Oscillations de relaxation dans un modèle de peche

Francine Diener

Laboratoire de Mathmatiques URA 168 CNRS Universit de Nice Parc Valrose 061O8 NICE Cedex 2

25 août 1999

1 Introduction

Un modèle dynamique d’exploitation d’une ressourse renouvelable fait intervenir au moins deux dynamiques, dépendantes l’une de l’autre : d’une part la croissance naturelle de la ressource exploitée, gouvernée principalement par des lois biologiques ou environnementales ; d’autre part le niveau d’exploitation de la ressource, qui, lui, dépend pour l’essentiel de lois économiques ou sociales. Les modèles les plus simples [8] [15] [4] se présentent sous la forme d’un système de deux équations différentielles dont les inconnues sont généralement la quantité de poissons, mesurée en nombre de poissons ou en biomasse, et l’effort de pêche, mesuré par exemple en nombre de bateaux utilisés. Leur étude permet de mettre en évidence divers comportements, convergence vers un équilibre stable, appelé équilibre bionomique, présence d’oscillations, dans certaines situations, extinction, etc …, selon les lois biologiques ou économiques retenues.

Un facteur cependant ne semble pas avoir été généralement pris en compte dans ces études : le fait que les ordres de grandeur des taux de variation des deux variables puissent être très différents. Il n’y a pas de raison en effet de limiter l’étude aux cas où les deux variables évoluent approximativement à la même vitesse. Il est naturel au contraire d’envisager le cas où par exemple l’effort de pêche varirait beaucoup plus rapidement que la population de poissons ; c’est cette hypothèse que nous adoptons par la suite. Elle correspond à l’idée qu’il est possible, par un changement de politique économique, de diminuer rapidement l’effort, dans le cas par exemple d’une chute des prix du marché, alors qu’il est plus difficile de s’appuyer sur une croissance brutale de la ressource. Bien entendu, l’hypothèse inverse d’une croissance forte de la ressource par opposition à une évolution lente de l’effort, tenant compte par exemple des difficultés de reconversion des exploitants, pourrait aussi être retenue (c’est celle de [4], p322 par exemple). Mais l’étude mathématique de ce second cas est analogue à celle du cas que nous avons choisi, et les conclusions sont de même nature.

Plusieurs questions se posent : le fait de supposer l’un des taux de variation beaucoup plus grand que l’autre conduit-il à de nouveaux comportements? Comment modéliser ce beaucoup plus grand et comment cela intervient-il dans l’étude mathématique du modèle? L’objectif de cet article est de proposer des éléments de réponse à ces questions : il s’agit de remplacer les classiques systèmes dynamiques étudiés dans ce contexte par des systèmes lents-rapides et de montrer que les outils mathématiques (méthodes de perturbations singulières) mis au point pour l’étude de ces systèmes sont simples et opérationnels. Nous verrons notamment que, loin de compliquer l’analyse du modèle, cette approche peut la simplifier et parfois la rendre plus précise. S. Rinaldi et S. Muratori [10][14][13] qui ont étudiés d’intéressants modèles proie-prédateur de type lents-rapides justifient leur approche en indiquant que les oscillations très particulières, dites oscillations de relaxation, que ce genre de modèles produit, présentant des variations brutales, parfois spectaculaires, de l’une des variables, correspondent à des comportements fréquemment observés dans les écosystèmes. On peut penser que cette remarque s’applique également aux modèles de gestion de ressource.

Ce papier est organisé comme suit : au paragraphe 2, on présente et discute le modèle bio-économique retenu, en introduisant l’hypothèse lente-rapide. Ce modèle est volontairement très simple, puisqu’en particulier il ne retient que deux variables dont les évolutions sont gouvernées par des lois biologiques et économiques très grossières elles aussi. L’intéret du modèle réside dans le fait que de par sa simplicité, on peut en faire une étude mathématique complète. Elle fait l’objet du paragraphe 3 et sera l’occasion de montrer certains outils mathématiques pour l’étude des systèmes lents-rapides, essentiellement la méthode du plan d’observabilité et la fonction entrée-sortie d’un canard. Bien entendu il serait possible, et certainement intéressant, d’utiliser cette même approche lent-rapide pour étudier des modèles moins simplifiés de gestion d’une ressource. Mais, du fait de sa simplicité, ce modèle est en quelque sorte un

Figure 1: Divers types de taux de croissance biologiques.

exemple type, de système bio-économique présentant des oscillations de relaxation, comme l’équation de Van der Pol en mécanique ou en physique. Le paragraphe 4 comporte une discussion, en termes de comportement des variables, de l’hypothèse lente-rapide adoptée.

