%\input{lookpetr}
\documentstyle[twoside,11pt]{article}%{report}
\title {Enseigner l'analyse avec des ordres de grandeur}
\author {Marc Diener}
\date{mai 1997}
\fhyph

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\setlength{\textheight}{23cm}
%COMMANDES UTILISEES
%\input{premartf}
%premartf.tex  regroupe les \newtheorem pour un article en francais
%  appel finalement premathf.tex
%  Preambule regroupant les macros a caractere mathematique
%pour la composition d'un document en style ARTICLE en francais
%similaire a premalvf.tex SAUF %%%[chapter]
%NEWTHEOREMS:
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}%%%[chapter]
\newtheorem{theorem}[theoreme]{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{corollary}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{prop}[theoreme]{Proposition} %pour Goze et  Mass1
\newtheorem{propdef}[theoreme]{Proposition et d\'efinition}
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
\newtheorem{lemma}[theoreme]{Lemme}
\newtheorem{principe}[theoreme]{Principe}
\newtheorem{regle}[theoreme]{R\`egle}
\newtheorem{exercice}{\noindent \bf Exercice}%%%[chapter]
\newtheorem{theodef}[theoreme]{Th\'eor\`eme et d\'efinition}
%\input{premathf} %appel les commandes communes avec premalvf.tex
%NEWENVIRONMENTS:
\newenvironment{preuve}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf Preuve~:\ \nopagebreak}}{\hfill $\Box$ \medskip}
\newenvironment{proof}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf Preuve~:\ \nopagebreak}}{\hfill $\Box$ \medskip}
\newenvironment{definition}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf D\'efinition~:\ \em}}{\medskip }
\newenvironment{definitions}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf D\'efinitions~:\ \em}}{\medskip }
\newenvironment{commentaire}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Commentaire~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{exemple}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Exemple~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{exemples}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf Exemples~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{exo}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Exercice~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{exos}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf Exercices~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{titrexo}{\pagebreak[2]\par\medskip\noindent\begin{bf}}{\end{bf}\medskip\nopagebreak}
\newenvironment{remarque}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Remarque~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{remarques}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent \bf Remarques~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{propriete}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Propri\'et\'e~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{proprietes}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Propri\'et\'es~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{rem}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Remarque~:\ }}{\medskip}  %\'a abandonner
\newenvironment{rappel}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Rappel~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{nb}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf n.b.\ }}{\medskip}
\newenvironment{notation}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Notations~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{notations}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent \bf Notations~:\ }}{\medskip}
\newenvironment{txt}{\medskip}{\medskip}
%\newenvironment{titrexo}{\pagebreak[1]\par\medskip\noindent\bf}{\medskip\nopagebreak}
\newenvironment{question}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent\rule{\textwidth}{0.4mm}\par\noindent\bf Question~:\ }}{\par\noindent\rule{\textwidth}{0.1mm}\medskip}
\newenvironment{reponse}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent\bf R\'eponse~:\ }}{\par\noindent\rule{\textwidth}{0.4mm}\medskip}
\newenvironment{probleme}{\pagebreak[1]\par\medskip {\noindent\rule{\textwidth}{0.4mm}\par\noindent\bf Probl\`eme~:\ }}{\par\noindent\rule{\textwidth}{0.1mm}\medskip}
\newenvironment{solution}{\pagebreak[2]\par\medskip {\noindent\bf Solution~:\ }}{\par\noindent\rule{\textwidth}{0.4mm}\medskip}
\newenvironment{prog}{\pagebreak[2]\par\medskip\tt}{\par\noindent}

%ALIAS
\newcommand{\fns}{\protect\footnotesize}
\newcommand{\ovl}{\overline}
\newcommand{\udl}{\underline}
\newcommand{\legende}[1]{{\protect\caption[]{\small\em #1}}}
\newcommand{\espace}{ }
\newcommand{\enreserve}[1]{}
\newcommand{\nop}{}

%ANALYSE ELEMENTAIRE:
\newcommand{\tg}{\mbox{tg}\,}
\newcommand{\cotg}{\mbox{cotg}\,}
\newcommand{\Arcsin}{\mbox{Arc$\,$sin}\,}
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\newcommand{\Arctg}{\mbox{Arctg}\,}
\newcommand{\arctg}{\mbox{arctg}\,}
\newcommand{\Arccotg}{\mbox{Arccotg}\,}
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\newcommand{\hess}{\mbox{hess}\,}
\newcommand{\Grad}{\mbox{Grad}\,}
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\newcommand{\norme}[1]{\Vert#1\Vert}
\newcommand{\normeun}[1]{\Vert#1\Vert_1}
\newcommand{\normedeux}[1]{\Vert#1\Vert_2}
\newcommand{\normeinf}[1]{\Vert#1\Vert_\infty}
\newcommand{\convunif}{\mbox{\raisebox{-.5ex}{$\stackrel{\textstyle\rightarrow}{\rightarrow}$}}}
%%%%%%\newcommand{\convunif}{\stackrel{\rightarrow}{\rightarrow}}
\newcommand{\dblint}{\int\!\!\!\int}% acronyme inutilement anglosaxon; voir aussi \intdbl ci-dessous
\newcommand{\intdbl}{\int\!\!\!\int}
\newcommand{\Adh}{\mbox{Adh}\,}
\newcommand{\Int}{\mbox{Int}\,}
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\newcommand{\aire}{\mbox{aire}\,}
\newcommand{\Aire}{\mbox{Aire}\,}
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\newcommand{\Vol}{\mbox{Vol}\,}

%PROBAS
\newcommand{\cvenproba}{\stackrel{P}\longrightarrow}
\newcommand{\B}{\mbox{B}\,}
\newcommand{\BB}[1]{\mbox{B}_{#1}\,}
\newcommand{\probab}{\mbox{b}\,}
\newcommand{\probabb}[1]{\mbox{b}_{#1}\,}
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\newcommand{\EE}[1]{\mbox{E}_{#1}\,}
\newcommand{\pr}{\mbox{pr}\,}
\renewcommand{\Pr}{\mbox{Pr}\,}%existe deja dans LaTeX
\newcommand{\vas}{variables al\'eatoires }
\newcommand{\va}{variable al\'eatoire }
\newcommand{\Var}{\mbox{Var}\,}
\newcommand{\Cpn}[2]{\left(\begin{array}{c}#2\\ #1\end{array}\right)}
\newcommand{\Cnp}[2]{C^{#2}_{#1}}
\newcommand{\incr}{accroissement }
\newcommand{\incrs}{accroissements }

%NOMBRES:
\newcommand{\Ent}{\mbox{Ent}\,}
\newcommand{\Max}{\mbox{Max}\,}
\newcommand{\Min}{\mbox{Min}\,}
\newcommand{\Sup}{\mbox{Sup}\,}
\newcommand{\Inf}{\mbox{Inf}\,}
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\renewcommand{\Im}{\mbox{Im}\,}
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\newcommand{\Imm}{\Im\mbox{m}}
\newcommand{\Arg}{\mbox{Arg}\,}

%ANS:
\newcommand{\st}{\mbox{st}\,}
\newcommand{\fini}{\mbox{fini}\,}
\newcommand{\hal}{\mbox{hal}\,}
\newcommand{\gal}{\mbox{gal}\,}
\newcommand{\lesssim}{\stackrel{<}{\sim}}
\newcommand{\gtrsim}{\stackrel{>}{\sim}}
\newcommand{\zerobar}{\mbox{o\hspace{-0.5em}/}}
%\newcommand{\zerobar}{\oslash}%{\mbox{o\hspace{-0.5em}/}}
\def\illim{\infty\!\!\!\! /}
\newcommand{\les}{\,\makebox[0mm][l]{\raisebox{-.7ex}{$\sim$}}\raisebox{.2ex}{$<$}\,}
\newcommand{\lorsim}{\mbox{ $<$\hspace{-0.7em}\raisebox{-0.7ex}{$\scriptscriptstyle\simeq$} }}
\newcommand{\gorsim}{\mbox{ $>$\hspace{-0.6em}\raisebox{-0.6ex}{$\scriptscriptstyle\simeq$} }}
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\newcommand{\gandnotsim}{\mbox{ $>$\hspace{-0.6em}\raisebox{-0.7ex}{$\scriptscriptstyle\not\simeq$} }}
\newcommand{\ip}{i-petit}
\newcommand{\ipe}{i-petite}
\newcommand{\ips}{i-petits}
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\newcommand{\lmt}{limit\'e}
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\newcommand{\app}{appr\'eciable}
\newcommand{\appe}{appr\'eciable}
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\newcommand{\appes}{appr\'eciables}
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\newcommand{\ivs}{i-voisins}
\newcommand{\ives}{i-voisines}
%AUTRES
\newcommand{\tab}{\hspace{0.5em}}
\newcommand{\espacevisible}{\raisebox{-.5ex}{$\sqcup$}}
\newcommand{\cad}{c'est-\`a-dire\espace}
\newcommand{\ssi}{ si et seulement si }

%SYSTEMES:
\newcommand{\systemedeux}[5]{
\begin{equation}\label{#1}
\left\{\begin{array}{rcl}
                        #2 & = & #3 \\
                        #4 & = & #5
                \end{array}
\right.
\end{equation}}

\newcommand{\systemetrois}[7]{
\begin{equation}\label{#1}
\left\{\begin{array}{rcl}
                        #2 & = & #3 \\
                        #4 & = & #5 \\
                        #6 & = & #7
                \end{array}
\right.
\end{equation}            }

\newcommand{\chdvdeux}[5]{
\begin{equation}\label{#1}
\left [ \begin{array}{rcl}
             #2 & = & #3\\
             #4 & = & #5
       \end{array}
\right.
\end{equation}}



\input{bbb.tex}
%\newfont{\Bbb}{msym10}

\begin{document}
%
\maketitle
%PLAN GENERAL:
%\input{intro}
%\input{odg}
%\input{loupes}
%\input{c1}
%\input{intsimpl}
%\input{intdbl}
%\input{conclu}
%\input{bibale}
% DEBUT DU TEXTE:
%\input{intro}
\section{Introduction}
L'objet de cet article est de rendre compte d'une exp\'erience en cours \`a
l'Universit\'e de Nice
\cite{F:mass1,M:mass2,M:lmass}
d'enseignement de l'analyse en utilisant les
infinit\'esimaux de la version axiomatique de l'analyse
Non Standard (ANS) telle qu'elle a \'et\'e introduite par E. Nelson 
\cite{Nelson:IST}.
Il s'agit d'un enseignement adress\'e \`a des \'etudiants en math\'ematiques qui se 
destinent \`a appliquer leur savoir-faire \`a l'Economie, une science dont on 
s'accorde \`a penser qu'elle peut \'enorm\'ement gagner \`a une plus grande 
math\'ematisation.

