Enseigner l’analyse avec des ordres de grandeur

Marc Diener

mai 1997

1 Introduction

L’objet de cet article est de rendre compte d’une expérience en cours à l’Université de Nice [4, 6, 7] d’enseignement de l’analyse en utilisant les infinitésimaux de la version axiomatique de l’analyse Non Standard (ANS) telle qu’elle a été introduite par E. Nelson [11]. Il s’agit d’un enseignement adressé à des étudiants en mathématiques qui se destinent à appliquer leur savoir-faire à l’Economie, une science dont on s’accorde à penser qu’elle peut énormément gagner à une plus grande mathématisation.

On sait combien les mathématiques en général et les infinitésimaux en particulier ont été utiles à la Physique. Une des raisons tient là à la notion d’ordre de grandeur, conduisant à des études tantôt à l’échelle microscopique, tantôt à l’échelle macroscopique, avec chacunes leurs approximations acceptables spécifiques. Nous retrouvons de telles situations en Economie : au plan microscopique nous trouvons des réalités telles que des agents économiques (consommateurs, firmes) dont le grand nombre donne une réalité macroscopique spécifique ; autre exemple : les cotations en bourse s’effectuent en temps discret (les agences communiquent l’actualisation des cours toutes les huit secondes) dont le grand nombre rend applicable voir pratiquement indispensable l’utilisation d’un modèle continu pour maîtriser cette multitude. Mais tout comme en Physique, l’élaboration des modèles nouveaux et la confiance ou la méfiance qu’il convient de leur accorder ne peut venir, dans une longue période de validation tout au moins, que d’une maitrise conceptuelle simultanée du modèle microscopique souvent discret et de son intégration en un modèle macroscopique éventuellement continu. C’est dans cette maîtrise conceptuelle que nous pensons que l’ANS peut jouer un rôle capital. Elle permet d’effectuer le passage du microscopique au macroscopique dans un cadre formel bien défini, où la notion d’ordre de grandeur est un concept fondamental, et non dans un cadre heuristique dont la maitrise relève d’un art difficile à transmettre ou automatiser.

Ces lignes ne donneront qu’un reflet de l’expérience dans les deux premières années d’université (le Diplôme d’Etudes Universitaires Générales) où il est indispensable d’assoir les outils du calcul différentiel et intégral sur ℝ ou ℝ^{n} ; indiquons que nous utilisons ensuite la familiarité des étudiants avec les ordres de grandeur, les loupes, ou les liens de l’intégrale d’une fonction standard avec des sommes de Riemann, pour, par exemple, leur permettre de comprendre, dès la troisième année (en Licence) le lien entre les processus stochastiques binômiaux qui s’introduisent de façon naturelle dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein de couverture “au jour le jour" d’une option call européenne, et la formule de Black-Scholes d’évaluation du prix d’une telle option. Nous obtenons ce résultat grČce à un travail de pionnier de I. van den Berg [2], sans avoir à affronter l’abstraction des processus en temps continu et leurs prérequis, généralement réservés à un public bien plus avancé dans l’étude des mathématiques. Par ailleurs, la preuve et l’évaluation des limites de la pertinence économique de ces processus en temps continu ne pourra que profiter de la compréhension mathématique du lien entre modèle discret infinitésimal et modèle macroscopique continu : un chantier parmi d’autres auxquels nous préparons nos meilleurs étudiants.

Nous commencerons par un exposé exhaustif des définitions et propriétés des ordres de grandeur qui sont précisément, à notre sens, la raison d’introduire de l’ANS dans l’enseignement. Puis nous donnerons, sur des exemples cette fois, quelques concepts ou résultats qui nous ont paru être particulièrement significatifs d’une approche de l’analyse élémentaire au moyen d’infinitésimaux.

2 Ordres de grandeur

2.1 Ordres de grandeur dans ℝ

Rappelons qu’un réel r est dit limité (en abrégé lmt) s’il existe un entier standard n tel que |r| ≤ n. Il est dit i-petit (se prononce aussi “infiniment petit", en notation abrégée ip) si et seulement si pour tout entier standard n > 0, on a |r| < 1/n. Il est dit i-grand (se prononce aussi “infiniment grand", en notation abrégée ig) s’il n’est pas limité. Il est dit appréciable (en abrégé app) s’il n’est ni i-grand ni i-petit. On appelle ordre de grandeur l’un des quatre attribus i-petit, limité, appréciable, et i-grand.

Il suffit de savoir que la somme et le produit de deux standard est standard et que l’inverse d’un standard est standard pour établir les règles de Leibniz donnant dans bien des cas l’ordre de grandeur de la somme, différence, produit, ou quotient de réels, en fonctions de la connaissance de leur propre ordre de grandeur. On a ainsi les “tables d’opérations" sur les ordres de grandeur suivant :

\begin{matrix}ip & ip & & & ± \\ lmt & lmt & lmt \\ app & app & lmt & lmt \\ ig & ig & ig & ig & ? \\ ± & ip & lmt & app & ig \end{matrix}  \begin{matrix}ip & ip & & & × \\ lmt & ip & lmt \\ app & ip & lmt & app \\ ig & ? & ? & ig & ig \\ × & ip & lmt & app & ig \end{matrix}

\begin{matrix}ip & ? & ? & ip & ip \\ lmt & ? & ? & lmt & ip \\ app & ig & ? & app & ip \\ ig & ig & ig & ig & ? \\ ↑ / → & ip & lmt & app & ig \end{matrix}

Finalement, on dit que r est i-voisin de s (se prononce aussi “infiniment voisin", et se note r ≃ s) si et seulement si r − s est i-petit.

Proposition 1 Soit B un ensemble borné (interne) de nombres réels de même ordre de grandeur. Alors SupB et InfB sont également de cet ordre de grandeur.

Preuve : Il suffit de remarquer que par définition de SupB et de InfB, il existe des éléments β^{+} ∈ B et β^{−} ∈ B tels que β^{+} ≃ SupB et β^{−} ≃ InfB. Les règles de Leibniz montrent alors que deux nombres i-voisins quelconques sont du même ordre de grandeur. □

Les réels d’un même ordre de grandeur ne sauraient former un ensemble interne, c’est-à-dire un ensemble définissable sans l’usage du prédicat standard ou un de ses dérivés. Mieux : il serait absurde de supposer qu’ils forment un ensemble auquel s’appliquent tous les théorèmes classiques. Ainsi, par exemple, si les i-petit formaient un ensemble interne, comme cet ensemble serait borné (par −1 et +1, par exemple), sa borne supérieure σ > 0 existerait ; comme nous venons de le montrer, elle serait donc i-petite ; mais σ + σ est alors également i-petit et 2σ > σ, ce qui contredit l’hypothèse que σ soit la borne supérieure des réels i-petits. Nous verrons plus bas comment tirer parti de ce résultat en apparence négatif.

Nous avons un résultat très commode de factorisation des ordres de grandeur pour les combinaisons linéaires, ayant éventuellement un nombre i-grand de termes, à coefficients positifs.