2 Un modèle de pêche lent-rapide

Le premier modèle dynamique de pêche est dû à V.L. Smith qui a généralisé le modèle de Gordon en supposant dynamique non seulement la taille de la ressource mais aussi l’effort de pêche. Le modèle que nous étudions ici est très semblable à celui de Smith. Il est donné par les équations différentielles suivantes :

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & F (x) − h(x, E) \\ \frac{dE}{dt} & = & kR(x, E) \end{matrix}  (1)

où la quantité x(t) désigne la taille à l’instant t de la ressource et la quantité E(t) l’effort de pêche à l’instant t. La fonction F (x) désigne le taux de croissance naturel biologique de la ressource (taux de natalité moins taux de mortalité (hors pêche)) ; la fonction h(x, E) représente, du point de vue de la ressource, le taux de mortalité par pêche, et du point de vue de l’exploitant, sa fonction de production ; k est un coefficient de réaction ; et enfin R(x, E) est la rente procurée par la pêche (revenus moins coûts).

Diverses hypothèses concernant l’exploitation de la ressource sont ici sous entendues. Il s’agit d’une part d’un modèle aggrégé, c’est-à-dire que tous les exploitants de la ressource sont considérés comme agissant de concert comme un producteur unique. Par ailleurs la forme de la première équation (modèle de Schaeffer) suppose un taux de croissance naturel indépendant de l’action du producteur ce qui correspond à une exploitation de type cueillette, et écarte la prise en compte par ce modèle d’un type d’exploitation dans laquelle le producteur pourrait, par son action, favoriser (ou au contraire freiner) la croissance de la ressource qu’il exploite. Enfin, et c’est probablement l’hypothèse la moins innocente, la seconde équation suppose que la variation de l’effort est simplement proportionnelle au profit. C’est l’hypothèse de rente nulle selon laquelle un producteur tend vers une position d’équilibre où ses coûts marginaux compensent exactement ses revenus marginaux. En particulier, cela suppose qu’il agit en l’absence de toute règlementation et également qu’il ne possède aucune stratégie d’avenir. Enfin on sera amené, pour simplifier, à exprimer la rente R(x, E) à l’aide d’un prix p que l’on choisira fixe (et exogène).

Précisons à présent quelles hypothèses peuvent être faites sur les fonctions F, h, R et sur la constante k.

Le choix le plus courant pour la fonction F (x) est celui d’une croissance logistique F (x) = rx(1−x/K), où r et K sont des constantes strictement positives représentant respectivement le taux de croissance intrinsèque et le niveau de saturation, niveau limite, jamais atteint par la population lorsqu’elle ne cesse de croître. Dans ce cas, le taux de croissance par unité de biomasse, \frac{F (x)}{x}, est monotone décroissant, c’est-à-dire que le taux de croissance diminue constamment à mesure que la population x augmente. On préfère parfois choisir pour F (x) une autre fonction pour laquelle cette hypothèse de monotonie n’est satisfaite que pour les valeurs de x proches du niveau de saturation mais pas nécessairement pour les petites valeurs de x. Ce phénomène, que les biologistes appellent dépensation ou dépensation critique [4] correspond à des fonctions F (x) dont le graphe a l’allure indiquée sur la figure 1.

La fonction h(x, E) mesure la quantité de poissons péchés par unité de temps. Elle est fonction de l’effort de pêche, c’est-à-dire de la plus ou moins grande énergie déployée par les pécheurs pour exploiter la ressource et aussi, biensûr, de la quantité de poissons disponible, puisqu’à effort constant la pêche

Figure 2: Divers types de taux de pêche.

est plus ou moins bonne selon que le poisson est plus ou moins abondant. Pour simplifier, on suppose souvent que h est une fonction linéaire de E mais ce n’est pas essentiel. Parfois on choisit aussi h linéaire en x. Cependant, la quantité de bateaux et de travail disponible étant évidemment bornée, il est plus raisonnable de supposer que la pêche ne peut croître indéfiniment avec la quantité de poissons. Cette hypothèse, appelée saturation, correspond à un choix de h̃(x) = \frac{h(x,E)}{E} comme indiqué sur la figure 2. On prendra par exemple h̃(x) = \frac{x}{α+βx}, α > 0, β > 0 (voir par exemple [12]). Cette hypothèse de saturation est l’analogue dans ce modèle de l’hypothèse de limitation de la réponse du prédateur dans les modèles proie-prédateur de type Hollings.