On sait combien les math\'ematiques en g\'en\'eral et les infinit\'esimaux en 
particulier ont \'et\'e utiles \`a la Physique. Une des raisons tient l\`a \`a la 
notion d'ordre de grandeur, conduisant \`a des \'etudes tant\^ot \`a l'\'echelle 
microscopique, tant\^ot \`a l'\'echelle macroscopique, avec chacunes leurs 
approximations acceptables sp\'ecifiques. Nous retrouvons de telles situations 
en Economie~: au plan microscopique nous trouvons des r\'ealit\'es telles que des 
agents \'economiques (consommateurs, firmes) dont le grand nombre donne une 
r\'ealit\'e macroscopique sp\'ecifique~; autre exemple~: les cotations en bourse 
s'effectuent en temps discret (les agences communiquent l'actualisation des 
cours toutes les huit secondes) dont le grand nombre rend applicable voir 
pratiquement indispensable l'utilisation d'un mod\`ele continu pour ma\^\i triser 
cette multitude. Mais tout comme en Physique, l'\'elaboration des mod\`eles 
nouveaux et la confiance ou la m\'efiance qu'il convient de leur accorder ne 
peut venir, dans une longue p\'eriode de validation tout au moins, que 
d'une maitrise conceptuelle simultan\'ee du mod\`ele microscopique souvent 
discret et de son int\'egration en un mod\`ele macroscopique \'eventuellement 
continu. C'est dans cette ma\^\i trise conceptuelle que nous pensons que l'ANS 
peut jouer un r\^ole capital.  Elle permet d'effectuer le passage du 
microscopique au macroscopique dans un cadre formel bien d\'efini, o\`u la notion 
d'{\em ordre de grandeur }est un concept fondamental, et non dans un cadre 
heuristique dont la maitrise rel\`eve d'un art difficile \`a transmettre ou 
automatiser.



Ces lignes ne donneront qu'un reflet de l'exp\'erience dans les deux premi\`eres 
ann\'ees d'universit\'e (le Dipl\^ome d'Etudes Universitaires G\'en\'erales) o\`u il est 
indispensable d'assoir les outils du calcul diff\'erentiel et int\'egral sur $\mbox{\Bbb{R}}$ 
ou $\mbox{\Bbb{R}}^n$~; indiquons que nous utilisons ensuite la familiarit\'e des \'etudiants 
avec les ordres de grandeur, les loupes, ou les liens de l'int\'egrale d'une 
fonction standard avec des sommes de Riemann, pour, par exemple, leur 
permettre de comprendre, d\`es la troisi\`eme ann\'ee (en Licence) le lien entre 
les processus 
stochastiques bin\^omiaux qui s'introduisent de fa\c\nop{}con naturelle dans le mod\`ele 
de Cox-Ross-Rubinstein de couverture ``au jour le jour" d'une option call 
europ\'eenne, et la formule de Black-Scholes d'\'evaluation du prix 
d'une telle option. Nous obtenons ce r\'esultat gr�ce \`a un travail de pionnier 
de I. van den Berg \cite{VdB:polypso}, sans avoir \`a affronter l'abstraction 
des processus en temps continu et leurs pr\'erequis, g\'en\'eralement r\'eserv\'es \`a un 
public bien plus avanc\'e dans l'\'etude des math\'ematiques. Par ailleurs, la 
preuve 
et l'\'evaluation des limites de la pertinence \'economique de ces processus en 
temps continu ne pourra que profiter de la compr\'ehension math\'ematique du lien 
entre mod\`ele discret infinit\'esimal et mod\`ele macroscopique continu~: un 
chantier parmi d'autres auxquels nous pr\'eparons nos meilleurs \'etudiants.

Nous commencerons par un expos\'e exhaustif des d\'efinitions et propri\'et\'es des 
ordres de grandeur qui sont pr\'ecis\'ement, \`a notre sens, la raison 
d'introduire de l'ANS dans l'enseignement. Puis nous donnerons, sur des 
exemples cette fois, quelques concepts ou r\'esultats qui nous ont paru \^etre 
particuli\`erement significatifs d'une approche de l'analyse \'el\'ementaire au 
moyen d'infinit\'esimaux.


%\input{odg}
\section{Ordres de grandeur}
\subsection{Ordres de grandeur dans $\mbox{\Bbb{R}}$}
Rappelons qu'un r\'eel $r$ est dit limit\'e (en abr\'eg\'e {\em lmt}) s'il existe un entier 
standard $n$ tel que $|r|\leq n$. Il est dit \ip\ (se prononce aussi ``infiniment 
petit", en notation abr\'eg\'ee {\em ip}) \ssi pour tout entier standard $n>0$, on a 
$|r|< 1/n$. Il est dit \ig\ (se prononce aussi ``infiniment grand", en 
notation 
abr\'eg\'ee {\em ig}) s'il n'est pas limit\'e. Il est dit appr\'eciable (en abr\'eg\'e {\em app}) 
s'il n'est ni \ig\ ni \ip. On appelle {\em ordre de grandeur }l'un des quatre 
attribus \ip, limit\'e, appr\'eciable, et \ig.

Il suffit de savoir que la somme et le produit de deux standard est standard 
et que l'inverse d'un standard est standard pour \'etablir les {\em r\`egles de 
Leibniz }donnant dans bien des cas l'ordre de grandeur de  la somme, 
diff\'erence, produit, ou quotient de r\'eels, en fonctions de la connaissance de 
leur propre ordre de grandeur. On a ainsi les ``tables d'op\'erations" sur les 
ordres de grandeur suivant~:

\begin{center}
\begin{tabular}{r|cccc}
$ip$ & $ip$ &  &  & $\pm$ \\
$lmt$ & $lmt$ & $lmt$ &  & \\
$app$ & $app$ & $lmt$ & $lmt$ & \\
$ig$ & $ig$ & $ig$ & $ig$ & ~? \\ \hline
$\pm$ & $ip$ & $lmt$ & $app$ & $ig$
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{r|cccc}
$ip$ & $ip$ &  &  & $\times$ \\
$lmt$ & $ip$ & $lmt$ &  & \\
$app$ & $ip$ & $lmt$ & $app$ & \\
$ig$ & ~? & ~? & $ig$ & $ig$ \\ \hline
$\times$ & $ip$ & $lmt$ & $app$ & $ig$
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc}
$ip$ & ~? & ~? & $ip$ & $ip$ \\
$lmt$ & ~? & ~? & $lmt$ & $ip$ \\
$app$ & $ig$ & ~? & $app$ & $ip$ \\
$ig$ & $ig$ & $ig$ & $ig$ & ~? \\ \hline
$\uparrow/\rightarrow$ & $ip$ & $lmt$ & $app$ & $ig$
\end{tabular}
\end{center}


Finalement, on dit que $r$ est \iv\ de $s$ (se prononce aussi ``infiniment 
voisin", et se note $r\simeq s$) \ssi\ $r-s$ est \ip.

\begin{proposition}\label{supinfodg}
Soit ${\cal{B}}$ un ensemble born\'e (interne) de nombres r\'eels de m\^eme ordre de 
grandeur. Alors $\Sup {\cal{B}}$ et $\Inf {\cal{B}}$ sont \'egalement de cet ordre de grandeur.
\end{proposition}

\begin{preuve}
Il suffit de remarquer que par d\'efinition de $\Sup {\cal{B}}$ et de $\Inf {\cal{B}}$, il 
existe des \'el\'ements $\beta^+\in{\cal{B}}$ et $\beta^-\in{\cal{B}}$ tels que $\beta^+\simeq\Sup {\cal{B}}$ et $\beta^-\simeq\Inf {\cal{B}}$. Les 
r\`egles de Leibniz montrent alors que deux nombres \ivs\ quelconques sont du 
m\^eme ordre de grandeur.
\end{preuve}

Les r\'eels d'un m\^eme ordre de grandeur ne sauraient former un ensemble interne, 
c'est-\`a-dire un ensemble d\'efinissable sans l'usage du pr\'edicat standard ou un 
de ses d\'eriv\'es. Mieux~: il serait absurde de supposer qu'ils forment un 
ensemble auquel s'appliquent tous les th\'eor\`emes classiques. Ainsi, par 
exemple, si les \ip\ formaient un ensemble interne, comme cet ensemble serait 
born\'e (par $-1$ et $+1$, par exemple), sa borne sup\'erieure $\sigma>0$ existerait~; 
comme nous venons de le montrer, elle serait donc \ipe~; mais $\sigma+\sigma$ est alors 
\'egalement \ip\ et $2\sigma>\sigma$, ce qui contredit l'hypoth\`ese que $\sigma$ soit la borne 
sup\'erieure des r\'eels \ips.
Nous verrons plus bas comment tirer parti de ce r\'esultat en apparence 
n\'egatif.

Nous avons un r\'esultat tr\`es commode de factorisation des 
ordres de grandeur pour les combinaisons lin\'eaires, ayant \'eventuellement un 
nombre \ig\ de termes, \`a {\em coefficients positifs}.

\begin{proposition}\label{factodg}
Soit $I$ un ensemble fini d'indices,  $(p_i)_{i\in I}$ un 
ensemble de nombres {\em positifs ou nuls}, 
et $(\beta_i)_{i\in I}$ des r\'eels ayant le m\^eme ordre de grandeur, et de m\^eme signe si 
cet ordre de grandeur est `appr\'eciable' ou `\ig'. Alors il existe un r\'eel 
$\beta$ de m\^eme ordre de grandeur tel que
$$\sum_{i\in I}p_i\beta_i=\beta\sum_{i\in I}p_i$$
\end{proposition}


\begin{preuve}
Posons, pour tout $j\in I$, $\lambda_j:=p_j/\left(\sum_{i\in I}p_i\right)\geq0$~; on a 
$$\sum_{j\in I}\lambda_j=\sum_{j\in I}\frac{p_j}{\sum_{i\in I}p_i}=\frac{\sum_{j\in I}p_j}{\sum_{i\in I}p_i}=1.$$
Posons \`a pr\'esent $\beta:=\sum_{j\in I}\beta_j\lambda_j$ qui est du m\^eme ordre de grandeur que les $\beta_i$, 
puisque compris entre le plus petit est plus grand des \'el\'ements de $(\beta_i)_{i\in I}$. 
Nous avons 
maintenant 
$$\beta\sum_{i\in I}p_i=\left(\sum_{j\in I}\beta_j\lambda_j\right)\left(\sum_{i\in I}p_i\right)
=\sum_{j\in I}\beta_j\left(\lambda_j\sum_{i\in I}p_i\right)
=\sum_{j\in I}\beta_j\frac{p_j}{\sum_{i\in I}p_i}\sum_{i\in I}p_i
=\sum_{j\in I}\beta_jp_j\;\;.
$$
Nous avons finalement bien $\sum_{j\in I}\beta_jp_j=\beta\sum_{i\in I}p_i$, 
d'o\`u le r\'esultat annonc\'e.
\end{preuve}


