6.7)

6.2 Application : le formule de Cox, Ross, et Rubinstein

Notations : On pose

Φ(a, n, p) := ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p^{j}(1 − p)^{n−j}.

Théorème 6.4 (formule de Cox-Ross-Rubinstein)

Posons p^{∗} := p_{+} := \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt} et q^{∗} = p_{+}u_{+} = p^{∗}(1 + μδt + σ\sqrt{δt}). Soit

a := Min { j ∈ ℕ | S_{0}u_{−}^{j}u_{+}^{n−j} > K }.

On note C_{0} le prix Π_{0} du portefeuille de couverture d’une option call européenne. On a

C_{0} := 𝔼 (S_{T} − K)^{+} = S_{0}Φ(a, n, q^{∗}) − KΦ(a, n, p^{∗}).  (6.8)

Preuve : Observons que, du fait de la relation de martingale (4.12)

S = p_{+}S^{+} + p_{−}S^{−} = p_{+}Su_{+} + p_{−}Su_{−},

on a 1 = p_{+}u_{+} + p_{−}u_{−}, et donc 1 − q^{∗} = 1 − p_{+}u_{+} = p_{−}u_{−}. A présent, par (6.7), on a

C_{0} = 𝔼 (S_{T}^{∗} − K)^{+} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}p^{∗j}(1 − p^{∗})^{n−j}(S_{0}u_{+}^{j}u_{−}^{n−j} − K)^{+}

= ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p_{+}^{j}p_{−}^{n−j}(S_{0}u_{+}^{j}u_{−}^{n−j} − K)

= S_{0} ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}(u_{+}p_{+})^{j}(u_{−}p_{−})^{n−j} − K ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p_{+}^{j}p_{−}^{n−j}

= S_{0} ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}q^{∗j}(1 − q^{∗})^{n−j} − K ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p^{∗j}(1 − p^{∗})^{n−j}
= S_{0}Φ(a, n, q^{∗}) − KΦ(a, n, p^{∗})
□

6.3 Vers la formule de Black et Scholes

Nous souhaitons à présent trouver une estimation de C_{0} lorsque n est grand. Voici un résultat qui nous sera utile. Soulignons qu’il s’agit d’une égalité et non d’une approximation entre une somme finie et une intégrale, d’où le nom de “formule magique” que nous lui avons donné. Il s’agit d’une intégrale eulerienne de première espèce^{1} (fonction Beta incomplète). Proposition 6.5 (formule magique) On a

Φ(a, n, p) := ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p^{j}(1 − p)^{n−j} = a\binom{n}{a} ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt.  (6.9)

Preuve : Posons Φ(a) := a\binom{n}{a} ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1−t)^{n−a}dt. On montre la proposition par récurrence descendante.

– Pour a = n, on a Φ(n) = n\binom{n}{n} ∫_{0}^{p} t^{n−1}dt = [t^{n}]_{t=0}^{p} = p = Φ(n, n, p, 1).

– Soit a < n et supposons la formule (6.9) vraie pour a + 1. Notons que

a\binom{n}{a}\frac{n − a}{a} = \frac{n !}{a !(n − a) !}(n − a) = (a + 1)\frac{n !}{(a + 1) !(n − (a + 1)) !} = (a + 1)\binom{n}{a + 1}.

A présent, en intégrant par parties, on a

Φ(a) = a\binom{n}{a} ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt
= a\binom{n}{a} ([t^{a}(1 − t)^{n−a}]_{t=0}^{t=p} + \frac{n − a}{a} ∫_{0}^{p} t^{(a+1)−1}(1 − t)^{n−(a+1)}dt)
= a\binom{n}{a}p^{a}(1 − p)^{n−a} + (a + 1)\binom{n}{a + 1} ∫_{0}^{p} t^{(a+1)−1}(1 − t)^{n−(a+1)}dt
= a\binom{n}{a}p^{a}(1 − p)^{n−a} + Φ(a + 1)