Proposition 2 Soit I un ensemble fini d’indices, (p_{i})_{i∈I} un ensemble de nombres positifs ou nuls, et (β_{i})_{i∈I} des réels ayant le même ordre de grandeur, et de même signe si cet ordre de grandeur est ‘appréciable’ ou ‘i-grand’. Alors il existe un réel β de même ordre de grandeur tel que

∑_{i∈I} p_{i}β_{i} = β ∑_{i∈I} p_{i}

Preuve : Posons, pour tout j ∈ I, λ_{j} := p_{j}/ (∑_{i∈I} p_{i}) ≥ 0 ; on a

∑_{j∈I} λ_{j} = ∑_{j∈I} \frac{p_{j}}{∑_{i∈I} p_{i}} = \frac{∑_{j∈I} p_{j}}{∑_{i∈I} p_{i}} = 1.

Posons à présent β := ∑_{j∈I} β_{j}λ_{j} qui est du même ordre de grandeur que les β_{i}, puisque compris entre le plus petit est plus grand des éléments de (β_{i})_{i∈I}. Nous avons maintenant

β ∑_{i∈I} p_{i} = (∑_{j∈I} β_{j}λ_{j}) (∑_{i∈I} p_{i}) = ∑_{j∈I} β_{j} (λ_{j} ∑_{i∈I} p_{i}) = ∑_{j∈I} β_{j} \frac{p_{j}}{∑_{i∈I} p_{i}} ∑_{i∈I} p_{i} = ∑_{j∈I} β_{j}p_{j} .

Nous avons finalement bien ∑_{j∈I} β_{j}p_{j} = β ∑_{i∈I} p_{i}, d’où le résultat annoncé. □

2.2 Le calcul asymptotique de Van den Berg

Dans les calculs, il est parfois inutile d’avoir accès à la valeur exacte d’un nombre : seul son ordre de grandeur sera utile dans la suite du calcul. Ce point de vue a été largement étudié par Van den Berg et Koudjeti [1, 3]. En pratique, cela commence par l’introduction des quatre symboles o/, £, @, ∞ / pour représenter respectivement un i-petit, un limité, un appréciable positif, et un i-grand positif^{1} “générique", ce qui signifie que deux occurences de l’un quelconque de ces symboles ne représentent à priori pas le même réel. Le symbole o/ s’appelle le zérobar de Van den Berg, mais dans un calcul, on prononce respectivement un i-petit, un limité, un appréciable, et un i-grand. Avec ces notations, les règles de Leibniz deviennent :

\begin{matrix}o/ & o/ & & & + \\ £ & £ & £ \\ @ & @ & £ & £ \\ ∞ / & ∞ / & ∞ / & ∞ / & ∞ / \\ + & o/ & £ & @ & ∞ / \end{matrix}  \begin{matrix}o/ & o/ & & & − \\ £ & £ & £ \\ @ & @ & £ & £ \\ ∞ / & ∞ / & ∞ / & ∞ / & ? \\ − & o/ & £ & @ & ∞ / \end{matrix}

\begin{matrix}o/ & o/ & & & × \\ £ & o/ & £ \\ @ & o/ & £ & @ \\ ∞ / & ? & ? & ∞ / & ∞ / \\ × & o/ & £ & @ & ∞ / \end{matrix}  \begin{matrix}o/ & ? & ? & o/ & o/ \\ £ & ? & ? & £ & o/ \\ @ & ∞ / & ? & @ & o/ \\ ∞ / & ∞ / & ∞ / & ∞ / & ? \\ ↑ / → & o/ & £ & @ & ∞ / \end{matrix}

Avec ces notations la proposition 2 prend la forme suivante, très utile dans le calcul asymptotique :

Corollaire 3 Soit I un ensemble fini d’indices, et (p_{i})_{i∈I} un ensemble de nombres positifs ou nuls. On a les quatre identités suivantes :

1En imposant que @ et ∞ / soient posotifs, nous obtenons que @ + @ = @ et ∞ / + ∞ / = ∞ /, alors que app + app = lmt et ig + ig = ? .

1. ∑_{i∈I} p_{i}o / = o /∑_{i∈I} p_{i}

2. ∑_{i∈I} p_{i}£ = £∑_{i∈I} p_{i}

3. ∑_{i∈I} p_{i}@ = @ ∑_{i∈I} p_{i}

4. ∑_{i∈I} p_{i}∞ / = ∞ / ∑_{i∈I} p_{i}

Bien entendu, situé à la droite du symbole ∑_{i∈I} le o/ de chaque p_{i}o/ représente un i-petit a priori distinct pour chaque indice i, et il en va de même pour les autres symboles du calcul asymptotique.

Afin d’éviter les trop grandes confusions avec de vraies variables, nous n’introduisons ces symboles qu’en deuxième année, et encore avec beaucoup de parcimonie à ce moment-là. En revanche, il en est fait un usage intensif en 3ème année, dans les calculs pour les processus stochastiques discrets, où ils constituent la pierre angulaire du calcul.

2.3 Ordres de grandeur dans les espaces normés

Les notions d’ordres de grandeur s’étendent immédiatement aux vecteurs d’un espace normé : un vecteur est dit i-petit si tel est le cas de sa norme ; on définit de même les notions de vecteur limité, appréciable, et i-grand. Par application de l’inégalité triangulaire, la proposition 2 se généralise immédiatement aux i-petits et aux limités des espaces normés.

Deux normes standard sur un espace normé standard sont équivalentes si et seulement si elles déterminent les mêmes ordres de grandeur : voilà bien un résultat qui motive une définition classique bien technique. En voici un énoncé plus précis, et une preuve, en guise d’illustration de raisonnement utilisant à la main des ordres de grandeur.

Proposition 4 Pour deux normes standard quelconques ∥ ∥′ et ∥ ∥′′ sur un même espace standard, les propriétés suivantes sont équivalentes

1. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs i-petits.

2. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs limités.

3. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs appréciables.

4. Les deux normes déterminent les mêmes vecteurs i-grands.

5. Il existe des M ≥ m > 0 tels que pour tout v ∈ E m∥v∥′ ≤ ∥v∥′′ ≤ M∥v∥′.

Preuve : Montrons tout d’abord que (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(iv)⇒(i) ce qui montrera l’équivalence des quatre premières notions.

(i)⇒(ii) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, est limitée. Posons λ := ∥v∥′′ et u := v/λ. On a donc ∥u∥′′ = 1. L’hypothèse (i) implique que ∥u∥′ est non i-petit comme ∥u∥′′. Or ∥u∥′ = ∥v/λ∥′ = ∥v∥′/λ. Donc λ ne peut être i-grand. Donc la norme ∥v∥′′ (= λ) est, elle aussi, limitée.

(ii)⇒(iii) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, est appréciable. Posons λ := ∥v∥′′ et u := v/λ. On a donc ∥u∥′′ = 1. L’hypothèse (ii) implique que ∥v∥′′ est limité comme ∥v∥′. Donc λ ne peut être i-grand. L’hypothèse (ii) implique que ∥u∥′ est limité comme ∥u∥′′. Or ∥u∥′ = ∥v∥′/λ. Donc λ ne peut être i-petit. Donc la norme ∥v∥′′ (= λ) est, elle aussi, appréciable.