\subsection{Le calcul asymptotique de Van den Berg}
Dans les calculs, il est parfois inutile d'avoir acc\`es \`a la valeur exacte 
d'un nombre~: seul son ordre de grandeur sera utile dans la suite du calcul. 
Ce point de vue a \'et\'e largement \'etudi\'e par Van den Berg et Koudjeti 
\cite{Vdb:NSAinP,VdbKoudjeti:NSAinP}. En pratique, cela commence par 
l'introduction des quatre symboles $\zerobar$, $\mbox{\pounds}$, $@$, $\illim$ pour repr\'esenter 
respectivement un \ip, un limit\'e, un appr\'eciable {\em positif},
 et un \ig\  {\em positif}\nop%
\footnote{En imposant que $@$ et $\illim$ soient posotifs, nous obtenons que 
$@+@=@$ et $\illim+\illim=\illim$, alors que $app+app=lmt$ et $ig+ig=~?$ .}
``g\'en\'erique", 
ce qui signifie que deux occurences de l'un quelconque de ces symboles ne 
repr\'esentent \`a priori pas le m\^eme r\'eel. Le symbole  $\zerobar$ s'appelle le {\em z\'erobar 
de Van den Berg}, mais dans un calcul, on prononce respectivement 
{\em un }\nop  \ip, {\em un }\nop limit\'e, {\em un }\nop appr\'eciable, et {\em un }\nop \ig. Avec ces 
notations, les r\`egles de Leibniz deviennent~:

\begin{center}
\begin{tabular}{r|cccc}
$\zerobar$ & $\zerobar$ &  &  & $+$ \\
$\mbox{\pounds}$ & $\mbox{\pounds}$ & $\mbox{\pounds}$ &  & \\
$@$ & $@$ & $\mbox{\pounds}$ & $\mbox{\pounds}$  \\
$\illim$ & $\illim$ & $\illim$ & $\illim$ & $\illim$ \\ \hline
$+$ & $\zerobar$ & $\mbox{\pounds}$ & $@$ & $\illim$
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{r|cccc}
$\zerobar$ & $\zerobar$ &  &  & $-$ \\
$\mbox{\pounds}$ & $\mbox{\pounds}$ & $\mbox{\pounds}$ &  & \\
$@$ & $@$ & $\mbox{\pounds}$ & $\mbox{\pounds}$ & \\
$\illim$ & $\illim$ & $\illim$ & $\illim$ & ~? \\ \hline
$-$ & $\zerobar$ & $\mbox{\pounds}$ & $@$ & $\illim$
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{r|cccc}
$\zerobar$ & $\zerobar$ &  &  & $\times$ \\
$\mbox{\pounds}$ & $\zerobar$ & $\mbox{\pounds}$ &  & \\
$@$ & $\zerobar$ & $\mbox{\pounds}$ & $@$ & \\
$\illim$ & ~? & ~? & $\illim$ & $\illim$ \\ \hline
$\times$ & $\zerobar$ & $\mbox{\pounds}$ & $@$ & $\illim$
\end{tabular}
\hspace{1cm}
\begin{tabular}{c|cccc}
$\zerobar$ & ~? & ~? & $\zerobar$ & $\zerobar$ \\
$\mbox{\pounds}$ & ~? & ~? & $\mbox{\pounds}$ & $\zerobar$ \\
$@$ & $\illim$ & ~? & $@$ & $\zerobar$ \\
$\illim$ & $\illim$ & $\illim$ & $\illim$ & ~? \\ \hline
$\uparrow/\rightarrow$ & $\zerobar$ & $\mbox{\pounds}$ & $@$ & $\illim$
\end{tabular}
\end{center}

Avec ces notations la proposition \ref{factodg} prend la forme suivante, tr\`es 
utile dans le calcul asymptotique~:

\begin{corollaire}\label{factodgVdb}
Soit $I$ un ensemble fini d'indices, et $(p_i)_{i\in I}$ un ensemble de nombres 
{\em positifs ou nuls}. On a les quatre identit\'es suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $\sum_{i\in I}p_i\zerobar=\zerobar\sum_{i\in I}p_i$
\item $\sum_{i\in I}p_i\mbox{\pounds}=\mbox{\pounds}\sum_{i\in I}p_i$
\item $\sum_{i\in I}p_i@=@\sum_{i\in I}p_i$
\item $\sum_{i\in I}p_i\illim=\illim\sum_{i\in I}p_i$
\end{enumerate}
\end{corollaire}

Bien entendu, situ\'e \`a la droite du symbole $\sum_{i\in I}$ le $\zerobar$ de chaque 
$p_i\zerobar$ repr\'esente un \ip\ a priori distinct pour chaque indice $i$, et il en 
va de m\^eme pour les autres symboles du calcul asymptotique.

Afin d'\'eviter les trop grandes confusions avec de vraies variables, nous 
n'introduisons ces symboles qu'en deuxi\`eme ann\'ee, et encore avec beaucoup de 
parcimonie \`a ce moment-l\`a. En revanche, il en est fait un usage intensif en 
3\`eme ann\'ee, dans 
les calculs pour les processus stochastiques discrets, o\`u ils constituent la 
pierre angulaire du calcul.

\subsection{Ordres de grandeur dans les espaces norm\'es}
Les notions d'ordres de grandeur s'\'etendent imm\'ediatement aux vecteurs d'un 
espace norm\'e~: un vecteur est dit \ip\ si tel est le cas de sa norme~; on 
d\'efinit de m\^eme les notions de vecteur limit\'e, appr\'eciable, et \ig.
Par application de l'in\'egalit\'e triangulaire, la proposition 
\ref{factodg} se g\'en\'eralise imm\'ediatement aux \ips\ et aux limit\'es des 
espaces norm\'es.

Deux normes standard sur un espace norm\'e standard sont \'equivalentes \ssi\ 
elles d\'eterminent les m\^emes ordres de grandeur~: voil\`a bien un r\'esultat qui 
motive une d\'efinition classique bien technique. En voici un \'enonc\'e plus 
pr\'ecis, et une preuve, en guise d'illustration de raisonnement utilisant \`a {\em la 
main }des ordres de grandeur. 

\begin{proposition}\label{normeseq}
Pour deux normes standard quelconques 
$\norme{\;\;\;\;}'$ et $\norme{\;\;\;\;}''$ sur un m\^eme espace standard, les propri\'et\'es 
suivantes sont \'equivalentes 
\begin{enumerate}
\item Les deux normes d\'eterminent les m\^emes vecteurs \ips.
\item Les deux normes d\'eterminent les m\^emes vecteurs \lmts.
\item Les deux normes d\'eterminent les m\^emes vecteurs \apps.
\item Les deux normes d\'eterminent les m\^emes vecteurs \igs.
\item \label{normesequiv}
Il existe des $M\geq m>0$ tels que pour tout $v\in E$
$m\norme{v}'\leq\norme{v}''\leq M\norme{v}'$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve}
Montrons tout d'abord que {\bf(i)}$\Rightarrow${\bf(ii)}$\Rightarrow${\bf(iii)}$\Rightarrow${\bf(iv)}$\Rightarrow${\bf(i) }ce qui montrera 
l'\'equivalence des quatre premi\`eres notions.
\begin{description}
\item{{\bf(i)}$\Rightarrow${\bf(ii)} 
}Soit $v$ un vecteur dont l'une des normes, par exemple $\norme{v}'$, est 
limit\'ee.
Posons $\lambda:=\norme{v}''$ et $u:=v/\lambda$. On a donc $\norme{u}''=1$.
L'hypoth\`ese {\bf(i) }implique que $\norme{u}'$ est non \ip\ comme $\norme{u}''$.
Or $\norme{u}'=\norme{v/\lambda}'=\norme{v}'/\lambda$. Donc $\lambda$ ne peut \^etre \ig.
Donc la norme $\norme{v}''\;\;(=\lambda)$ est, elle aussi, limit\'ee.

\item{{\bf(ii)}$\Rightarrow${\bf(iii)}
}Soit $v$ un vecteur dont l'une des normes, par exemple $\norme{v}'$, est 
appr\'eciable.
Posons $\lambda:=\norme{v}''$ et $u:=v/\lambda$. On a donc $\norme{u}''=1$.
L'hypoth\`ese {\bf(ii) }implique que $\norme{v}''$ est limit\'e comme $\norme{v}'$.
Donc $\lambda$ ne peut \^etre \ig.
L'hypoth\`ese {\bf(ii) }implique que $\norme{u}'$ est limit\'e comme $\norme{u}''$.
Or $\norme{u}'=\norme{v}'/\lambda$. Donc $\lambda$ ne peut \^etre \ip.
Donc la norme $\norme{v}''\;\;(=\lambda)$ est, elle aussi, appr\'eciable.

\item{{\bf(iii)}$\Rightarrow${\bf(iv)}
}Soit $v$ un vecteur dont l'une des normes, par exemple $\norme{v}'$, est 
\ige.
Posons $\lambda:=\norme{v}''$ et $u:=v/\lambda$. On a donc $\norme{u}''=1$.
L'hypoth\`ese {\bf(iii) }implique que $\norme{u}'$ est appr\'eciable comme 
$\norme{u}''$.
Or $\norme{u}'=\norme{v}'/\lambda$. Donc $\lambda$ ne peut \^etre limit\'e.
Donc la norme $\norme{v}''\;\;(=\lambda)$ est, elle aussi, \ige.


\item{{\bf(iv)}$\Rightarrow${\bf(i)}
}Soit $v$ un vecteur dont l'une des normes, par exemple $\norme{v}'$, est 
\ipe.
Posons $\mu:=\norme{v}'\simeq0$ et $w:=v/\mu$. On a donc $\norme{w}'=1$.
L'hypoth\`ese {\bf(iv) }implique que $\norme{w}''$ est non \ig\ comme $\norme{w}'$.
Or $\norme{w}''=\norme{v}''/\mu$. Donc $\norme{v}''$ doit \^etre \ip\ puisque $\mu$ 
l'est.
En d'autres termes la norme $\norme{v}''\;\;(=\lambda)$ est, elle aussi, \ipe.