La fonction R(x, E) représente la rente économique. Il est habituel de choisir une expression du type R(x, E) = ph(x, E) − c(E), où p est le prix de marché de la ressource, qui sera supposé, comme nous l’avons dit, fixe dans le temps et indépendant à la fois de la quantité produite et du niveau de la ressource, ce qui est une hypothèse très restrictive ; la fonction c(E) est le coût de production au niveau d’effort E. Il convient de le comprendre comme un coût d’opportunité, c’est-à-dire tenant compte à la fois des coûts effectifs de l’exploitation (entretien des bateaux, salaires, …) et d’un coût non effectif mesurant le fait de ne pas avoir eu une activité alternative plus rentable (pêche d’un autre poisson, activité autre que la pêche, …). La forme la plus souvent retenue pour cette fonction c(E) (c’est celle choisie par Gordon puis Smith) est simplement celle d’une fonction linéaire de E, soit c(E) = cE, où c est une constante. Nous adopterons cette hypothèse pour l’étude mathématique qui suit mais nous discuterons en conclusion ses conséquences et les possibilités de généralisation.

Il nous reste à préciser nos hypothèses sur le coefficient k. Ce coefficient mesure la réaction ou la réponse de l’exploitant dans le choix de son niveau d’effort compte tenu de son profit. S’il est grand, ce que nous supposerons, cela signifie que l’exploitant peut faire varier très rapidement son effort. Précisons qu’il ne s’agit pas de le supposer grand dans l’absolu, mais bien par rapport au taux de variation de la ressource elle-même. L’hypothèse d’un coefficient k grand permet de modéliser un comportement de type tout ou rien : si la pêche est rentable, presque tous les pêcheurs mobiliseront rapidement toutes leurs forces pour profiter de la situation et si elle cesse d’être rentable, le plus grand nombre arrêtera très vite de pécher. C’est ce type de comportement caricatural que l’on peut tenter de modéliser avec un système lent-rapide de type (1). Dans son aspect le plus extrême, c’est celui de la ruée vers l’or, de l’eldorado. Il sous entend biensûr qu’une solution de replis existe pour l’exploitant qui abandonne tout ou partie de l’exploitation.

La méthode la plus simple pour rendre compte mathématiquement de la présence de différents ordres de grandeur dans un problème de ce type est l’utilisation du langage non standard ^{1}. On supposera tout simplement que k est un nombre réel infiniment grand (ig) et que les autres coefficients du systèmes sont, eux, non ig. Sous cette hypothèse le système différentiel (1) devient un système lent-rapide.

1Il s’agit d’une version moderne du calcul infinitésimal qui permet d’utiliser de façon parfaitement rigoureuse à l’intérieur de mathématiques classiques des notions telles que celle de nombres infiniment petits ou celle de nombres infiniment voisins.

Il existe de nombreux ouvrages de présentation de l’analyse non standard [7][3][9] auxquels nous renvoyons le lecteur.

Cependant le lecteur non averti pourra lire et comprendre ce qui suit en donnant simplement aux termes non standard, tels que infiniment petit ou infiniment grand, leur sens intuitif.

Figure 3: Schéma des trajectoires d’un champs lent-rapide

3 Etude mathématique du modèle

Un système d’équations différentielles de la forme

\{ \begin{matrix}x′ & = & f(x, y) \\ y′ & = & kg(x, y) \end{matrix}  (2)

où k est un paramètre ig et où f et g sont des fonctions prenant des valeurs limitées, c’est-à-dire non ig, aux points (x, y) limités, est appelé un système lent-rapide. Les trajectoires d’un tel champs dans le plan (x, y) ont une allure très simple à décrire : en tout point (x, y) limité, le vecteur tangent à la trajectoire passant par ce point a une composante horizontale (c’est la fonction f(x, y)) limitée et une composante verticale (la fonction kg(x, y)) ig, sauf éventuellement aux points où la fonction g(x, y) est ip. On trace donc, dans le plan (x, y) la courbe d’équation g(x, y) = 0. Les trajectoires de (2) sont, à un ip près, des verticales x = Cste, sauf le long de cette courbe (Fig. 3) ; le sens de parcours des verticales est donné par le signe de g, le sens de parcours le long de cette courbe par le signe de f. Il est donc facile en général d’avoir une idée de l’allure des trajectoires d’un champs lent-rapide de ce type. Notons cependant que lorsqu’une trajectoire presque verticale atteind des ordonnées y ig la fonction f peut devenir à son tour ig et le champs de vecteurs cesser d’être quasi vertical, f(x, y) et kg(x, y) étant éventuellement de même ordre de grandeur. Une étude spéciale est alors nécessaire si l’on veut connaître le comportement des trajectoires dans la région du plan où y est ig. Voici comment l’on procède. Dans un contexte plus général, ceci porte le nom de méthode du plan d’observabilité ([5],[6]).

3.1 Comportement des trajectoires lorsque la variable rapide est ig

Réécrivons le système (2) sous la forme (équivalente lorsque f(x, y) ne s’annule pas) :

\frac{dy}{dx} = k \frac{g(x, y)}{f(x, y)}.