(iii)⇒(iv) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, est i-grande. Posons λ := ∥v∥′′ et u := v/λ. On a donc ∥u∥′′ = 1. L’hypothèse (iii) implique que ∥u∥′ est appréciable comme ∥u∥′′. Or ∥u∥′ = ∥v∥′/λ. Donc λ ne peut être limité. Donc la norme ∥v∥′′ (= λ) est, elle aussi, i-grande.

(iv)⇒(i) Soit v un vecteur dont l’une des normes, par exemple ∥v∥′, est i-petite. Posons μ := ∥v∥′ ≃ 0 et w := v/μ. On a donc ∥w∥′ = 1. L’hypothèse (iv) implique que ∥w∥′′ est non i-grand comme ∥w∥′. Or ∥w∥′′ = ∥v∥′′/μ. Donc ∥v∥′′ doit être i-petit puisque μ l’est. En d’autres termes la norme ∥v∥′′ (= λ) est, elle aussi, i-petite.

Montrons à présent que (iii)⇔(v) ce qui achèvera la preuve de la proposition. Observons que la relation 5. de la proposition 4 est toujours vraie si v = 0. Si v ≠ 0, cette relation équivaut à m ≤ ∥v∥′′/∥v∥′ ≤ M. Or ∥v∥′′/∥v∥′ = ∥v/∥v∥′∥′′ = ∥u∥′′, où u = v/∥v∥′. Dire que la relation 5. est vraie pour tout v ∈ E équivaut donc à dire que

Pour tout u ∈ E tel que ∥u∥′ = 1 on a m ≤ ∥u∥′′ ≤ M  (1)

(iii)⇒(v) L’hypothèse (iii) implique que ∥u∥′′ est appréciable dès que ∥u∥′ = 1. Donc (1) est vrai pour tout m i-petit est tout M i-grand. Nous pouvons donc considérer m_{0} := Inf{∥u∥′′ | u ∈ E, ∥u∥′ = 1} et M_{0} := Sup{∥u∥′′ | u ∈ E, ∥u∥′ = 1}. Nous avons vu que m_{0} ne peut être i-petit et M_{0} ne peut être i-grand. Ils sont donc appréciables l’un et l’autre. Il suffit donc de choisir des standard m et M tels que 0 < m ≤ m_{0} ≤ M_{0} ≤ M, par exemple m := ^{o}(m_{0})/2 et M := 2^{o}(M_{0}).

(v)⇒(iii) Il suffit de remarquer que si M ≥ m > 0 sont standard, la relation 4-5 et la relation ∥v∥′′/M ≤ ∥v∥′ ≤ ∥v∥′′/m qui en découle montrent immédiatement que ∥v∥′ est appréciable si et seulement si ∥v∥′′ est appréciable.

□

3 Loupes

Nous pensons que parmi les grands concepts de l’analyse élémentaire (continuité, dérivabilité, intégrabilité), celui qui peut le mieux être compris en premier cycle d’université est celui de dérivée ( ou “différentielle") d’une fonction d’une ou plusieurs variables. En effet, l’acquisition de la maîtrise opératoire (en termes de “calcul formel") a déjà été abondamment entamée par les études du lycée ; cette notion est, à ce stade des études, largement utilisée dans les disciplines parallèles (économie, physique) ; enfin l’algèbre linéaire - le modèle auquel l’analyse tente de raccrocher l’étude des fonctions transcendantes par le biais de la dérivée - est étudiée pour la dernière fois de façon intensive à ce moment-là. Et pourtant, la simple différentielle d’une fonction de deux variable reste un chose mystérieuse pour bien des étudiants de licence.

Pour le Physicien ou l’Economiste, l’échelle de pertinence pratique de notions telles que vitesse instantannée ou taux marginal est fixée, pour chaque situation, par le choix de l’unité : la seconde pour la vitesse d’un train, l’unité pour un objet produit en grande série. Le Mathématicien classique n’a pas de pendant évident ; le Mathématicien non standard dispose, lui, de la notion de loupe : le choix d’un ε > 0 i-petit permet d’introduire une restriction propice du champ d’investigation et, après agrandissement, un distingo^{2} entre appréciable ( ou “significatif") et i-petit ( ou “négligeable"). L’étude “à la loupe" d’objets de la mathématique classique aide , à notre sens, à comprendre la nature de l’information véhiculée par la dérivée ou différentielle. Au plan du calcul formel, elle conduit à des situations pratiques mettant en oeuvre de résultats d’analyse étudiés à un niveau plus élémentaires.

2contraste en apparence très anodin et pourtant profondement présent dans IST, puisqu’il se retrouve de façon très générale dans la différence entre “halo" et “galaxie"

Soit ε > 0 i-petit^{3}. On appelle loupe de grandissement 1/ε centrée au point u_{1} d’un espace normé le changement de variable U ↦ u défini par la relation

u = u_{1} + εU,

que l’on considère pour les U limités. Tout comme en sciences naturelles, l’examen à la loupe d’ensembles est des plus intéressant. Nous nous bornerons ici à l’examen des graphes de fonctions élémentaires w = f(v), et u et U seront donc dans un produit et nous aurons de ce fait u = (v, w) et U = (V, W), les loupes étant centrées en un point u_{1} = (v_{1}, f(v_{1})) du graphe. L’image du graphe de f sous la loupe est un graphe de fonction W = F (V). On dit aussi que F = F_{v_{1},ε} est l’image de f sous cette loupe ; elle est caractérisée par la relation w = f(v) si et seulement si W = F (V), qui donne immédiatement

F (V) := F_{u_{1},ε}(V) := \frac{1}{ε} [f(v_{1} + εV) − f(v_{1})]  (2)

Examinons quelques exemples ; on ne s’intéresse qu’aux V limités. Nous nous bornerons à des exemples où v = x ∈ ℝ et v = (x, y) ∈ ℝ^{2} ; quant aux valeurs w, elles seront réelles.

f_{1}(x) = x^{2} Supposons x_{1} limité. On obtient sans surprise

F_{1}(X) = 2x_{1}X + εX^{2} ≃ 2x_{1}X

Pour X limité, l’image sous la loupe de f_{1} est une fonction F_{1} i-voisine de la fonction linéaire X ↦ 2x_{1}X. Nous dirons que f_{1} ∈ C^{1}(ℝ, ℝ).

f_{2}(x) = sin x Soit x_{1} ∈ ℝ quelconque. On obtient

F_{2}(X) = \frac{1}{ε}[sin(x_{1} + εX) − sin(x_{1})] = \frac{1}{ε}[εX(cos x_{1} + o/] ≃ c_{1}X

avec c_{1} := cos x_{1} ; là encore, pour X limité, F_{2}(X) est i-voisine d’une fonction linéaire.

f_{3}(x) = x^{2} sin \frac{1}{x} si x ≠ 0 et 0 sinon. On a

F_{3}(X) = \frac{x_{1}^{2}}{ε} [sin \frac{1}{x_{1} + εX} − sin \frac{1}{x_{1}} ] + 2x_{1}X sin \frac{1}{x_{1} + εX} − x_{1}^{2} sin \frac{1}{x_{1}}

Si x_{1} ≄ 0 est limité, on obtient, sans surprise,

F_{3}(X) ≃ (2x_{1}s_{1} − c_{1})X,

avec

s_{1} := sin \frac{1}{x_{1}} ∈ [−1, +1] et c_{1} := cos \frac{1}{x_{1}} ∈ [−1, +1].