\end{description}

Montrons \`a pr\'esent que {\bf(iii)}$\Leftrightarrow${\bf(v) }ce qui ach\`evera la preuve de la 
proposition. Observons que la relation 
\ref{normesequiv}. de la proposition \ref{normeseq} est toujours vraie si 
$v=0$. Si $v\neq0$, cette relation 
\'equivaut \`a
$m\leq\norme{v}''/\norme{v}'\leq M$. 
Or $\norme{v}''/\norme{v}'=\norme{v/\norme{v}'}''=\norme{u}''$, o\`u 
$u=v/\norme{v}'$. Dire que la relation 
\ref{normesequiv}. est vraie pour tout 
$v\in E$ \'equivaut donc \`a dire que 
\begin{equation}\label{normeseqbis}
\mbox{Pour tout $u\in E$ tel que $\norme{u}'=1$ on a }
m\leq\norme{u}''\leq M
\end{equation}
\begin{description}
\item{{\bf(iii)}$\Rightarrow${\bf(v)} }L'hypoth\`ese {\bf(iii) }implique que $\norme{u}''$ est 
appr\'eciable d\`es que $\norme{u}'=1$. Donc (\ref{normeseqbis}) est vrai pour 
tout $m$ \ip\ est tout $M$ \ig. Nous pouvons donc consid\'erer 
$m_0:=\Inf \{\norme{u}''\;\;|\;\;u\in E, \norme{u}'=1\}$ et 
$M_0:=\Sup \{\norme{u}''\;\;|\;\;u\in E, \norme{u}'=1\}$. Nous avons vu que $m_0$ ne peut 
\^etre \ip\ et $M_0$ ne peut \^etre \ig. Ils sont donc appr\'eciables l'un et 
l'autre. Il suffit donc de choisir des standard $m$ et $M$ tels que
$0<m\leq m_0\leq M_0\leq M$, par exemple $m:={}^{o}\!(m_0)/2$ et $M:=2{}{}^{o}\!(M_0)$.

\item{{\bf(v)}$\Rightarrow${\bf(iii)} }Il suffit de remarquer que si $M\geq m>0$ sont standard, la 
relation 
\ref{normeseq}-\ref{normesequiv} et la relation 
$\norme{v}''/M\leq\norme{v}'\leq\norme{v}''/m$ qui en d\'ecoule 
montrent imm\'ediatement que 
$\norme{v}'$ est appr\'eciable \ssi $\norme{v}''$ est appr\'eciable.
\end{description}
\end{preuve}

%\input{loupes}
%\pb
\section{Loupes}
Nous pensons que parmi les grands concepts de l'analyse \'el\'ementaire 
(continuit\'e, d\'erivabilit\'e, int\'egrabilit\'e), celui qui peut le mieux 
\^etre compris en premier cycle d'universit\'e est celui de d\'eriv\'ee ( ou 
``diff\'erentielle") d'une fonction d'une ou plusieurs variables. En effet, 
l'acquisition de la ma\^\i trise op\'eratoire (en termes de ``calcul formel") a d\'ej\`a 
\'et\'e abondamment entam\'ee par les \'etudes du lyc\'ee~; cette notion est, \`a ce 
stade des \'etudes, largement utilis\'ee dans les disciplines parall\`eles 
(\'economie, physique)~; enfin l'alg\`ebre lin\'eaire - le mod\`ele auquel l'analyse 
tente de raccrocher l'\'etude des fonctions transcendantes par le biais de la 
d\'eriv\'ee - est \'etudi\'ee pour la derni\`ere fois de fa\c\nop{}con intensive \`a ce 
moment-l\`a. Et pourtant, la simple diff\'erentielle d'une fonction de deux 
variable reste un chose myst\'erieuse pour bien des \'etudiants de licence.

Pour le Physicien ou l'Economiste, l'\'echelle de pertinence pratique de 
notions telles que vitesse instantann\'ee ou taux marginal est fix\'ee, pour 
chaque situation, par le choix de l'unit\'e~: la seconde pour la vitesse d'un 
train, l'unit\'e pour un objet produit en grande s\'erie. Le Math\'ematicien 
classique n'a pas de pendant \'evident~; le Math\'ematicien non standard dispose, 
lui, de la notion de {\em loupe~: }le choix d'un $\varepsilon>0$  \ip\  permet d'introduire 
une restriction propice du champ d'investigation et, apr\`es agrandissement, un 
distingo%
\footnote{contraste en apparence tr\`es anodin et pourtant profondement pr\'esent 
dans IST, puisqu'il se retrouve de fa\c\nop{}con tr\`es g\'en\'erale dans la diff\'erence 
entre ``halo" et ``galaxie"}
 entre {\em appr\'eciable }( ou ``significatif") et  {\em\ip} \ ( ou 
``n\'egligeable"). L'\'etude ``\`a la loupe" d'objets de la math\'ematique classique 
aide , \`a notre sens, \`a comprendre la nature de 
l'information v\'ehicul\'ee par la d\'eriv\'ee ou diff\'erentielle.
Au plan du calcul formel, elle conduit \`a des situations pratiques mettant en 
oeuvre de r\'esultats d'analyse \'etudi\'es \`a un niveau plus \'el\'ementaires.
\medskip

Soit $\varepsilon>0$  \ip%
\footnote{Bien entendu, une approche classique de ce qui suit peut se 
concevoir par l'introduction d'un param\`etre $\varepsilon>0$ ``ayant vocation \`a tendre 
vers $0$. La loupe devient alors ``zoom"\protect\cite{Pham:diff}. Ce qui est 
``petit" est ce qui va dispara\^\i tre \`a la limite. La circonscription du champ 
d'investigation (ce qui est ``limit\'e'') introduit un second param\`etre, 
tel la restriction \`a une boule de rayon $R$ ou \`a un compact.}. 
On appelle {\em loupe }de grandissement $1/\varepsilon$ centr\'ee au point $u_1$ d'un espace 
norm\'e le changement de variable $U\mapsto u$ d\'efini par la relation
$$u=u_1+\varepsilon U,$$
que l'on consid\`ere pour les $U$ limit\'es.
Tout comme en sciences naturelles, l'examen \`a la loupe d'ensembles est des 
plus int\'eressant. Nous nous bornerons ici \`a l'examen des graphes de fonctions 
\'el\'ementaires $w=f(v)$, et $u$ et $U$ seront donc dans un produit et nous 
aurons de ce fait $u=(v,w)$ et $U=(V,W)$, 
les loupes \'etant centr\'ees en un point $u_1=(v_1,f(v_1))$ du graphe. 
L'image du graphe de $f$ sous la loupe est un graphe de fonction $W=F(V)$. On 
dit aussi que $F=F_{v_1,\varepsilon}$ est l'image de $f$ sous cette loupe~; elle est 
caract\'eris\'ee par la relation $w=f(v)$ \ssi\ $W=F(V)$, qui donne imm\'ediatement
\begin{equation}
F(V):=F_{u_1,\varepsilon}(V):=\frac{1}{\varepsilon}\left[f(v_1+\varepsilon V)-f(v_1)\right]
\end{equation}

Examinons quelques exemples~; {\em on ne s'int\'eresse} 
{\em qu'aux \nop $V$ limit\'es}{\em. }Nous nous bornerons \`a des exemples o\`u $v=x\in\mbox{\Bbb{R}}$ 
et 
$v=(x,y)\in\mbox{\Bbb{R}}^2$~; 
quant aux valeurs $w$, elles seront r\'eelles.

\begin{description}
\item\fbox{$f_1(x)=x^2$} Supposons $x_1$ limit\'e. On obtient sans surprise
$$F_1(X)=2x_1X+\varepsilon X^2\simeq2x_1X$$

Pour $X$ limit\'e, l'image sous la loupe de $f_1$ est une fonction $F_1$ \ive\ de 
la fonction lin\'eaire $X\mapsto2x_1X$. Nous dirons que $f_1\in{\cal{C}}^1(\mbox{\Bbb{R}},\mbox{\Bbb{R}})$.
\item\fbox{$f_2(x)=\sin x$} Soit $x_1\in\mbox{\Bbb{R}}$ quelconque. On obtient
$$F_2(X)=\frac{1}{\varepsilon}[\sin (x_1+\varepsilon X)-\sin(x_1)]
=\frac{1}{\varepsilon}[\varepsilon X(\cos x_1 + \zerobar]\simeq c_1X$$
avec $c_1:=\cos x_1$~; l\`a encore, pour $X$ limit\'e, $F_2(X)$ est \ive\ d'une 
fonction lin\'eaire.

\item\fbox{$f_3(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$} si $x\neq0$ et $0$ sinon. On a
$$F_3(X)=\frac{x_1^2}{\varepsilon}\left[\sin\frac{1}{x_1+\varepsilon X}-\sin\frac{1}{x_1}\right]
+2x_1X\sin\frac{1}{x_1+\varepsilon X}-x_1^2\sin\frac{1}{x_1}$$
Si $x_1\not\simeq0$ est limit\'e, on obtient, sans surprise,
$$F_3(X)\simeq(2x_1s_1-c_1)X,$$
avec 
$$s_1:=\sin\frac{1}{x_1}\in[-1,+1] \mbox{ et }
c_1:=\cos\frac{1}{x_1}\in[-1,+1].
$$
Si $x_1\simeq0$, pour $X$ limit\'e, on a, 
$F_3(X)\simeq\frac{x_1^2}{\varepsilon}\left[\sin\frac{1}{x_1+\varepsilon X}-\sin\frac{1}{x_1}\right]$. 
Pour 
pr\'eciser le comportement de $F_3$, il convient de distinguer des cas selon 
l'ordre de grandeur de $x_1^2/\varepsilon$.
\smallskip

\noindent{{\bf Si }\nop $\frac{x_1^2}{\varepsilon}$ {\bf est {}\bf \ip}} (et en particulier si 
$x_1=0$), 
comme le sinus est limit\'e, on a tout simplement $F_3\simeq0$ (et en particulier 
$f_3$ est d\'erivable en z\'ero de d\'eriv\'ee nulle.)
\smallskip

\noindent{{\bf Si }\nop $\frac{x_1^2}{\varepsilon}=:\omega$ {\bf est {}\bf \ig}} on a 
$\frac{x_1}{\omega}=\frac{\varepsilon}{x_1}$ qui est \ip\ puisque $x_1\simeq0$ et $\omega$ est \ig, 
donc
$$\frac{1}{x_1+\varepsilon X}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{1+\frac{x_1}{\omega}X}=
\frac{1}{x_1}\left(1-\frac{x_1}{\omega}X(1+\zerobar)\right)=
\frac{1}{x_1}-\frac{X}{\omega}(1+\zerobar).
$$
D'o\`u
$$
\sin\frac{1}{x_1+\varepsilon X}=\sin\left(\frac{1}{x_1}-\frac{X}{\omega}(1+\zerobar)\right)=
\sin\frac{1}{x_1}-\frac{X}{\omega}(1+\zerobar)\left(\cos\frac{1}{x_1}+\zerobar\right),
$$
et finalement
$$
F_3(X)\simeq\frac{x_1^2}{\varepsilon}\left[\sin\frac{1}{x_1+\varepsilon X}-\sin\frac{1}{x_1}\right]=
-\frac{x_1^2}{\varepsilon}\frac{X}{\omega}\left[\cos\frac{1}{x_1}+\zerobar\right]=
X(c_1+\zerobar)\simeq c_1X.
$$
Ici encore $F_3$ est \ive\ d'une fonction lin\'eaire~; toutefois, cette fonction 
lin\'eaire, caract\'eris\'ee par la valeur de $c_1:=\cos\frac{1}{x_1}$, change tr\`es 
rapidement lorsque l'on varie infiniment peu le centre $(x_1,f_3(x_1))$ de la 
loupe.
\smallskip

\noindent{{\bf Si }\nop $\frac{x_1^2}{\varepsilon}=:a$ {\bf est {}\bf appr\'eciable}},
posons $S:=\sin\frac{1}{x_1}$ et $C:=\cos\frac{1}{x_1}$~; on a 
$$F(X)\simeq
a\left[S\left(\cos \frac{X}{a}-1\right)
-C\sin\frac{X}{A}\right]$$
cette derni\`ere expression \'etant loin d'\^etre lin\'eaire. A $x_1$ fix\'e, 
l'amplitude mesur\'ee par $a=\frac{x_1^2}{\varepsilon}$ grandit avec le grandissement 
$\frac{1}{\varepsilon}$, alors que la fr\'equence mesur\'ee par $\frac{1}{a}$ diminue, ce 
qui est bien naturel~! Comme nous l'avons vu au cas pr\'ec\'edent, c'est cet 
\'elargissement des oscillations qui l'emporte sur l'agrandissement 
des amplitudes lorsque $\frac{x_1^2}{\varepsilon}$ est finalement \ig.