= a\binom{n}{a}p^{a}(1 − p)^{n−a} + ∑_{j=a+1}^{n} \binom{n}{j}p^{j}(1 − p)^{n−j} par hypothèse de récurrence

= ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p^{j}(1 − p)^{n−j}. □

1Les intégrale euleriennes de seconde espèce font intervenir la fonction exponentielle, et débouchent, elles, sur la fonction gamma : Γ(x) := ∫_{0}^{+∞} t^{x−1}e^{−t}dt. Une intégration par partie montre facilement que xΓ(x) = Γ(x + 1), et Γ(1) = 1, d’où Γ(n) = (n−1) ! . Nous somme reconnaissant à Adri Olde-Daalhuis de l’université d’Edinbourg d’avoir attiré notre attention sur le parti qui peut être tiré des intégrale euleriennes de première espèce pour le calcul asymptotique.

La formule de Black et Scholes

Au chapitre précédent, nous avons vu, qu’étant donné une discrétisation de [0, T] en n intervalles de longueur égale δt, comment calculer la valeur Π_{0}^{(n)} d’une option européenne. Dans le cas particulier d’une option call, caractérisée par un pay-off φ(S_{T}) = (S_{T} − K)^{+}, cette valeur C_{0}^{(n)} est donnée par la formule de Cox-Ross-Rubinstein (6.2)

C_{0}^{(n)} = 𝔼 (S_{T} − K)^{+} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j}p_{+}^{j}p_{−}^{n−j}(S_{0}u_{+}^{j}u_{−}^{n−j} − K)^{+} = S_{0}Φ(a, n, q^{∗}) − KΦ(a, n, p^{∗}),  (7.1)

avec

a := Min \{ j ∈ ℕ | S_{0}u_{+}^{j}u_{−}^{n−j} > K \} =: [J] + 1 où J est défini par S_{0} (\frac{u_{+}}{u_{−}} )^{J} u_{−}^{n} = K,

u_{±} = 1 ± σ\sqrt{δt} + μδt

p^{∗} := p_{+} := \frac{1}{2} − \frac{μ}{2σ} \sqrt{δt} , q^{∗} = p_{+}u_{+} = p^{∗}(1 + μδt + σ\sqrt{δt}) = \frac{1}{2} + \frac{σ^{2} − μ}{2σ}\sqrt{δt} + 0δt + \frac{μ^{2}}{2σ} δt\sqrt{δt} ,

et Φ(a, n, p) := ∑_{j=a}^{n} \binom{n}{j}p^{j}(1 − p)^{n−j} = a\binom{n}{a} ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt,  (7.2)

compte tenu de la formule magique (6.9).

Il paraît souvent raisonable de penser que le modèle de Cox, Ross, et Rubinstein est plus pertinent pour les grandes valeurs de n. Dans ce cas, une approximation naturelle de C_{0}^{(n)} est donnée par la limite C_{0}^{∗} := lim_{n→∞} C_{0}^{(n)}.

Théorème 7.1 (Formule de Black-Scholes) On pose N (x) := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{x} e^{− \frac{1}{2} ξ^{2}}dξ,

d_{+} := \frac{ln(S_{0}/K) + σ^{2}T/2}{σ\sqrt{T}} , et d_{−} := \frac{ln(S_{0}/K) − σ^{2}T/2}{σ\sqrt{T}} = d_{+} − σ\sqrt{T} .

La limite C_{0}^{∗} := lim_{n→∞} C_{0}^{(n)} du prix du portefeuille de couverture d’une option call européenne est donnée par la formule

C_{0}^{∗} = S_{0}N (d_{+}) − KN (d_{−}).  (7.3)