3Bien entendu, une approche classique de ce qui suit peut se concevoir par l’introduction d’un paramètre ε > 0 “ayant vocation à tendre vers 0. La loupe devient alors “zoom"[15]. Ce qui est “petit" est ce qui va disparaître à la limite. La circonscription du champ d’investigation (ce qui est “limité”) introduit un second paramètre, tel la restriction à une boule de rayon R ou à un compact.

Si x_{1} ≃ 0, pour X limité, on a, F_{3}(X) ≃ \frac{x_{1}^{2}}{ε} [sin \frac{1}{x_{1}+εX} − sin \frac{1}{x_{1}} ]. Pour préciser le comportement de F_{3}, il convient de distinguer des cas selon l’ordre de grandeur de x_{1}^{2}/ε.

Si \frac{x_{1}^{2}}{ε} est i-petit (et en particulier si x_{1} = 0), comme le sinus est limité, on a tout simplement F_{3} ≃ 0 (et en particulier f_{3} est dérivable en zéro de dérivée nulle.)

Si \frac{x_{1}^{2}}{ε} =: ω est i-grand on a \frac{x_{1}}{ω} = \frac{ε}{x_{1}} qui est i-petit puisque x_{1} ≃ 0 et ω est i-grand, donc

\frac{1}{x_{1} + εX} = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{1 + \frac{x_{1}}{ω} X} = \frac{1}{x_{1}} (1 − \frac{x_{1}}{ω} X(1 + o/)) = \frac{1}{x_{1}} − \frac{X}{ω} (1 + o/).

D’où

sin \frac{1}{x_{1} + εX} = sin (\frac{1}{x_{1}} − \frac{X}{ω} (1 + o/)) = sin \frac{1}{x_{1}} − \frac{X}{ω} (1 + o/) (cos \frac{1}{x_{1}} + o/) ,

et finalement

F_{3}(X) ≃ \frac{x_{1}^{2}}{ε} [sin \frac{1}{x_{1} + εX} − sin \frac{1}{x_{1}} ] = −\frac{x_{1}^{2}}{ε} \frac{X}{ω} [cos \frac{1}{x_{1}} + o/] = X(c_{1} + o/) ≃ c_{1}X.

Ici encore F_{3} est i-voisine d’une fonction linéaire ; toutefois, cette fonction linéaire, caractérisée par la valeur de c_{1} := cos \frac{1}{x_{1}} , change très rapidement lorsque l’on varie infiniment peu le centre (x_{1}, f_{3}(x_{1})) de la loupe.

Si \frac{x_{1}^{2}}{ε} =: a est appréciable, posons S := sin \frac{1}{x_{1}} et C := cos \frac{1}{x_{1}} ; on a

F (X) ≃ a [S (cos \frac{X}{a} − 1) − C sin \frac{X}{A} ]

cette dernière expression étant loin d’être linéaire. A x_{1} fixé, l’amplitude mesurée par a = \frac{x_{1}^{2}}{ε} grandit avec le grandissement \frac{1}{ε}, alors que la fréquence mesurée par \frac{1}{a} diminue, ce qui est bien naturel ! Comme nous l’avons vu au cas précédent, c’est cet élargissement des oscillations qui l’emporte sur l’agrandissement des amplitudes lorsque \frac{x_{1}^{2}}{ε} est finalement i-grand.

Cet exemple montre comment l’étude à la loupe permet d’aller au delà du simple constat que x^{2} sin \frac{1}{x} est dérivable mais non C^{1} en x = 0.

f_{4}(x, y) = x^{2} + y^{3} Supposons (x_{1}, y_{1}) limité. On obtient naturellement

F (X, Y) = 2x_{1}X + εx_{1}X^{2} + 3y_{1}^{2}Y + 3εy_{1}Y^{2} + ε^{2}Y^{3} ≃ 2x_{1}X + 3y_{1}Y

f_{5}(x, y) = \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} si (x, y) ≠ (0, 0) et 0 sinon.

Bornons nous à étudier le cas où (x_{1}, y_{1}) = (0, 0). Nous avons la surprise de trouver

F (X, Y) = \frac{XY}{\sqrt{X^{2} + Y^{2}}}

c’est-à-dire F = f. Le graphe de f est invariant par toute loupe centrée à l’origine (la fonction est homogène de degré 1 comme les fonctions linéaires). Faute d’être presque-linéaire sous la loupe, cette fonction n’est pas différentiable en (0, 0).

4 Fonctions continûment dérivables

Un cadre commode pour introduire l’étude de la différentiabilité est celui des fonctions de classe C^{1} à valeurs réelles. Mais, classiquement, cette notion demande l’introduction de plusieurs concepts :

− la différentielle L au point u de f,

− la fonction D : u ↦ L

− la continuité de D. Nous avons adopté une définition qui esquive ce dernier point, en faisant usage de la notion de loupe à laquelle, nous l’avons dit, nous attachons une utilité didactique intrinsèque. Ceci nous permet de traiter la continuité un semestre après la différentiabilité, une méthode à laquelle nous voyons le double avantage de donner rapidement aux étudiants une notions utilisée rapidement par les Economistes d’une part, et d’autre part d’aborder la notion que nous jugeons plus abstraite de continuité d’une fonction de plusieurs variables avec un semestre de maturité supplémentaire. Au théorème 5 nous montrons l’équivalence de la définition usuelle avec notre définition, que nous dégageons ensuite.

Rappelons qu’une fonction f, à valeurs dans un espace normé F, est dite différentiable de différentielle L au point u′ d’un ouvert D_{f} d’un espace normé E si et seulement si L ∈ L(E, F) (c’est-à-dire si et seulement si L est une application linéaire continue de E dans F), et que l’on a

f(u) = f(u′) + L[u − u′] + ∥u − u′∥ε(u − u′)  (3)

où la fonction ε définie par cette relation est telle que

lim_{u→u′} ε(u − u′) = 0  (4)

Il n’est pas difficile de voir que pour f, u′, et L standard, ceci équivaut à

f(u′ + αU) = f(u′) + αL[U] + αo/  (5)
pour tout α i-petit et tout U ∈ E limité.  (6)

A notre sens, on obtient un réel bénéfice lorsqu’on considère, un peu plus généralement, le cas de u′ presque-standard. Par exemple, si l’on demande que (5)-(6) soit vrai pour tout u′ ≃ u_{0}, où u_{0} est un standard de D_{f}, on obtient la notion de fonction standard strictement différentiable au point u_{0} [5]. Si on suppose en outre que E = F est complet, on obtient [5, 7]une version du théorème d’inversion locale sous l’hypothèse de stricte différentiabilité au point u_{0}.