Cet exemple montre comment l'\'etude \`a la loupe permet d'aller au del\`a du 
simple constat que $x^2\sin\frac{1}{x}$ est d\'erivable mais non ${\cal{C}}^1$ en $x=0$.

\item\fbox{$f_4(x,y)=x^2+y^3$}
Supposons $(x_1,y_1)$ limit\'e. On obtient naturellement
$$F(X,Y)=
2x_1X+\varepsilon x_1X^2+3y_1^2Y+3\varepsilon y_1Y^2+\varepsilon^2Y^3\simeq2x_1X+3y_1Y
$$

\item\fbox{$f_5(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$} si $(x,y)\neq(0,0)$ et $0$ sinon.

Bornons nous \`a \'etudier le cas o\`u $(x_1,y_1)=(0,0)$.
Nous avons la surprise de trouver
$$F(X,Y)=\frac{XY}{\sqrt{X^2+Y^2}}$$
c'est-\`a-dire $F=f$. Le graphe de $f$ est invariant par toute loupe centr\'ee \`a 
l'origine (la fonction est homog\`ene de degr\'e $1$ comme les fonctions 
lin\'eaires). Faute d'\^etre presque-lin\'eaire sous la loupe, cette fonction n'est 
pas diff\'erentiable en $(0,0)$. 
\end{description}

%\input{c1}
\section{Fonctions contin\^ument d\'erivables}
Un cadre commode  pour introduire l'\'etude de la diff\'erentiabilit\'e est celui 
des fonctions de classe ${\cal{C}}^1$ \`a valeurs r\'eelles. Mais, classiquement, cette 
notion demande l'introduction de {\em plusieurs }concepts~:\par
$-$ la diff\'erentielle $L$ au point $u$ de $f$,\par
$-$ la fonction $D:u\mapsto L$\par
$-$ la continuit\'e de $D$.

\noindent Nous avons adopt\'e une d\'efinition qui esquive ce dernier point, en 
faisant usage de la notion de loupe \`a laquelle, nous l'avons dit, nous 
attachons une utilit\'e didactique intrins\`eque. Ceci nous permet de traiter la 
continuit\'e un semestre {\em apr\`es }la diff\'erentiabilit\'e, une m\'ethode \`a laquelle 
nous voyons le double avantage de donner rapidement aux \'etudiants une notions 
utilis\'ee rapidement par les Economistes d'une part, et d'autre part d'aborder 
la notion que nous jugeons plus abstraite de continuit\'e d'une fonction de 
plusieurs variables avec un semestre de maturit\'e suppl\'ementaire.
Au th\'eor\`eme \ref{C1} nous montrons l'\'equivalence de la d\'efinition usuelle 
avec notre d\'efinition, que nous d\'egageons ensuite.
\medskip

Rappelons qu'une fonction $f$, \`a valeurs dans un espace norm\'e ${\cal{F}}$, 
est dite {\em diff\'erentiable }de diff\'erentielle $L$ 
au point $u'$ d'un ouvert ${\cal{D}}_f$ d'un espace norm\'e ${\cal{E}}$ 
\ssi\ 
$L\in{\cal{L}}({\cal{E}},{\cal{F}})$ (\cad  \ssi\ $L$ est une application lin\'eaire continue de ${\cal{E}}$ dans 
${\cal{F}}$), et que l'on a 
\begin{equation}
f(u)=f(u')+L[u-u']+\Vert u-u'\Vert\varepsilon(u-u')\label{stdiff1}
\end{equation}
o\`u la fonction $\varepsilon$ d\'efinie par cette relation est telle que
\begin{equation}
\lim_{u\rightarrow u'}\varepsilon(u-u')=0\label{stdiff2}
\end{equation}
Il n'est pas difficile de voir que pour $f$, $u'$, et $L$ standard, ceci 
\'equivaut \`a
\begin{equation}\label{nstdiff1}
f(u'+\alpha U)=f(u')+\alpha L[U]+\alpha\zerobar
\end{equation}
\begin{equation}\label{nstdiff2}
\mbox{pour tout $\alpha$ \ip\ et tout $U\in E$ limit\'e.}
\end{equation}
A notre sens, on obtient un r\'eel b\'en\'efice lorsqu'on consid\`ere, un peu plus 
g\'en\'eralement, le cas de $u'$ presque-standard. Par exemple, si l'on demande 
que (\ref{nstdiff1})-(\ref{nstdiff2}) soit vrai pour tout $u'\simeq u_0$, o\`u $u_0$ est 
un standard de ${\cal{D}}_f$, on obtient la notion de fonction 
standard {\em strictement diff\'erentiable }\nop au point $u_0$ \cite{FReeb:livre}. Si 
on suppose en outre que ${\cal{E}}={\cal{F}}$ est {\em complet}, on obtient 
\cite{FReeb:livre,M:lmass}une version du th\'eor\`eme d'inversion locale sous 
l'hypoth\`ese de stricte diff\'erentiabilit\'e au point $u_0$.
\enreserve{\begin{theoreme}[th\'eor\`eme d'inversion locale]
Si $f$ est strictement diff\'erentiable au point $u_0$ et si L est inversible, 
alors quitte \`a remplacer l'ouvert ${\cal{D}}_f$ par un ouvert ${\cal{U}}$ plus petit, 
l'application $f:{\cal{U}}\longrightarrow{\cal{E}}$ admet un inverse $g:f({\cal{U}})=:{\cal{V}}\longrightarrow{\cal{E}}$~; l'application $g$ est 
strictement diff\'erentiable de diff\'erentielle $L^{-1}$.
\end{theoreme}   }% fin de \enreserve


Peut-\^etre encore plus int\'eressant pour l'enseignement de l'analyse car plus 
\'el\'ementaire~: si on demande que (\ref{nstdiff1})-(\ref{nstdiff2}) soit vrai 
pour tout $u'$ {\em presque-standard dans }\nop  ${\cal{U}}$, \cad tel qu'il 
existe un standard $u_0\in{\cal{U}}$ tel que $u'\simeq u_0$, on obtient la notion de fonction 
de classe ${\cal{C}}^1$. Plus pr\'ecis\'ement

\begin{theoreme}\label{C1}
Soit $f:{\cal{U}}\rightarrow{\cal{F}}$ une fonction standard. Il existe au plus une fonction standard 
$D:{\cal{U}}\longrightarrow{\cal{L}}({\cal{E}},{\cal{F}})$ telle que pour tout $u'$ presque-standard dans ${\cal{U}}$,
\begin{equation}\label{Diffloupe}
\mbox{pour tout $\alpha\in\mbox{\Bbb{R}}$ \ip, et tout $U\in{\cal{E}}$ limit\'e, }
f(u'+\alpha U)=f(u')+D(u')[\alpha U]+\alpha\zerobar.
\end{equation}
On la note $Df:{\cal{U}}\longrightarrow{\cal{L}}({\cal{E}},{\cal{F}})$. Elle est n\'ecessairement continue.
\end{theoreme}

\begin{preuve}
{\bf Unicit\'e~: }Si $D_1$ et $D_2$ sont deux telles fonctions, on a pour tous $u'$ et 
$U$ {\em standard}\nop 
$$D^1(u')[U]-D^2(u')[U]\simeq\zerobar.$$
Mais le terme de gauche \'etant standard, on a donc
$$D^1(u')[U]-D^2(u')[U]=0.$$
On conclut par transfert sur $U$ puis sur $u'$.

{\bf Continuit\'e~: }Par la caract\'erisation non standard de la continuit\'e et la 
d\'efinition de la norme sur ${\cal{L}}({\cal{E}},{\cal{F}})$, nous devons montrer que
pour tout standard $u_0\in{\cal{U}}$, tout $u'\simeq u_0$, et tout $U\in{\cal{E}}$ tel que $\Vert U\Vert=1$,
$$Df(u_0)[U]\simeq Df(u')[U].$$

Un tel $U$ est en particulier limit\'e~; 
en choisissant%
\footnote{Je dois ce choix \`a une conversation avec F. Pham.}
$$\alpha:=\Vert u'-u_0\Vert\simeq0,$$
et en posant 
$$D:=\frac{u'-u_0}{\Vert u'-u_0\Vert}=\frac{u'-u_0}{\alpha},$$
qui est limit\'e puisque de norme \'egale \`a $1$, on a
\begin{eqnarray}
D(u')[U]&=&\frac{1}{\alpha}(f(u'+\alpha U)-f(u')+\alpha\zerobar)\\
&=&\frac{1}{\alpha}(f(u_0+\alpha D+\alpha U)-f(u_0)+f(u_0)-f(u_0+\alpha D)+\alpha\zerobar)\\
&=&\frac{1}{\alpha}(Df(u_0)[\alpha D+\alpha U]+\alpha\zerobar-Df(u_0)[\alpha D]-\alpha\zerobar+\alpha\zerobar)\\
&=&Df(u_0)[U]+\zerobar,
\end{eqnarray}
puisque $Df(u_0)[\alpha D+\alpha U]-Df(u_0)[\alpha D]=Df(u_0)[\alpha U]$ et puisque
$$\zerobar-\zerobar+\zerobar=3\zerobar=\zerobar.$$
\end{preuve}