Notons que C_{0}^{∗} ne dépend pas de la valeur de μ, ce qui fait dire aux financiers que ce qui se négocie sur le marché des options, c’est de la volatilité ! Ceci peut se comprendre en termes économiques par la remarque que ce qui s’échange dans une option, c’est du risque, et que ce risque est mesuré par le terme aléatoire ±σ\sqrt{δt}, c’est-à-dire par σ. Ceci n’explique toutefois pas entièrement la disparition de μ; en effet, selon la formule de Black et Scholes, il n’y aurait aucun risque attaché à une erreur de modèle qui serait issue, pour les calculs, d’une mauvaise estimation de la valeur du paramètre μ. En fait, cette disparition est liée au fait que C_{0}^{∗} est une approximation de C_{0}^{(n)} obtenue par passage à la limite sur n. Néanmoins, l’influence de la valeur de μ est petite devant celle de σ, et on peut voir là une explication du succès du marché des produits financiers dérivés sur lequel la dynamique “hors risque” des entreprises côtées, mesurée par μ et difficile à déterminer, joue un rôle secondaire. Une question serait de savoir si la présence du marché des dérivés a permi de mieux contrôler la dynamique de σ (supposée constante dans la théorie Black-Cox-Ross-Rubinstein-Scholes abordée ici).

Observons que le modèle CRR est fondé sur le choix u_{±} = 1 ± σ\sqrt{δt} + μδt = 1 ± \frac{σ\sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{μT}{n}. Donc,

quitte à remplacer σ par σ\sqrt{T} et μ par μT, on peut, pour la preuve, supposer que T = 1.

Au vu des formule (7.1) et (7.2), on comprend que le calcul de la limite C_{0}^{(n)} peut se ramener à l’étude de l’asymptotique de a := a^{(n)}, \binom{n}{a} := \binom{n}{a^{(n)}}, et de I(a, p) := I^{(n)}(a^{(n)}, p^{(n)}) := ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt, pour p := p^{∗(n)} et q := q^{∗(n)} à laquelle sera consacré l’essentiel de ce chapitre.

7.1 Rappels d’asymptotique infinitésimale

A noter que, lorsque n tend vers l’infini, a = a^{(n)} tend vers l’infini, ainsi que \binom{n}{a} = \binom{n}{a^{(n)}}, alors que I(a, p) = I^{(n)}(a^{(n)}, p^{(n)}) tend vers 0. L’asymptotique ne se borne pas à calculer des limites, elle s’intéresse à la manière de s’approcher de cette limite, “comme” cn, c\sqrt{n}, c/\sqrt{n}, ou c/n par exemple. Classiquement, ceci se fait en introduisant des fonctions o(n), o(\sqrt{n}), o(1/\sqrt{n}), ou o(1/n) pour résumer le terme d’erreur, et ε(n) pour représenter ce qui tend vers zéro.

Ici, nous allons utiliser les méthodes des l’analyse infinitésimale (formalisée), qui découlent de l’Analyse Non Standard (ANS), une théorie mathématique sophistiquée branche de la Logique Mathématique. L’analyse infinitésimale cherche avant tout à tirer de l’ANS une notion primitive d’ordre de grandeur sur les nombre, qui n’existe dans les mathématiques traditionnelles que par l’introduction, à la place des nombres, de fonctions d’un ou plusieurs paramètres, ici n. Elle atteint ce résultat par l’introducion d’un mot : standard^{1}. L’application de l’analyse infinitésimale peut alors supposer standard tous les paramètre libres du problème : ici S_{0}, K, μ, σ, et T. On fixe alors n à une valeur i-grande, ce qui fixe également les valeurs de a, p^{∗}, etc … d’où l’allègement de l’écriture que nous avons adoptée. Comme S_{0}N (d_{+}) − KN (d_{−}) est standard (voyez-vous pourquoi ?), il convient de montrer que C_{0} − C_{0}^{∗} est i-petit.

Bien des résultats de l’analyse infinitésimale se traduisent immédiatement en équivalent classique et réciproquement ; nous les appelons des résultats d’analyse infinitésimale élémentaires. D’autres n’ont pas d’équivalent classique, non que ceux-ci ne peuvent pas exister, mais ils perdent alors leur simplicité^{2}.