Peut-être encore plus intéressant pour l’enseignement de l’analyse car plus élémentaire : si on demande que (5)-(6) soit vrai pour tout u′ presque-standard dans U, c’est-à-dire tel qu’il existe un standard u_{0} ∈ U tel que u′ ≃ u_{0}, on obtient la notion de fonction de classe C^{1}. Plus précisément

Théorème 5 Soit f : U → F une fonction standard. Il existe au plus une fonction standard D : U ⟶ L(E, F) telle que pour tout u′ presque-standard dans U,

pour tout α ∈ ℝ i-petit, et tout U ∈ E limité, f(u′ + αU) = f(u′) + D(u′)[αU] + αo /.  (7)

On la note Df : U ⟶ L(E, F). Elle est nécessairement continue.

Preuve : Unicité : Si D_{1} et D_{2} sont deux telles fonctions, on a pour tous u′ et U standard

D^{1}(u′)[U] − D^{2}(u′)[U] ≃ o/.

Mais le terme de gauche étant standard, on a donc

D^{1}(u′)[U] − D^{2}(u′)[U] = 0.

On conclut par transfert sur U puis sur u′.

Continuité : Par la caractérisation non standard de la continuité et la définition de la norme sur L(E, F), nous devons montrer que pour tout standard u_{0} ∈ U, tout u′ ≃ u_{0}, et tout U ∈ E tel que ∥U∥ = 1,

Df(u_{0})[U] ≃ Df(u′)[U].

Un tel U est en particulier limité ; en choisissant^{4}

α := ∥u′ − u_{0}∥ ≃ 0,

et en posant

D := \frac{u′ − u_{0}}{∥u′ − u_{0}∥} = \frac{u′ − u_{0}}{α} ,

qui est limité puisque de norme égale à 1, on a

D(u′)[U] = \frac{1}{α}(f(u′ + αU) − f(u′) + αo/)  (8)
= \frac{1}{α}(f(u_{0} + αD + αU) − f(u_{0}) + f(u_{0}) − f(u_{0} + αD) + αo/)  (9)
= \frac{1}{α}(Df(u_{0})[αD + αU] + αo/ − Df(u_{0})[αD] − αo/ + αo/)  (10)
= Df(u_{0})[U] + o/,  (11)

puisque Df(u_{0})[αD + αU] − Df(u_{0})[αD] = Df(u_{0})[αU] et puisque

o/ − o/ + o/ = 3o/ = o/.
□

Bien entendu, la propriété (7) équivaut au fait que l’image F := F_{u′,α} de f sous toute loupe de grandissement 1/α centrée en n’importe quel point presque standard u′ est i-voisine de Df(u′). Nous obtenons donc ainsi une définition intrinsèquement géométrique, en particulier sans référence à la continuité de u′ ↦ Df(u′) de la notion classique de fonction de classe C^{1} :

Définition : On dira qu’une fonction standard f : U ⟶ F est de classe C^{1} si et seulement si son image F = F_{u′,α} sous toute loupe de grandissement 1/α centrée en n’importe quel point presque standard u′ est i-voisine d’une fonction linéaire (continue) standard. Pour U, E, et F standard, U ⊆ E ouvert, on note C^{1}(U, F) le sous-ensemble standard des fonctions de U vers F dont les éléments standard sont les fonctions de classe C^{1}. Une fonction f, standard ou non, est dite de classe C^{1}, si et seulement si f ∈ C^{1}(U, F).

Remarque : Le théorème 5 est une simple généralisation au espaces normés d’un résultat dans [11], où E. Nelson adopte pour définition de la dérivée d’une fonction d’une variable réelle celle faisant intervenir le rapport de dérivation aux points presque-standard, ce qui lui permettait d’énoncer le résultat quelque peu provoquant que toute fonction dérivable est C^{1} !

4Je dois ce choix à une conversation avec F. Pham.

5 Intégrales simples

5.1 Calcul d’une aire par les sommes de Riemann

Pour introduire l’intégrale simple ∫_{a}^{b} f, nous avons adopté une approche similaire à celle de J. Keisler [9].

Soit f : I → ℝ une fonction, supposée dans un premier temps positive, et soit R la région comprise entre le graphe de f et un segment [a, b] ⊆ I de l’axe des x. On se propose de calculer l’aire d’une telle région en fonction de f.

Définition : Soit I un intervalle de ℝ et soit f : I → ℝ^{+}. On appelle fonction d’aire de f une fonction A_{f}(a, b) définie pour tout couple (a, b) ∈ I^{2} à valeurs dans ℝ^{+} qui vérifie les propriétés suivantes :

1. Propriété d’addition ou relation de Chasles : a ≤ c ≤ b ⇒ A_{f}(a, b) = A_{f}(a, c) + A_{f}(c, b)

2. Propriété du rectangle : si a ≤ b, et si m et M sont respectivement des minorant et majorant de f sur [a, b] : m(b − a) ≤ A_{f}(a, b) ≤ M(b − a)

3. Propriété de signe : pour tout a, b ∈ I, A_{f}(b, a) = −A_{f}(a, b) (et donc A_{f}(a, a) = 0).

La définition précédente s’étend facilement au cas d’une fonction f de signe quelconque moyennant la convention de signe suivante : si f est négative sur [a′, b′], ∫_{a′}^{b′} f(x)dx := − ∫_{a′}^{b′} |f(x)|dx. Ceci veut dire que l’on compte négativement les aires situées sous l’axe des x.

5.1.1 Cas des fonctions en escalier

C’est un cas où il est facile de calculer le nombre A_{f}(a, b).

Définition : On appelle découpage ou subdivision d’un intervalle [a, b] toute suite (x_{i})_{i=1..n} de n + 1 éléments de [a, b] telle que a = x_{0} < x_{1} < … < x_{n} = b. Lorsque, pour tout i ∈ {0, …, n−1}, x_{i} ≃ x_{i+1}, on dit que le découpage est fin. Si D = (x_{i})_{i=0..n} est un découpage de [a, b] et si [\overline{a}, \overline{b}] ⊆ [a, b], il existe des indices j et k tels que a ≤ x_{j} ≤ \overline{a} < x_{j+1} < … < x_{k−1} < \overline{b} ≤ x_{k} ≤ b. On définit \overline{x}_{j} < \overline{x}_{j+1} < … < \overline{x}_{i} < … < \overline{x}_{k−1} < \overline{x}_{k} par \overline{a} =: \overline{x}_{j} < \overline{x}_{j+1} := x_{j+1} < … < \overline{x}_{i} := x_{i} < … < \overline{x}_{k−1} := x_{k−1} < \overline{x}_{k} := \overline{b}. Le découpage \overline{D} := (\overline{x}_{i})_{i=j..k} s’appelle le découpage de [\overline{a}, \overline{b}] induit par le découpage de D = (x_{i})_{i=0..n} de [a, b]. Si D est fin il en est de même de \overline{D}.

Définition : Une fonction f : [a, b] → ℝ est une fonction en escalier s’il existe un découpage (x_{i})_{i=1..n} de [a, b] tel que f soit constante sur chaque ]x_{i}, x_{i+1}[. Les valeurs prises par f aux points x_{i} ne sont pas spécifiées. On dit que la fonction en escallier f est subordonnée au découpage D. Si [\overline{a}, \overline{b}] ⊆ [a, b], la restriction \overline{f} de f à [\overline{a}, \overline{b}] est une fonction en escalier subordonnée au découpage \overline{D} induit par D sur [\overline{a}, \overline{b}].