Bien entendu, la propri\'et\'e (\ref{Diffloupe}) \'equivaut au fait que l'image 
$F:=F_{u',\alpha}$ de $f$ sous toute loupe de grandissement $1/\alpha$ centr\'ee en n'importe 
quel point presque standard $u'$ est \ive\  de $Df(u')$. Nous obtenons donc 
ainsi une d\'efinition intrins\`equement g\'eom\'etrique, en particulier sans 
r\'ef\'erence \`a la continuit\'e de $u'\mapsto Df(u')$ de la notion classique de fonction 
de classe ${\cal{C}}^1$~:

\begin{definition}
On dira qu'une fonction standard $f:{\cal{U}}\longrightarrow{\cal{F}}$ est de classe ${\cal{C}}^1$ \ssi\ son image 
$F=F_{u',\alpha}$ sous toute loupe de grandissement $1/\alpha$ centr\'ee en n'importe quel 
point presque standard $u'$ est \ive\ d'une fonction lin\'eaire (continue) 
standard.
Pour ${\cal{U}}$, ${\cal{E}}$, et ${\cal{F}}$ standard, ${\cal{U}}\subseteq{\cal{E}}$ ouvert, on note ${\cal{C}}^1({\cal{U}},{\cal{F}})$ le 
sous-ensemble standard des fonctions de ${\cal{U}}$ vers ${\cal{F}}$ dont les \'el\'ements 
standard sont les fonctions de classe ${\cal{C}}^1$. Une fonction $f$, standard ou non, 
est dite de classe ${\cal{C}}^1$, \ssi\ $f\in{\cal{C}}^1({\cal{U}},{\cal{F}})$.
\end{definition}

\begin{remarque}Le th\'eor\`eme \ref{C1} est une simple g\'en\'eralisation au espaces 
norm\'es d'un r\'esultat dans \cite{Nelson:IST}, o\`u E. Nelson adopte pour 
d\'efinition de la d\'eriv\'ee d'une fonction d'une variable r\'eelle celle faisant 
intervenir le rapport de d\'erivation aux points presque-standard, ce qui lui 
permettait d'\'enoncer le r\'esultat quelque peu provoquant que toute fonction 
d\'erivable est ${\cal{C}}^1$~! 
%Il recommandait aussi de ne pas mettre cette d\'efinition 
%entre les mains de d\'ebutants\ldots
\end{remarque}

%\input{intsimpl}
\section{Int\'egrales simples}

\subsection{Calcul d'une aire par les sommes de Riemann}

Pour introduire l'int\'egrale simple $\int_a^bf$, nous avons adopt\'e une approche 
similaire \`a celle de J. Keisler \cite{Keisler}.
\medskip

Soit $f~:I\rightarrow\mbox{\Bbb{R}}$ une fonction, suppos\'ee dans un premier temps 
positive, et soit $R$ la r\'egion comprise 
entre le graphe de $f$ et un segment $[a,b]\subseteq I$ de l'axe des $x$. On se 
propose de calculer l'aire d'une telle r\'egion en fonction de $f$.

\begin{definition}
Soit $I$ un intervalle de $\mbox{\Bbb{R}}$ et soit $f~:I\rightarrow\mbox{\Bbb{R}}^+$. On appelle {\em fonction d'aire de 
f }une fonction $A_f(a,b)$ d\'efinie pour tout couple $(a,b)\in I^2$ \`a valeurs dans 
$\mbox{\Bbb{R}}^+$ qui v\'erifie les propri\'et\'es suivantes~:
\begin{enumerate}
\item Propri\'et\'e d'addition ou relation de Chasles~: 
$a\leq c\leq b\;\;\Rightarrow\;\;A_f(a,b)=A_f(a,c)+A_f(c,b)$
\item Propri\'et\'e du rectangle~: si $a\leq b$, et 
si $m$ et $M$ sont respectivement des minorant 
et majorant de $f$ sur $[a,b]$~: $m(b-a)\leq A_f(a,b)\leq M(b-a)$
\item Propri\'et\'e de signe~: pour tout $a,b\in I$, $A_f(b,a)=-A_f(a,b)$ (et donc 
$A_f(a,a)=0$).
\end{enumerate}

La d\'efinition pr\'ec\'edente s'\'etend facilement au cas d'une fonction $f$ de 
signe quelconque moyennant la convention de signe suivante~: si 
$f$ est n\'egative sur $[a',b']$, $\int_{a'}^{b'}f(x)dx:=-\int_{a'}^{b'}|f(x)|dx$. Ceci veut dire 
que l'on compte n\'egativement les aires situ\'ees {\em sous }l'axe des $x$.
\end{definition}

\subsubsection{Cas des fonctions en escalier}
C'est un cas o\`u il est facile de calculer le nombre $A_f(a,b)$.
\begin{definition}
On appelle {\em d\'ecoupage }ou {\em subdivision }d'un intervalle $[a,b]$ toute suite 
$(x_i)_{i=1..n}$ de $n+1$ \'el\'ements de $[a,b]$ telle que $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$. 
Lorsque, 
pour tout $i\in\{0,\ldots,n-1\}$, $x_i\simeq x_{i+1}$, on dit que le d\'ecoupage est {\em fin.
}Si $D=(x_i)_{i=0..n}$ est un d\'ecoupage de $[a,b]$ et si $[\ovl a,\ovl b]\subseteq[a,b]$, 
il existe des indices $j$ et $k$ tels que 
$a\leq x_j\leq\ovl a<x_{j+1}<\ldots<x_{k-1}<\ovl b\leq x_k\leq b$. On d\'efinit
$\ovl x_j<\ovl x_{j+1}<\ldots<\ovl x_i<\ldots<\ovl x_{k-1}<\ovl x_k$ 
par $\ovl a=:\ovl x_j<\ovl x_{j+1}:=x_{j+1}<\ldots<\ovl x_i:=x_i<\ldots
<\ovl x_{k-1}:=x_{k-1}<\ovl x_k:=\ovl b$. Le d\'ecoupage $\ovl D:=(\ovl x_i)_{i=j..k}$ 
s'appelle le d\'ecoupage de $[\ovl a,\ovl b]$ induit par le 
d\'ecoupage de $D=(x_i)_{i=0..n}$ de $[a,b]$. Si $D$ est fin il en est de m\^eme de 
$\ovl D$.
\end{definition}

\begin{definition}
Une fonction $f:[a,b]\rightarrow\mbox{\Bbb{R}}$ est une {\em fonction en escalier }s'il existe un 
d\'ecoupage $(x_i)_{i=1..n}$ de $[a,b]$ tel que $f$ soit constante sur chaque 
$]x_i,x_{i+1}[$. Les valeurs prises par $f$ aux points $x_i$ ne sont pas 
sp\'ecifi\'ees.
On dit que la fonction en escallier $f$ est {\em subordonn\'ee }au d\'ecoupage $D$.
Si $[\ovl a,\ovl b]\subseteq[a,b]$, la restriction $\ovl f$ de $f$ \`a 
$[\ovl a,\ovl b]$ est une fonction en escalier subordonn\'ee au d\'ecoupage 
$\ovl D$ induit par $D$ sur $[\ovl a,\ovl b]$.
\end{definition}

Toute fonction en escalier ne prennant qu'un nombre fini de valeurs, est 
n\'ecessairement born\'ee.

\begin{definition}
Pour une fonction en escalier $f$ qui prend les valeurs $c_i$ sur les 
intervalles $]x_i,x_{i+1}[$ du d\'ecoupage, on pose~:
$$A_f(a,b)=\sum_{i=0}^{n-1}c_i(x_{i+1}-x_i).$$
C'est une fonction d'aire qui se note $\int_a^bf(x)dx$ et s'appelle l'{\em int\'egrale }de 
$f$ sur $[a,b]$.
\end{definition}



\subsubsection{Cas d'une fonction quelconque}

Dans le cas g\'en\'eral, l'id\'ee est d'approcher la fonction (suppos\'ee 
standard) par une fonction en 
escalier (non standard) d\'efinie sur un d\'ecoupage fin de telle sorte que son 
aire soit 
$iv$ de l'aire cherch\'ee. Il suffit alors d'en prendre l'ombre.

\begin{definition}
Une fonction $f:[a,b]\rightarrow\mbox{\Bbb{R}}$ standard est dite {\em int\'egrable au sens de Riemann 
}(ou simplement {\em int\'egrable}) s'il 
existe un d\'ecoupage fin $(x_i)_{i=1..n}$ et deux fonctions en escalier $g(x)$ et 
$h(x)$ 
sur ce d\'ecoupage telles que, pour tout $x\in I$, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ et $\int_a^bg(x)dx\simeq
\int_a^bh(x)dx$. L'int\'egrabilit\'e est une notion standard. On d\'efinit alors 
l'int\'egrale de $f$ sur $[a,b]$ par
$$\int_a^bf(x)dx=\left.{}^{o}\!\left(\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)\right)\right., \mbox{ avec 
}\xi_i\in[x_i, x_{i+1}].$$
\end{definition}

La somme dont on prend ici l'ombre s'appelle la {\em somme de Riemann 
de }\nop  $f$. Cette somme est bien limit\'ee lorsque $f$ est int\'egrable (et donc 
poss\`ede bien une ombre) puisque la fonction $f$ est standard et born\'ee (par 
les bornes de $g$ et $h$), donc born\'ee par des standard, et donc \`a valeurs 
limit\'ees. Or on a~:
$$\left|\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)\right|
\leq\Max\{\left|f(\xi_i)\right|,i=1,\ldots,n-1\}
\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)
\leq\Max\{\left|f(\xi_i)\right|,i=1,\ldots,n-1\}(b-a).$$
D'autre part cette somme ne d\'epend pas du choix des points $\xi_i$ dans 
les intervalles $[x_i, x_{i+1}]$ puisque les in\'egalit\'es $g(\xi_i)\leq f(\xi_i)\leq h(\xi_i)$ 
entrainent $\int_a^bg(x)dx\leq\sum f(\xi_i)(x_{i+1}-x_i)\leq\int_a^bh(x)dx$ et donc
$${}^{o}\!\left(\int_a^bg(x)dx\right)=\int_a^bf(x)dx={}^{o}\!\left(\int_a^bh(x)dx\right).$$

La proposition suivante montre que, en outre, l'int\'egrale d'une fonction 
int\'egrable ne d\'epend pas non plus du d\'ecoupage fin $(x_i)_{i=1..n}$.

\begin{proposition}
Si $f$ est une fonction standard int\'egrable, alors l'int\'egrale d\'efinie 
ci-dessus (par l'ombre de la somme de Riemann) est une fonction d'aire et 
c'est l'unique fonction d'aire associ\'ee \`a $f$ sur $[a,b]$.
\end{proposition}

\begin{preuve}
La v\'erification des trois propri\'et\'es qui caract\'erisent une fonction d'aire est 
facile. Montrons l'unicit\'e~:
Supposons que $A^1_f(a,b)$ et $A^2_f(a,b)$ soient deux fonctions d'aire standard 
et 
supposons que $g$ et $h$ sont les deux fonctions en escalier sur 
$(x_i)_{i=1..n}$ qui 
encadrent $f$. On a, par la propri\'et\'e du rectangle, pour $j=1$ et $j=2$,
$$\int_{x_i}^{x_{i+1}}g(x)dx\leq A^j_f(x_i,x_{i+1})\leq\int_{x_i}^{x_{i+1}}h(x)dx$$
sur chaque intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ et donc aussi sur l'intervalle $[a,b]$ par 
la propri\'et\'e d'addition. Donc $A^1_f(a,b)\simeq A^2_f(a,b)$, puisque les int\'egrales de 
$g$ et $h$ sont \ives, ce qui entraine l'\'egalit\'e puisque ces deux quantit\'es 
sont standard.
\end{preuve}
\medskip