Voici les résultats d’analyse infinitésimale élémentaire que nous allons utiliser. Rappelons qu’un nombre réel peut être i-petit (o /), limité (£), ou i-grand. S’il est limité et non i-petit, il est dit appréciable (@@)^{3}. Tout réel standard est limité(2 + \frac{1}{n} montre que la réciproque est fausse) et 0 est le seul réel standard i-petit ; les autres réels standard sont donc appréciable. On a

o / + o / = o / ; o /£ = o / ; \frac{o /}{@@} = o / ;

Si ε est i-petit, alors

\frac{1}{1 + ε} = 1 − ε(1 + o /) ; ln(1 + ε) = ε + ε^{2} (−\frac{1}{2} + o /) = ε (1 − \frac{ε}{2} + εo /) = ε(1 + o /).

Si N est i-grand et x limité, alors

(1 + \frac{x}{N} )^{N} = e^{x}(1 + o /) ;

e^{x+o /} = e^{x}eo / = e^{x}(1 + o /) ;

N ! = N^{N}e^{−N} \sqrt{2π}\sqrt{N}(1 + o /) (Formule de Stirling^{4})

Voici un résultat d’analyse infinitésimale non élémentaire :

1Essentiellement, une quantité sera standard dès lors qu’elle est indépendante de toute valeur d’un paramètre caché, comme l’est tout objet des mathématiques defini de manière unique : 0, 1, ℕ, ℝ, +, ∗, exp sont standard, mais tout ensemble infini contient nécessairement des éléments non-standard. Dans ℕ ces éléments non-standard se regroupent : ils sont tous plus grands que les éléments standard ; ceci permet de les choisir pour définir la notion d’infiniment grand (i-grand). Si n est i-grand, 1/n est i-petit ; 2 est standard car 2 = 1 + 1, mais 2 + \frac{1}{n} ne l’est pas, sinon n = 1/(2 + \frac{1}{n} − 2) le serait. De façon générale x est i-petit si et seulement si |x| ≤ \frac{1}{m} pour tout entier m standard.

2mais ceci est bien-entendu une affaire de goût.

3Les symboles o /, £, et @@ du calcul de Van den Berg représentent, dans un calcul, les nombres dont on sait que seul leur ordre de grandeur sera utile dans la suite du calcul. Deux occurences distinctes de chacun de ces symboles ne représentent généralement pas le même nombre. Ainsi généralement o / − o / ≠ 0, puisque par exemple \frac{3}{n} − \frac{2}{n} (= \frac{1}{n}) ≠ 0.

4si N n’est pas entier, remplacer N ! par Γ(N − 1).

Proposition 7.2 Soit Y_{−} i-grand négatif, b limité, et B ≃ b standard. Supposons qu’il existe des fonctions standard F_{0} et ϕ, définies sur ℝ, intégrables sur toute demi-droite ] − ∞, β], telles que

1. F (Y) ≃ F_{0}(Y) pour tout Y limité du domaine de F,

2. |F (Y)| ≤ ϕ(Y) pour tout Y i-grand du domaine de F. Alors

∫_{Y_{−}}^{b} F (Y)dY = ∫_{−∞}^{B} F_{0}(Y)dY + o / .

7.2 Calcul asymptotique

Dans cette section nous allons calculer une asymptotique des trois quantités a, \binom{n}{a}, et I(a, p) := ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt dans trois lemmes.

7.2.1 Asymptotique de a

Lemme 7.3

a = \frac{n}{2} + \sqrt{n}(A + o /) avec A = −\frac{ln(S_{0}/K) + μ − \frac{σ^{2}}{2}}{2σ} .  (7.4)

Preuve : Comme a = [J] + 1, avec S_{0} (\frac{u_{+}}{u_{−}} )^{J} u_{−}^{n} = K, on a