Toute fonction en escalier ne prennant qu’un nombre fini de valeurs, est nécessairement bornée.

Définition : Pour une fonction en escalier f qui prend les valeurs c_{i} sur les intervalles ]x_{i}, x_{i+1}[ du découpage, on pose :

A_{f}(a, b) = ∑_{i=0}^{n−1} c_{i}(x_{i+1} − x_{i}).

C’est une fonction d’aire qui se note ∫_{a}^{b} f(x)dx et s’appelle l’intégrale de f sur [a, b].

5.1.2 Cas d’une fonction quelconque

Dans le cas général, l’idée est d’approcher la fonction (supposée standard) par une fonction en escalier (non standard) définie sur un découpage fin de telle sorte que son aire soit iv de l’aire cherchée. Il suffit alors d’en prendre l’ombre.

Définition : Une fonction f : [a, b] → ℝ standard est dite intégrable au sens de Riemann (ou simplement intégrable) s’il existe un découpage fin (x_{i})_{i=1..n} et deux fonctions en escalier g(x) et h(x) sur ce découpage telles que, pour tout x ∈ I, g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et ∫_{a}^{b} g(x)dx ≃ ∫_{a}^{b} h(x)dx. L’intégrabilité est une notion standard. On définit alors l’intégrale de f sur [a, b] par

∫_{a}^{b} f(x)dx = ^{o}(∑_{i=0}^{n−1} f(ξ_{i})(x_{i+1} − x_{i})) , avec ξ_{i} ∈ [x_{i}, x_{i+1}].

La somme dont on prend ici l’ombre s’appelle la somme de Riemann de f. Cette somme est bien limitée lorsque f est intégrable (et donc possède bien une ombre) puisque la fonction f est standard et bornée (par les bornes de g et h), donc bornée par des standard, et donc à valeurs limitées. Or on a :

|∑_{i=0}^{n−1} f(ξ_{i})(x_{i+1} − x_{i})| ≤ Max{|f(ξ_{i})| , i = 1, …, n−1} ∑_{i=0}^{n−1}(x_{i+1}−x_{i}) ≤ Max{|f(ξ_{i})| , i = 1, …, n−1}(b−a).

D’autre part cette somme ne dépend pas du choix des points ξ_{i} dans les intervalles [x_{i}, x_{i+1}] puisque les inégalités g(ξ_{i}) ≤ f(ξ_{i}) ≤ h(ξ_{i}) entrainent ∫_{a}^{b} g(x)dx ≤ ∑ f(ξ_{i})(x_{i+1} − x_{i}) ≤ ∫_{a}^{b} h(x)dx et donc

o(∫_{a}^{b} g(x)dx) = ∫_{a}^{b} f(x)dx = ^{o}(∫_{a}^{b} h(x)dx) .

La proposition suivante montre que, en outre, l’intégrale d’une fonction intégrable ne dépend pas non plus du découpage fin (x_{i})_{i=1..n}.

Proposition 6 Si f est une fonction standard intégrable, alors l’intégrale définie ci-dessus (par l’ombre de la somme de Riemann) est une fonction d’aire et c’est l’unique fonction d’aire associée à f sur [a, b].

Preuve : La vérification des trois propriétés qui caractérisent une fonction d’aire est facile. Montrons l’unicité : Supposons que A_{f}^{1}(a, b) et A_{f}^{2}(a, b) soient deux fonctions d’aire standard et supposons que g et h sont les deux fonctions en escalier sur (x_{i})_{i=1..n} qui encadrent f. On a, par la propriété du rectangle, pour j = 1 et j = 2,

∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} g(x)dx ≤ A_{f}^{j}(x_{i}, x_{i+1}) ≤ ∫_{x_{i}}^{x_{i+1}} h(x)dx

sur chaque intervalle [x_{i}, x_{i+1}] et donc aussi sur l’intervalle [a, b] par la propriété d’addition. Donc A_{f}^{1}(a, b) ≃ A_{f}^{2}(a, b), puisque les intégrales de g et h sont i-voisines, ce qui entraine l’égalité puisque ces deux quantités sont standard. □

En première année, nous avons fait le choix de ne traiter des fonctions continues qu’au second semestre, car nous constatons que cette notion demande plus de maturité de la part des étudiants que la dérivabilité et l’intégrabilité dont l’étude se prète plus à une activité opératoire. Il nous est néanmoins nécessaire, pour les deux résultats fondamentaux suivants, d’avoir une notion de continuité sur un intervalle fermé borné. Dans ce cas nous pouvons adopter la définition suivante, par la restriction habituelle aux x′ presque standard :

Définition : Une fonction standard f : [a, b] ⟶ ℝ est dite continue si et seulement si pour tous x′ et x′′ dans [a, b] on a

x′ ≃ x′′ ⇒ f(x′) ≃ f(x′′).

La continuité est une propriété standard.

Proposition 7 Toute fonction continue f : [a, b] → ℝ est intégrable.

La preuve de cette proposition découle facilement du lemme suivant :

Lemme 8 Pour toute fonction standard continue f : [a, b] → ℝ et tout intervalle i-petit [x, x+ε] ⊆ [a, b] (ε > 0 i-petit), il existe α > 0 i-petit tel que

f(x) − α ≤ f(ξ) ≤ f(x) + α

pour tout ξ ∈ [x, x + ε]

Preuve : (du lemme) Par continuité de f, |f(x) − f(ξ)| est i-petit pour tout ξ ∈ [x, x + ε], puisque ε ≃ 0. Par la proposition 1, α := Sup_{ξ∈[x,x+ε]}|f(x) − f(ξ)| est également i-petit. □

Preuve : (de la proposition) Par transfert, il suffit de montrer la proposition pour une fonction f standard. On choisit un découpage fin (x_{i})_{i=1..n} quelconque. Pour tout [x_{i}, x_{i+1}], soit α_{i} ≃ 0 comme au lemme 8, et pour x ∈ [x_{i}, x_{i+1}], g(x) = f(x_{i}) − α_{i} et h(x) = f(x) + α_{i}. On a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) par construction. En prenant pour α le plus grand des nombres 2α_{i}, qui est i-petit puisque chacun de ces nombres l’est, on a donc

0 ≤ ∫_{a}^{b} h(x)dx − ∫_{a}^{b} g(x)dx = ∑_{i=0}^{n−1} 2α_{i}(x_{i+1} − x_{i}) ≤ α ∑_{i=0}^{n−1}(x_{i+1} − x_{i}) = α(b − a) ≃ 0.

□

5.2 Le théorème fondamental de l’analyse

Théorème 9 Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et soit F (x) la fonction définie par x ↦ F (x) := ∫_{a}^{x} f(ξ)dξ. Alors F est une fonction de classe C^{1} sur ]a, b[, de dérivée F′(x) = f(x).