En premi\`ere ann\'ee, nous avons fait le choix de ne traiter des fonctions 
continues qu'au second semestre, car nous constatons que cette notion demande 
plus de maturit\'e de la part des \'etudiants que la d\'erivabilit\'e et 
l'int\'egrabilit\'e dont l'\'etude se pr\`ete plus \`a une activit\'e op\'eratoire. Il nous 
est n\'eanmoins n\'ecessaire, pour les deux r\'esultats fondamentaux suivants, 
d'avoir une notion de continuit\'e sur un intervalle ferm\'e born\'e. Dans ce cas 
nous pouvons adopter la d\'efinition suivante, par la restriction habituelle 
aux $x'$ presque standard~:
\medskip

\begin{definition}
Une fonction standard $f:[a,b]\longrightarrow\mbox{\Bbb{R}}$ est dite {\em continue }\nop \ssi pour tous 
$x'$ et $x''$ dans $[a,b]$ on a 
$$x'\simeq x''\Rightarrow f(x')\simeq f(x'').$$
La continuit\'e est une propri\'et\'e standard.
\end{definition}

\begin{proposition}
Toute fonction continue $f:[a,b]\rightarrow\mbox{\Bbb{R}}$ est int\'egrable.
\end{proposition}
La preuve de cette proposition d\'ecoule facilement du lemme suivant~:

\begin{lemme}\label{deltatf}
Pour toute fonction standard continue $f:[a,b]\rightarrow\mbox{\Bbb{R}}$ et tout intervalle \ip\ 
$[x,x+\varepsilon]\subseteq[a,b]$ ($\varepsilon>0$ \ip), il existe $\alpha>0$ \ip \ tel que
$$f(x)-\alpha\leq f(\xi)\leq f(x)+\alpha$$
pour tout $\xi\in[x,x+\varepsilon]$
\end{lemme}

\begin{preuve}(du lemme)
Par continuit\'e de $f$, $|f(x)-f(\xi)|$ est \ip\ pour tout $\xi\in[x,x+\varepsilon]$, puisque 
$\varepsilon\simeq0$. Par la proposition \ref{supinfodg}, $\alpha:=\Sup_{\xi\in[x,x+\varepsilon]} |f(x)-f(\xi)|$ est 
\'egalement \ip.
\end{preuve}

\begin{preuve}(de la proposition)
Par transfert, il suffit de montrer la proposition pour une fonction $f$ 
standard. 
On choisit un d\'ecoupage fin $(x_i)_{i=1..n}$ quelconque. Pour tout 
$[x_i,x_{i+1}]$, soit $\alpha_i\simeq0$ comme au lemme \ref{deltatf}, et pour $x\in[x_i,x_{i+1}]$,
$g(x)=f(x_i)-\alpha_i$ et $h(x)=f(x)+\alpha_i$. 
On a $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ par construction. En prenant pour $\alpha$
le plus grand des nombres $2\alpha_i$, qui est  \ip\  puisque chacun de 
ces nombres l'est, on a donc 
$$0\leq\int_a^bh(x)dx-\int_a^bg(x)dx=\sum_{i=0}^{n-1}2\alpha_i(x_{i+1}-x_i)\leq\alpha\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)=\alpha(b-a)\simeq0.$$

\end{preuve}

\subsection{Le th\'eor\`eme fondamental de l'analyse}
\begin{theoreme}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ et soit $F(x)$ la 
fonction d\'efinie par $x\mapsto F(x):=\int_a^xf(\xi)d\xi$. Alors $F$ est une fonction 
de classe ${\cal{C}}^1$ sur $]a,b[$, de d\'eriv\'ee $F'(x)=f(x)$.
\end{theoreme}

\begin{preuve}

Par transfert, on peut supposer $f$, $a$, $b$, et donc $F$ standard. Il 
suffit donc de v\'erifier qu'en tout point $x\in]a,b[$ et pour tout $\delta x\simeq0$ on a~:
$$\frac{F(x+\delta x)-F(x)}{\delta x}=f(x)+\beta$$
avec $\beta$ infiniment petit. 
Quitte \`a poser $x':=x+\delta x$ et donc $x=x'+(-\delta x)$, on peut supposer que $\delta x\geq0$.
Comme $f$ est standard continue, par le lemme 
\ref{deltatf}, il existe $\alpha\simeq0$ tel que 
$$f(x)-\alpha\leq f(\xi)\leq f(x)+\alpha$$ 
en tout point $\xi$ de $[x,x+\delta x]$, et donc
$$-\alpha\cdot\delta x\leq\int_x^{x+\delta x}(f(\xi)-f(x))d\xi\leq\alpha\cdot\delta x$$ 
d'apr\`es la propri\'et\'e du rectangle.
On a donc~:
\begin{eqnarray*}
F(x+dx)-F(x)=\int_x^{x+\delta x}f(\xi)d\xi&=&\int_x^{x+\delta x}(f(\xi)-f(x))d\xi+\int_x^{x+\delta x}f(x)d\xi\\
&=&\beta\cdot\delta x+f(x)\cdot\delta x.\\
\end{eqnarray*}
avec $|\beta|\leq\alpha\simeq0$, puisque
$$\beta:=\frac{\displaystyle\int_x^{x+\delta x}(f(\xi)-f(x))d\xi}{\delta x}.$$
\end{preuve}

%\input{intdbl}
\section{Int\'egrale multiple}

Dans son manuel \cite{Keisler}, J. Keisler propose une construction non 
standard de l'int\'egrale multiple, mais n'\'etablit pas la formule de changement 
de variable, sauf pour les coordonn\'ees polaires.
Dans son cours de math\'ematiques de premier cycle \cite{Dixmier}, J. Dixmier 
ne d\'emontre pas non plus cette formule. On sait le r\^ole qu'a eu ce manuel pour 
porter vers les ``petites classes" le style inimitable de N. Bourbaki. Il 
n'en est que plus remarquable d'y trouver une pleine page (Tome II, p 252) 
dont le but est de ``[\ldots] {\em retrouver heuristiquement la formule de changement 
de variable }[\ldots] {\em Imaginons }\nop $A'$ {\em d\'ecoup\'e en une infinit\'e de rectangles 
infiniment petits de c\^ot\'es parall\`eles \`a }\nop $Ox$ {\em et }\nop $Oy$. {\em Alors }\nop 
$\intdbl_{A'}f(x,y)dxdy$ {\em appara\^\i t comme une somme infinie de quantit\'es 
infiniment petites. }[\ldots] {\em Au voisinage imm\'ediat de }\nop $(s,t)$ {\em on peut 
(47.2.8) confondre }\nop $\varphi$ {\em avec l'application affine tangente }\nop $\psi$ [\ldots]"
L'auteur du pr\'esent article n'est pas loin de penser que son int\'er\^et pour 
l'introduction de l'ANS dans son propre enseignement est, au moins 
inconsciemment, d\^u au d\'esir de mettre en forme cette belle id\'ee.

Rapport\'e par J. Mawhin dans \cite{Mawhin:analyse} parmi les nombreuses et 
d\'electables citations qui couronnent chacun des chapitres, J. T. Schwartz 
[1954] indique que `` {\em transformer cette approche heuristique en une preuve 
rigoureuse n'est pas enti\`erement trivial   }\nop  [\ldots] {\em La principale difficult\'e 
de cette d\'emonstration est l'obtention du parall\'el\'epip\`ede int\'erieur \`a }\nop 
$\varphi({\cal{P}})$ [\ldots]

Voici un r\'esultat qui traite de ce probl\`eme au moyen de l'ANS, et qui doit 
permettre d'\'etablir la formule de 
changement de variable au moyen du calcul asymptotique de Van den Berg. On y 
verra comment la caract\'erisation non standard des fonctions ${\cal{C}}^1$ et l'usage 
des ordres de grandeur rend l'obtention du parall\'elogramme int\'erieur 
certe diff\'erente de celle du parall\'el\'epip\`ede exterieur, mais gu\`ere plus 
difficile.
\medskip

Soit $\varphi:{\cal{U}}\longrightarrow{\cal{V}}$ un ${\cal{C}}^1$ diff\'eomorphisme standard entre les ouverts ${\cal{U}}$ et 
${\cal{V}}$ de $\mbox{\Bbb{R}}^d$.
Notons ${\cal{P}}$ le cube (standard) de cot\'e unit\'e centr\'e  en $0$. 
Soit $p$ un point quelconque de ${\cal{U}}$, presque standard dans ${\cal{U}}$, et $\varepsilon>0$ \ip.
L'image ${\cal{Q}}:=\varphi(p+\varepsilon{\cal{P}})$ du cube centr\'e au point $p$ et de cot\'e $\varepsilon$ {\em n'est 
g\'en\'eralement pas un parall\'el\'epip\`ede}, 
mais il est compris entre deux tels parall\'el\'epip\`edes dont la mesure de la 
diff\'erence est \ipe \ {\em devant le volume de chacun}. En effet~:

\begin{proposition}
Il existe $\delta>0$ \ip \ tel que, en posant $\mu_-:=1-\delta<1<1+\delta=:\mu_+$, on a
\begin{equation}
\label{inclusions}
{\cal{Q}}_-:=\varphi(p)+\mu_-L[\varepsilon{\cal{P}}]\subseteq{\cal{Q}}:=\varphi(p+\varepsilon{\cal{P}})\subseteq\varphi(p)+\mu_+L[\varepsilon{\cal{P}}]=:{\cal{Q}}_+
\end{equation}
o\`u $L:=D\varphi(p)$, la diff\'erentielle de $\varphi$ au point $p$.
\end{proposition}
\enreserve{
Rappelons que si on note $\vol$ le volume d'un parall\'el\'epip\`ede , on aura 
donc
$$\frac{\vol {\cal{Q}}_\pm}{\vol {\cal{P}}}=|\jac \varphi(p)| \mu_\pm^d=|\jac \varphi(p)| (1+\zerobar).$$}