J = ln \frac{K}{S_{0}u_{−}^{n}} /(ln(u_{+}) − ln(u_{−}))
= (l − ln u_{−})/(ln(u_{+}) − ln(u_{−}))

avec l := ln(K/S_{0}) = − ln(S_{0}/K). Or

ln u_{±} = ln(1 ± σ\sqrt{δt} + μδt) = ln(1 + \sqrt{δt}(±σ + μ\sqrt{δt}))
= \sqrt{δt}(±σ + μ\sqrt{δt}) + δt(±σ + μ\sqrt{δt})^{2} (−\frac{1}{2} + o /)
= ±σ\sqrt{δt} + (μ − \frac{σ^{2}}{2} + o /) δt

puisque μ et σ sont standard donc limités ; d’où

\frac{1}{ln(u_{+}) − ln(u_{−})} = \frac{1}{2σ\sqrt{δt} + o /δt} = \frac{1}{\sqrt{δt}} \frac{1}{2σ (1 + \frac{o /}{2σ} \sqrt{δt})} = \frac{1}{\sqrt{δt}} \frac{1}{2σ} (1 + o /\sqrt{δt}) = \frac{1}{\sqrt{δt}} \frac{1}{2σ} + o /.

Utilisons à présent que nδt = T = 1 ; on a −n ln(u_{−}) = +σ\sqrt{n} − (μ − \frac{σ^{2}}{2} + o /), d’où

J = (σ\sqrt{δt} + l − μ + \frac{σ^{2}}{2} + o /)(\sqrt{δt}\frac{1}{2σ} + o /)
= \frac{σn}{2σ} + \sqrt{δt} (\frac{l − μ}{2σ} + \frac{σ}{4} + \frac{o /}{2σ} + o /σ + o / (l − μ + \frac{σ^{2}}{2} + o /))
= \frac{n}{2} + \sqrt{n}M , avec

M ≃ \frac{l − μ}{2σ} + \frac{σ}{4} = −\frac{ln(S_{0}/K) + μ − \frac{σ^{2}}{2}}{2σ} =: A.

Donc, comme a = [J] + 1 = J + α, avec α ∈]0, 1], et comme M = A + o /,

a = J + α = \frac{n}{2} + \sqrt{n}M + \sqrt{n}α = \frac{n}{2} + \sqrt{n}(M + o /) = \frac{n}{2} + \sqrt{n}(A + o /).

□

7.2.2 Asymptotique de \binom{n}{a}

Lemme 7.4

\binom{n}{a} = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} \frac{2^{n}}{\sqrt{n}}e^{−2A^{2}}(1 + o /).  (7.5)

Preuve : Posons n = 2m et a = m + L = m + \sqrt{2m}M, c’est-à-dire L = \sqrt{2m}M, avec M = A + o /, avec

A défini dans le lemme 7.3. Par la formule de Stirling, et en remarquant que \frac{1+o /}{(1+o /)(1+o /)} = 1 + o /, on a

\binom{n}{a} = \frac{(2m)^{2m}e^{−2m}\sqrt{2π}\sqrt{2m}}{(m + L)^{m+L}e^{−(m+L)}\sqrt{2π}\sqrt{m + L}(m − L)^{m−L}e^{−(m−L)}\sqrt{2π}\sqrt{m − L}}(1 + o /)

= \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{2^{2m}m^{2m}}{((m + L)(m − L))^{m}} (\frac{m − L}{m + L})^{L} \sqrt{\frac{2m}{(m + L)(m − L)}}(1 + o /)

= \frac{4^{m}}{\sqrt{2π}} \frac{m^{2m}}{m^{2m} (1 − \frac{L^{2}}{m^{2}} )^{m}} (\frac{1 − \frac{L}{m}}{1 + \frac{L}{m}} )^{L} \frac{\sqrt{2}\sqrt{m}}{m\sqrt{1 − \frac{L^{2}}{m^{2}}}} (1 + o /)

et comme L = \sqrt{2m}M

= \frac{4^{m}}{\sqrt{π}} \frac{1}{(1 − \frac{2M^{2}}{m} )^{m}} (\frac{1 − \frac{\sqrt{2}M}{\sqrt{m}}}{1 + \frac{\sqrt{2}M}{\sqrt{m}}} )^{\sqrt{m}\sqrt{2}M} \frac{1}{\sqrt{m}} \frac{1}{\sqrt{1 − \frac{2M^{2}}{m}}} (1 + o /)