Preuve :

Par transfert, on peut supposer f, a, b, et donc F standard. Il suffit donc de vérifier qu’en tout point x ∈]a, b[ et pour tout δx ≃ 0 on a :

\frac{F (x + δx) − F (x)}{δx} = f(x) + β

avec β infiniment petit. Quitte à poser x′ := x + δx et donc x = x′ + (−δx), on peut supposer que δx ≥ 0. Comme f est standard continue, par le lemme 8, il existe α ≃ 0 tel que

f(x) − α ≤ f(ξ) ≤ f(x) + α

en tout point ξ de [x, x + δx], et donc

−α · δx ≤ ∫_{x}^{x+δx}(f(ξ) − f(x))dξ ≤ α · δx

d’après la propriété du rectangle. On a donc :

F (x + dx) − F (x) = ∫_{x}^{x+δx} f(ξ)dξ = ∫_{x}^{x+δx}(f(ξ) − f(x))dξ + ∫_{x}^{x+δx} f(x)dξ
= β · δx + f(x) · δx.

avec |β| ≤ α ≃ 0, puisque

β := \frac{∫_{x}^{x+δx}(f(ξ) − f(x))dξ}{δx} .

□

6 Intégrale multiple

Dans son manuel [9], J. Keisler propose une construction non standard de l’intégrale multiple, mais n’établit pas la formule de changement de variable, sauf pour les coordonnées polaires. Dans son cours de mathématiques de premier cycle [8], J. Dixmier ne démontre pas non plus cette formule. On sait le rôle qu’a eu ce manuel pour porter vers les “petites classes" le style inimitable de N. Bourbaki. Il n’en est que plus remarquable d’y trouver une pleine page (Tome II, p 252) dont le but est de “[…] retrouver heuristiquement la formule de changement de variable […] Imaginons A′ découpé en une infinité de rectangles infiniment petits de côtés parallèles à Ox et Oy. Alors ∫∫_{A′} f(x, y)dxdy apparaît comme une somme infinie de quantités infiniment petites. […] Au voisinage immédiat de (s, t) on peut (47.2.8) confondre φ avec l’application affine tangente ψ […]" L’auteur du présent article n’est pas loin de penser que son intérêt pour l’introduction de l’ANS dans son propre enseignement est, au moins inconsciemment, dû au désir de mettre en forme cette belle idée.

Rapporté par J. Mawhin dans [10] parmi les nombreuses et délectables citations qui couronnent chacun des chapitres, J. T. Schwartz [1954] indique que “ transformer cette approche heuristique en une preuve rigoureuse n’est pas entièrement trivial […] La principale difficulté de cette démonstration est l’obtention du parallélépipède intérieur à φ(P) […]

Voici un résultat qui traite de ce problème au moyen de l’ANS, et qui doit permettre d’établir la formule de changement de variable au moyen du calcul asymptotique de Van den Berg. On y verra comment la caractérisation non standard des fonctions C^{1} et l’usage des ordres de grandeur rend l’obtention du parallélogramme intérieur certe différente de celle du parallélépipède exterieur, mais guère plus difficile.

Soit φ : U ⟶ V un C^{1} difféomorphisme standard entre les ouverts U et V de ℝ^{d}. Notons P le cube (standard) de coté unité centré en 0. Soit p un point quelconque de U, presque standard dans U, et ε > 0 i-petit. L’image Q := φ(p + εP) du cube centré au point p et de coté ε n’est généralement pas un parallélépipède, mais il est compris entre deux tels parallélépipèdes dont la mesure de la différence est i-petite devant le volume de chacun. En effet :

Proposition 10 Il existe δ > 0 i-petit tel que, en posant μ_{−} := 1 − δ < 1 < 1 + δ =: μ_{+}, on a

Q_{−} := φ(p) + μ_{−}L[εP] ⊆ Q := φ(p + εP) ⊆ φ(p) + μ_{+}L[εP] =: Q_{+}  (12)

où L := Dφ(p), la différentielle de φ au point p.

Nous utiliserons le lemme suivant :

Lemme 11 Soit L_{0} : ℝ^{d} ⟶ ℝ^{d} standard, linéaire (donc continue), et inversible, et soit L : ℝ^{d} ⟶ ℝ^{d} linéaire telle que L ≃ L_{0}. Soient U_{1} et U_{2} deux vecteurs ; si L[U_{1}] ≃ L[U_{2}], alors U_{1} ≃ U_{2}, et en particulier ∥U_{1}∥ ≃ ∥U_{2}∥, où ∥ ∥ désigne une norme standard quelconque.

Preuve : (du lemme) En posant E := U_{1} − U_{2}, il suffit de montrer que L[E] ≃ 0 ⇒ E ≃ 0. Notons que, comme L_{0} est standard inversible continue, L_{0}[E/∥E∥] est appréciable. A présent, comme E/∥E∥ est limité et L ≃ L_{0}, on a

L[E/∥E∥] = L_{0}[E/∥E∥] + o/.

Posons F := L[E], qui est i-petit par hypothèse. On a

F = ∥E∥ L[E/∥E∥] = ∥E∥ (L_{0}[E/∥E∥] + o/) = ∥E∥ (@ + o/) = ∥E∥ @.

Comme F est i-petit, l’examen des règles de Leibniz pour le produit montre que ∥E∥ ≃ 0 et donc que E ≃ 0. □

Preuve : (de la proposition) Il suffit de montrer que (12) est vrai pour tout δ ∈]0, \frac{1}{2}] non i-petit. En effet, l’ensemble I des δ ∈]0, \frac{1}{2}] satisfaisant (12) est un ensemble interne, alors que ]0, \frac{1}{2}] privé de ses i-petits est externe (il est minoré sans plus grand minorant) ; si I contient tous les éléments non i-petit de ]0, \frac{1}{2}], il contiendra donc aussi des δ ≃ 0.

Soit donc δ ∈]0, \frac{1}{2}] appréciable, et soient μ_{−} := 1−δ <_{≄} 1 <_{≄} 1+δ =: μ_{+}. Soit ∥ ∥ la norme (standard) sur ℝ^{d} telle que P soit la boule unité centrée en 0 pour cette norme. Soit p_{0} le standard i-voisin de p, et L_{0} := Dφ(p_{0}) ; comme φ ∈ C^{1}, L ≃ L_{0}.

La seconde inclusion de (12) est simple ; commençons par là.

Soit p + εU ∈ p + εP un point quelconque de ce cube (et donc ∥U∥ ≤ 1). Comme φ ∈ C^{1}, on a

φ(p + εU) = φ(p) + ε(L[U] + F),

où F est i-petit. Soit V := L^{−1}[L[U] + F], de façon à ce que

φ(p + εU) = φ(p) + L[εV].

Comme L[V] = L[U] + F ≃ L[U], le lemme 11 implique que

∥V ∥ ≃ ∥U∥ ≤ 1 <_{≄} μ_{+},

et donc ∥V ∥ < μ_{+}, ce qui montre que φ(p + εU) ∈ φ(p) + μ_{+}L[εP], d’où la seconde inclusion.