\noindent Nous utiliserons le lemme suivant~:
\begin{lemme}\label{LU}
Soit $L_0:\mbox{\Bbb{R}}^d\longrightarrow\mbox{\Bbb{R}}^d$ standard, lin\'eaire (donc continue), et inversible, et 
soit $L:\mbox{\Bbb{R}}^d\longrightarrow\mbox{\Bbb{R}}^d$ lin\'eaire telle que $L\simeq L_0$.
Soient $U_1$ et $U_2$ deux vecteurs~; si $L[U_1]\simeq L[U_2]$, alors $U_1\simeq U_2$, et en 
particulier $\Vert U_1\Vert\simeq\Vert U_2\Vert$, o\`u $\Vert\;\;\Vert$ d\'esigne une norme standard quelconque.
\end{lemme}

\begin{preuve}(du lemme)
En posant $E:=U_1-U_2$, il suffit de montrer que $L[E]\simeq0\Rightarrow E\simeq0$.
Notons que, comme $L_0$ est standard inversible continue, $L_0[E/\Vert E\Vert]$ est 
appr\'eciable.
A pr\'esent, comme $E/\Vert E\Vert$ est \lmt \  et $L\simeq L_0$, on a
$$L[E/\Vert E\Vert]=L_0[E/\Vert E\Vert]+\zerobar.$$
Posons $F:=L[E]$, qui est \ip \ par hypoth\`ese. On a
$$F=\Vert E\Vert\:L[E/\Vert E\Vert]=\Vert E\Vert\:(L_0[E/\Vert E\Vert]+\zerobar)=\Vert E\Vert\:(@+\zerobar)=\Vert E\Vert\:@.$$
Comme $F$ est \ip, l'examen des r\`egles de Leibniz pour le produit montre que 
$\Vert E\Vert\simeq0$ et donc que $E\simeq0$.
\end{preuve}

\begin{preuve}(de la proposition)
Il suffit de montrer que (\ref{inclusions}) est vrai pour tout 
$\delta\in]0,\frac{1}{2}]$ {\bf non \ip}. En effet, l'ensemble 
${\cal{I}}$ des $\delta\in]0,\frac{1}{2}]$ satisfaisant 
(\ref{inclusions}) est un ensemble {\em interne}, alors que $]0,\frac{1}{2}]$ 
priv\'e de ses \ips \ est externe (il est minor\'e sans plus grand minorant)~; si 
${\cal{I}}$ contient tous les \'el\'ements non \ip \ de $]0,\frac{1}{2}]$, il 
contiendra donc aussi des $\delta\simeq0$.
\smallskip

Soit donc $\delta\in]0,\frac{1}{2}]$ appr\'eciable, et soient 
$\mu_-:=1-\delta\landnotsim1\landnotsim1+\delta=:\mu_+.$
Soit $\Vert\;\;\Vert$ la norme (standard) sur $\mbox{\Bbb{R}}^d$ telle que ${\cal{P}}$ soit la boule unit\'e 
centr\'ee en $0$ pour cette norme. 
Soit $p_0$ le standard \iv \ de $p$, et $L_0:=D\varphi(p_0)$~; comme $\varphi\in{\cal{C}}^1$, $L\simeq L_0$.
\medskip

\noindent
{\bf La seconde inclusion} de (\ref{inclusions}) est simple~; commen\c\nop{}cons par 
l\`a.

Soit $p+\varepsilon U\in p+\varepsilon{\cal{P}}$ un point quelconque de ce cube (et donc $\Vert U\Vert\leq1$).
Comme $\varphi\in{\cal{C}}^1$, on a 
$$\varphi(p+\varepsilon U)=\varphi(p)+\varepsilon(L[U]+F),$$
o\`u $F$ est \ip. Soit $V:=L^{-1}[L[U]+F]$, de fa\c\nop{}con \`a ce que
$$\varphi(p+\varepsilon U)=\varphi(p)+L[\varepsilon V].$$
Comme $L[V]=L[U]+F\simeq L[U]$, le lemme \ref{LU} implique que
$$\Vert V\Vert\simeq\Vert U\Vert\leq1\landnotsim\mu_+,$$
et donc $\Vert V\Vert<\mu_+$, ce qui montre que $\varphi(p+\varepsilon U)\in\varphi(p)+\mu_+L[\varepsilon{\cal{P}}]$, d'o\`u la seconde 
inclusion.
\medskip

\noindent
{\bf La premi\`ere inclusion} de (\ref{inclusions}) introduit une \'echelle 
microscopique $\alpha$ qu'il convient tout d'abord d'\'evaluer par rapport \`a $\varepsilon$. 
En effet, soit 
$$q'=\varphi(p)+\mu_-L[\varepsilon U]$$
un \'el\'ement quelconque du parall\'el\'epip\`ede ${\cal{Q}}_-$ 
(et donc $\Vert U\Vert\leq1$). 
Par continuit\'e de $\varphi$, on a
$q'\simeq\varphi(p)\simeq\varphi(p_0)=:q_0\in{\cal{V}},$ 
o\`u $q_0$ est standard puisque $p_0$ et $\varphi$ le sont. Comme ${\cal{V}}$ est ouvert, on a 
$q'\in{\cal{V}}$. Soit $p':=\varphi^{-1}(q')$.
Par continuit\'e de $\varphi^{-1}$, on a
$$p':=\varphi^{-1}(q')\simeq\varphi^{-1}(q_0)=p_0\simeq p.$$
Il existe donc $\alpha\simeq0$ et $A\in\mbox{\Bbb{R}}^d$ appr\'eciable tels que 
$$p'=p+\alpha A,$$
par exemple $\alpha:=\Vert p'-p\Vert\simeq0$ et $A:=(p'-p)/\Vert p'-p\Vert$. Comme $\varphi$ est ${\cal{C}}^1$ on a 
\begin{equation}
\label{versionalpha}
\varphi(p)+\varepsilon L[\mu_-U]=:q'=\varphi(p')=\varphi(p+\alpha A)=\varphi(p)+\alpha(L[A]+\zerobar)
\end{equation}
d'o\`u
$$L[\mu_-U]=\frac{\alpha}{\varepsilon}(L[A]+\zerobar).$$
Comme le membre de gauche est limit\'e, il en est de m\^eme du membre de droite, 
et comme $L[A]+\zerobar=L_0[A]+\zerobar+\zerobar$ est appr\'eciable, $\alpha/\varepsilon=:l$ est limit\'e. Donc
$$p'=p+\varepsilon P,$$
avec $P:=lA$ limit\'e. Ainsi (\ref{versionalpha}) peut se r\'e\'ecrire
\begin{equation}
\label{versionepsi}
\varphi(p)+\varepsilon L[\mu_-U]=:q'=\varphi(p')=\varphi(p+\varepsilon P)=\varphi(p)+\varepsilon(L[P]+\zerobar),
\end{equation}
d'o\`u
$$L[\mu_-U]\simeq L[P].$$
Par le lemme \ref{LU}, nous avons $\Vert P\Vert\simeq\Vert\mu_-U\Vert\leq\mu_-\landnotsim1$, d'o\`u $\Vert P\Vert<1$, et donc 
$P\in{\cal{P}}$. Nous avons bien montr\'e que $q'=\varphi(p')=\varphi(p+\varepsilon P)\in\varphi(p+\varepsilon{\cal{P}})={\cal{Q}}$.

\end{preuve}

%\input{concl}
\section{En guise de conclusion}

L'enseignement universitaire des math\'ematiques, en France tout au moins, 
traverse actuellement une crise somme toute curieuse. Un grand nombre 
d'\'etudiants continuent \`a souhaiter suivre des \'etudes de math\'ematiques ou des 
cursus pr\'esentant une forte proportion de math\'ematiques. Mais ce mouvement 
s'accompagne d'une demande de math\'ematiques purement op\'eratoires o\`u, si l'on 
suivait cette demande, on fournirait un catalogue de situations types, 
accompagn\'ees chacunes de la m\'ethode calculatoire fournissant la solution~; 
l'activit\'e math\'ematique serait alors, en fait, assez pr\'ecis\'ement ce 
qu'offrent des logiciels tels que mathematica ou Maple. Bien entendu le 
ph\'enom\`ene n'est pas neuf, et seul son intensit\'e est inhabituelle.

En ce qui concerne l'enseignement de l'analyse, notre attitude devant cette 
demande, que l'on s'accorde \`a consid\'erer comme inad\'equate, a \'et\'e de faire de 
notre mieux pour pousser les \'etudiants \`a constamment chercher un sens aux 
d\'efinitions et r\'esultats qu'ils apprennent, un peu comme le Physicien donne 
un sens \`a une vitesse, \`a une probabilit\'e de pr\'esence, ou \`a un op\'erateur 
autoadjoint, mais en restant dans le cadre purement math\'ematique, et plus 
pr\'ecis\'ement, g\'eom\'etrique.
Bien entendu la notion d'ordres de grandeur sur les nombres, telle que la 
permet l'extension du langage des math\'ematiques offerte par Nelson dans 
\cite{Nelson:IST}, mais aussi, et de fa\c\nop{}con alternative, dans 
\cite{Nelson:yyyy}, sont une aide consid\'erable.

Voil\`a pour la s\'emantique. Mais nous pensons avoir montr\'e ici que ces 
ordres de grandeur ont \'egalement une efficacit\'e op\'erationnelle. Ils se 
pr\`etent \`a un calcul symbolique, donc \`a une 
activit\'e purement finitaire. Il y a l\`a une apparence de paradoxe~: ce qui sans 
doute caract\'erise l'analyse au sein des math\'ematiques, c'est son recours 
intensif \`a un infini actuel, un concept quasiment m\'etaphysique par rapport 
aux autres pratiques du Math\'ematicien, g\'en\'eralement bien plus attach\'e \`a 
des objets finitaires. 
Par exemple la g\'eom\'etrie n'a que faire du 
caract\`ere actuellement infini  du plan ou d'une droite~; seul 
importe la possibilt\'e de consid\'erer un point ou une droite 
distincts de ceux qu'une construction a d\'ej\`a introduits. 
Le fait est que 
l'analyse, et son recours \`a l'infini actuel, fournit un cadre 
intellectuel o\`u s'\'elabore de nouveaux contextes finitaires, tels que la 
g\'eom\'etrie diff\'erentielle et la cohorte d'activit\'es alg\'ebriques qu'elle 
alimente.
Un autre exemple d'activit\'e finitaire issue de l'analyse 
\`a l'impact plus visible hors des math\'ematiques, 
est le calcul formel sur ordinateur, permettant \`a un r\'eseau de transistors 
d'associer $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ \`a {\tt int(x\^\espace n,x){\tt;}}\nop . 
L\`a, l'int\'er\^et de l'apport 
d'E. Nelson est d'avoir indiqu\'e qu'il n'y a gu\`ere de m\'etaphysique ici, mais 
seulement une ``mani\`ere de parler", une syntaxe, qui d\'ebouche sur un vrai 
calcul sur des formules quantifi\'ees. Indiquons que Y. P\'eraire a montr\'e 
\cite{Peraire:Osaka,Peraire:Missouri}
comment enrichir 
ce calcul au point que la preuve automatique de th\'eor\`emes d'analyse parait 
maintenant un projet tout-\`a-fait raisonnable.
\medskip

Notre ambition est, \`a pr\'esent, de faire comprendre ce message \`a 
ceux qui ont en charge la mission d'enseigner les math\'ematiques. 
Les infiniment petits et les infiniment grands avaient \'et\'e banis des discours 
math\'ematiquement corrects.
Il est urgent de faire tomber les tabous qui ont frapp\'e l'usage des ordres de 
grandeur dans l'enseignement des math\'ematiques~: on y gagne un moyen de 
communiquer les id\'ees fondamentales de l'analyse.

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