= \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{4^{m}}{\sqrt{m}} \frac{1}{e^{−2M^{2}}(1 + o /)} (\frac{e^{−\sqrt{2}M}(1 + o /)}{e^{+\sqrt{2}M}(1 + o /)})^{\sqrt{2}M} \frac{1}{1 + o /}(1 + o /)
= \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{4^{m}}{\sqrt{m}}e^{+2M^{2}}e^{−(2\sqrt{2}M^{2})\sqrt{2}M}(1 + o /)
= \frac{1}{\sqrt{π}} \frac{4^{m}}{\sqrt{m}}e^{−2M^{2}}(1 + o /) = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} \frac{2^{n}}{\sqrt{n}}e^{−2A^{2}}(1 + o /),

puisque e^{−2M^{2}} = e^{−2(A+o /)^{2}} = e^{−2A^{2}+o /} = e^{−2A^{2}}(1 + o /). □

7.2.3 Asymptotique de I(a, p) := ∫_{0}^{p} t^{a−1}(1 − t)^{n−a}dt

Lemme 7.5 Pour p = \frac{1}{2} + \sqrt{δt}(B + o /) avec B standard, on a

I(a, p) := ∫_{0}^{p} y^{a−1}(1 − y)^{n−a}dy = \frac{2^{−n}}{\sqrt{n}} (∫_{−∞}^{B} 2e^{−2Y^{2}+4AY} dY + o /) .  (7.6)

Preuve : Posons une nouvelle fois n = 2m et a = m + L; on a donc

L − 1 = \sqrt{2m}(A + o /) − \sqrt{2m}/\sqrt{2m} = \sqrt{2m}(A + o /).

A présent

I(a, p) := ∫_{0}^{p} y^{m+L−1}(1 − y)^{m−L}dy = ∫ (y(1 − y))^{m} (\frac{y}{1 − y} )^{L−1} \frac{dy}{1 − y} .

La présence du terme (y(1−y))^{m} = e^{mh(y)}, où h(y) := ln(y(1−y)) présente un maximum au point y_{0} = \frac{1}{2} nous conduit à appliquer la méthode de Laplace, qui consiste à faire une loupe au tour du maximum de h, et, plus précisément, à poser

y = y_{0} + Y/\sqrt{2m}.

On a donc y = \frac{1}{2} + Y/\sqrt{2m}; dy = dY/\sqrt{2m}; y(1 − y) = (\frac{1}{2} + \frac{Y}{\sqrt{2m}}) (\frac{1}{2} − \frac{Y}{\sqrt{2m}}) = 2^{−2} (1 − \frac{2Y^{2}}{m} );

\frac{y}{1 − y} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{Y}{\sqrt{2m}}}{\frac{1}{2} − \frac{Y}{\sqrt{2m}}} = \frac{1 + \frac{2Y}{\sqrt{2m}}}{1 − \frac{2Y}{\sqrt{2m}}} ; \frac{1}{1 − y} = \frac{2}{1 − \frac{2Y}{\sqrt{2m}}} .

Enfin y = 0 si et seulement si Y = −\frac{\sqrt{2m}}{2} =: Y_{−} qui est i-grand négatif, et y = p = \frac{1}{2} + \sqrt{δt}b si et seulement si Y = \sqrt{2m}\sqrt{δt}b = b puisque 2mδt = T = 1. Ainsi

I(a, p) = ∫_{0}^{p} e^{m ln(y(1−y))} (\frac{y}{1 − y} )^{\sqrt{2m}(A+o /)} dy = \frac{2^{−2m+1}}{\sqrt{2m}} ∫_{Y_{−}}^{b} e^{H(Y)}G(Y)dY , avec

H(Y) = m ln (1 − \frac{2Y^{2}}{m} ) , et G(Y) = (\frac{1 + \frac{2Y}{\sqrt{2m}}}{1 − \frac{2Y}{\sqrt{2m}}} )^{\sqrt{2m}(A+o /)} \frac{1}{1 − \frac{2Y}{\sqrt{2m}}} .