La première inclusion de (12) introduit une échelle microscopique α qu’il convient tout d’abord d’évaluer par rapport à ε. En effet, soit

q′ = φ(p) + μ_{−}L[εU]

un élément quelconque du parallélépipède Q_{−} (et donc ∥U∥ ≤ 1). Par continuité de φ, on a q′ ≃ φ(p) ≃ φ(p_{0}) =: q_{0} ∈ V, où q_{0} est standard puisque p_{0} et φ le sont. Comme V est ouvert, on a q′ ∈ V. Soit p′ := φ^{−1}(q′). Par continuité de φ^{−1}, on a

p′ := φ^{−1}(q′) ≃ φ^{−1}(q_{0}) = p_{0} ≃ p.

Il existe donc α ≃ 0 et A ∈ ℝ^{d} appréciable tels que

p′ = p + αA,

par exemple α := ∥p′ − p∥ ≃ 0 et A := (p′ − p)/∥p′ − p∥. Comme φ est C^{1} on a

φ(p) + εL[μ_{−}U] =: q′ = φ(p′) = φ(p + αA) = φ(p) + α(L[A] + o/)  (13)

d’où

L[μ_{−}U] = \frac{α}{ε}(L[A] + o/).

Comme le membre de gauche est limité, il en est de même du membre de droite, et comme L[A] + o/ = L_{0}[A] + o/ + o/ est appréciable, α/ε =: l est limité. Donc

p′ = p + εP,

avec P := lA limité. Ainsi (13) peut se réécrire

φ(p) + εL[μ_{−}U] =: q′ = φ(p′) = φ(p + εP) = φ(p) + ε(L[P] + o/),  (14)

d’où

L[μ_{−}U] ≃ L[P].

Par le lemme 11, nous avons ∥P ∥ ≃ ∥μ_{−}U∥ ≤ μ_{−} <_{≄} 1, d’où ∥P ∥ < 1, et donc P ∈ P. Nous avons bien montré que q′ = φ(p′) = φ(p + εP) ∈ φ(p + εP) = Q.

□

7 En guise de conclusion

L’enseignement universitaire des mathématiques, en France tout au moins, traverse actuellement une crise somme toute curieuse. Un grand nombre d’étudiants continuent à souhaiter suivre des études de mathématiques ou des cursus présentant une forte proportion de mathématiques. Mais ce mouvement s’accompagne d’une demande de mathématiques purement opératoires où, si l’on suivait cette demande, on fournirait un catalogue de situations types, accompagnées chacunes de la méthode calculatoire fournissant la solution ; l’activité mathématique serait alors, en fait, assez précisément ce qu’offrent des logiciels tels que mathematica ou Maple. Bien entendu le phénomène n’est pas neuf, et seul son intensité est inhabituelle.

En ce qui concerne l’enseignement de l’analyse, notre attitude devant cette demande, que l’on s’accorde à considérer comme inadéquate, a été de faire de notre mieux pour pousser les étudiants à constamment chercher un sens aux définitions et résultats qu’ils apprennent, un peu comme le Physicien donne un sens à une vitesse, à une probabilité de présence, ou à un opérateur autoadjoint, mais en restant dans le cadre purement mathématique, et plus précisément, géométrique. Bien entendu la notion d’ordres de grandeur sur les nombres, telle que la permet l’extension du langage des mathématiques offerte par Nelson dans [11], mais aussi, et de façon alternative, dans [12], sont une aide considérable.

Voilà pour la sémantique. Mais nous pensons avoir montré ici que ces ordres de grandeur ont également une efficacité opérationnelle. Ils se prètent à un calcul symbolique, donc à une activité purement finitaire. Il y a là une apparence de paradoxe : ce qui sans doute caractérise l’analyse au sein des mathématiques, c’est son recours intensif à un infini actuel, un concept quasiment métaphysique par rapport aux autres pratiques du Mathématicien, généralement bien plus attaché à des objets finitaires. Par exemple la géométrie n’a que faire du caractère actuellement infini du plan ou d’une droite ; seul importe la possibilté de considérer un point ou une droite distincts de ceux qu’une construction a déjà introduits. Le fait est que l’analyse, et son recours à l’infini actuel, fournit un cadre intellectuel où s’élabore de nouveaux contextes finitaires, tels que la géométrie différentielle et la cohorte d’activités algébriques qu’elle alimente. Un autre exemple d’activité finitaire issue de l’analyse à l’impact plus visible hors des mathématiques, est le calcul formel sur ordinateur, permettant à un réseau de transistors d’associer \frac{x^{n+1}}{n+1} à int(xˆ n,x);. Là, l’intérêt de l’apport d’E. Nelson est d’avoir indiqué qu’il n’y a guère de métaphysique ici, mais seulement une “manière de parler", une syntaxe, qui débouche sur un vrai calcul sur des formules quantifiées. Indiquons que Y. Péraire a montré [14, 13] comment enrichir ce calcul au point que la preuve automatique de théorèmes d’analyse parait maintenant un projet tout-à-fait raisonnable.

Notre ambition est, à présent, de faire comprendre ce message à ceux qui ont en charge la mission d’enseigner les mathématiques. Les infiniment petits et les infiniment grands avaient été banis des discours mathématiquement corrects. Il est urgent de faire tomber les tabous qui ont frappé l’usage des ordres de grandeur dans l’enseignement des mathématiques : on y gagne un moyen de communiquer les idées fondamentales de l’analyse.

References

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[2] I. van den Berg. Introduction au calcul infinitésimal stochastique et financier. Publication Pédagogique, Université de Nice Sophia-Antipolis, Département de Mathématiques, Parc Valrose, F06108 Nice cedex, URL: http://math.unice.fr/~rgr, 1996.

[3] I. van den Berg. Neutrices, extrenal numbers, and external calculus. In F. Diener and M. Diener, editors, Nonstandard Analysis in Practice, chapter 7, pages 145–170, Springer Universitext, 1995.

[4] F. Diener. Cours d’analyse en DEUG MASS, 1ère année. notes polycopiées, Département de

    Mathématique de l’UNSA, URL: http://math.unice.fr/~diener/polys.html, 1997.

[5] F. Diener and G. Reeb. Analyse Non Standard. Hermann, 1989.

[6] M. Diener. Cours d’analyse en DEUG MASS, 2ème année. notes polycopiées, Département de

    Mathématique de l’UNSA, URL: http://math.unice.fr/~diener/polys.html, 1997.

[7] M. Diener. Cours de Calcul Différentiel en Licence MASS. notes polycopiées, Département de

    Mathématique de l’UNSA, URL: http://math.unice.fr/~diener/polys.html, 1997.

[8] J. Dixmier. Cours de Mathématiques du premier cycle. Gauthier-Villars (Paris), 1968.

[9] H. J. Keisler. Elementary Calculus. Prindle, Weber, and Schmidt, Inc., 1976.

[10] J. Mawhin. Analyse. Fondements, techniques, évolutions. De Boeck-Université, 1992.

[11] E. Nelson. Internal set theory. Bull. Amer. Math. Soc., 83:1165–1198, 1977.

[12] E. Nelson. Radically Elementary Probability Theory. Volume 117 of Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1987.

[13] Y. Péraire. Introduction à l’analyse non standard relative. In Proceedings of the 5th Workshop in Analysis and its Applications, 1995.

[14] Y. Péraire. Théorie relative des ensembles internes. Osaka J. Math., 29(2), 1992.

[15] F. Pham. Les différentielles. Masson, 1996.