Nous observons que tant que Y est limité, on a ln(1 − 2Y^{2}/m) = −\frac{2Y^{2}}{m} (1 + o /),

H(Y) = m (\frac{1}{m}(−2Y^{2} + o /)) = −2Y^{2} + o / , et G(Y) = \frac{e^{2Y} (1 + o /)}{e^{−2Y} (1 + o /)} \frac{1}{1 + o /} = e^{4Y} (1 + o /),

et lorsque Y est i-grand et contenu dans le domaine d’intégration, donc négatif, on a 0 < G(Y) ≤ 1 et, comme ln(1 + u) ≤ u, 0 ≤ H(Y) ≤ −2Y^{2}. Nous pouvons donc appliquer la proposition 7.2 avec F (Y) := e^{H(Y)}G(Y), F_{0}(Y) := e^{−2Y^{2}+4Y}, et ϕ(Y) = e^{−2Y^{2}} et obtenons

I(a, p) = \frac{2^{−n}}{\sqrt{n}} (∫_{−∞}^{B} 2e^{−2Y^{2}+4Y} dY + o /) .

□

7.3 Preuve de la formule de Black et Scholes

Pour prouver la formule de Black et Scholes, il suffit à présent d’appliquer les formules (7.4), (7.5), et (7.6) :

Preuve : (de la formule de Black et Scholes (7.1)) Appliquons la formule magique (6.9) à la formule de Cox-Ross-Rubinstein (6.8) ; on a, en remarquant que a = \frac{n}{2} + \sqrt{n}(A + o /) = \frac{n}{2}(1 + o /),

C_{0}^{(n)} = S_{0}Φ(a, n, q^{∗}) − KΦ(a, n, p^{∗})
= a\binom{n}{a} [S_{0}I (a, \frac{1}{2} + \sqrt{δt} (\frac{σ^{2} − μ}{2σ} + o /)) − KI (a, \frac{1}{2} + \sqrt{δt} (\frac{−μ}{2σ}))]

= \frac{n}{2}(1 + o /)\begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} \frac{2^{n}}{\sqrt{n}}e^{−2A^{2}}(1 + o /)\frac{2^{−n}}{\sqrt{n}} ×  avec A = −\frac{ln(S_{0}/K) + μ − \frac{σ^{2}}{2}}{2σ}

× [S_{0} (∫−∞^{\frac{σ^{2}−μ}{2σ}} 2e^{−2Y^{2}+4AY} dY + o /) − K (∫−∞^{\frac{−μ}{2σ}} 2e^{−2Y^{2}+4AY} dY + o /)]

= \frac{1}{\sqrt{2π}} (1 + o /) [S_{0} (∫−∞^{\frac{σ^{2}−μ}{2σ}} 2e^{−2Y^{2}+4AY −2A^{2}}dY + o /) − K (∫−∞^{\frac{−μ}{2σ}} 2e^{−2Y^{2}+4AY −2A^{2}}dY + o /)]

= [S_{0} \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{\frac{σ^{2}−μ}{σ} −2A} φ(y)dy − K \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−∞}^{\frac{−μ}{σ} −2A} φ(y)dy + o /] (1 + o /)

avec e^{−2Y^{2}+4AY −2A^{2}} = e^{−2(Y −A)^{2}} = e^{− \frac{y^{2}}{2}} =: φ(y), où y := 2(Y − A)

≃ S_{0}N (d_{+}) − KN (d_{−}),

puisque, pour T = 1, \frac{σ^{2}−μ}{σ} −2A = \frac{σ^{2}−μ}{σ} +2^{\frac{ln(S_{0}/K)+μ− \frac{σ^{2}}{2}}{2σ}} = d_{+}, et \frac{−μ}{σ} −2A = \frac{−μ}{σ} +2^{\frac{ln(S_{0}/K)+μ− \frac{σ^{2}}{2}}{2σ}} = d_{−} . □