Supposons que, pour y ig, les fonctions f et g soient infiniment proches de fonctions linéaires en y (ce qui est le cas dans le modèle considéré ici), c’est-à-dire de la forme

\frac{g(x, y)}{f(x, y)} ≃ \frac{a(x)y + b(x)}{c(x)y + d(x)}.  (3)

Le changement d’échelle \overline{y} = \frac{y}{k} tranforme alors l’équation, dans la région où y est ig, en

\frac{d\overline{y}}{dx} = \frac{a(x)}{c(x)} + o /

où o / est ip^{2}. Il est donc facile d’en déduire le comportement des solutions à un infiniment petit près, lorsque y est ig:

\overline{y}(x) ≃ ∫_{0}^{x} \frac{a(ξ)}{c(ξ)}dξ + Cste.

2On utilise le symbole o / pour désigner une fonction que l’on n’éprouve pas le besoin de préciser d’avantage hormis le fait qu’elle est ip. On notera que le même symbole peut représenter dans une formule ou dans des formules différentes des fonctions distinctes.

(a) (b)

Figure 4: (a) : Trajectoires du champs lent-rapide : elles sont presque verticales, ascendantes si x > x_{∗} et descendantes si x < x_{∗}, sauf infiniment près des deux droites d’équation x = x_{∗}(= \frac{p−cβ}{cα}) et E = 0.

(b) : Trajectoires du champs lent-rapide lorsque l’effort E devient ig, de l’ordre de k (\overline{E} = E/k).

A noter que lorsque l’hypothèse (3) n’est pas satisfaite, on peut dans bien des cas généraliser cette approche en ajustant le changement d’échelle (voir [5]).

Examinons ce que nous apprend ce calcul dans un cas particulier de système de type (1) de la forme :

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & rx(1 − \frac{x}{K}) − \frac{Ex}{α+βx} \\ \frac{dE}{dt} & = & k (\frac{pEx}{α+βx} − cE) \end{matrix}  (4)

On a choisi ici, pour fixer les idées, un taux de croissance F (x) = rx(1 − \frac{x}{K}) de type logistique, un taux de pèche h(x, E) = \frac{Ex}{α+βx} avec saturation, un revenu ph(x, E) et un coût cE proportionnel à E. Tous les coefficients r, K, α, β, p, c sont supposés positifs. A l’échelle initiale, les trajectoires ont l’allure indiquée sur la figure 4a). Si l’on note \overline{E} = E/k, le calcul précédent montre que dans le plan (x, \overline{E}) les trajectoires sont, à un ip près, les courbes d’équation

\overline{E}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{\frac{pξ}{α+βξ} − c}{\frac{ξ}{α+βξ}}dξ + Cste

soit

\overline{E}(x) = cα ln x − (p − cβ)x + Cste

c’est-à-dire (si p − cβ > 0) que les trajectoires ont, à l’échelle \overline{E}, l’allure indiquée sur la figure 4(b).

On peut déduire de l’étude précédente le comportement suivant : supposons qu’à l’instant initial le niveau de la ressource soit x_{0} et l’effort E_{0} (voir figure 4). Si x_{0} > x_{∗}, la pêche est rentable puisque x_{∗} = \frac{p−cβ}{cα} est précisément la taille de la ressource pour laquelle revenus et coûts s’équilibrent exactement. On n’est donc pas surpris d’observer qu’à partir d’une telle condition initiale, l’effort E va s’accroître. En raison de l’hypothèse faite sur k (k ig), la croissance de E est alors extrêmement brutale et E atteint presque aussitôt des valeurs ig, la population elle n’ayant guère eu le temps de diminuer. Cette augmentation de l’effort finit cependant par faire décroître x, non seulement jusqu’à x_{∗}, mais en fait, et c’est le point intéressant, jusqu’à une valeur x_{1}, qui, comme l’indique l’étude précédente, est liée à x_{0} par la relation

cα ln x_{0} − (p − cβ)x_{0} = cα ln x_{1} − (p − cβ)x_{1}

qui s’écrit encore

ln(\frac{x_{0}}{x_{1}} ) = x_{∗}(x_{0} − x_{1}).  (5)

Lorsque la population atteint des valeurs proches de x_{1}, et seulement à ce moment là, l’effort (qui décroît doucement depuis que x < x_{∗}), diminue brutalement jusqu’à des valeurs ip. Le point important ici est que, bien que la pêche ait cessé d’être rentable à partir du moment où la ressource a diminuée au point de franchir le seuil de rentabilité x_{∗}, l’effort continue, bien que diminuant, à rester élévé jusquà ce que la ressource atteigne la valeur x_{1}. Il s’introduit donc un retard avant que les producteurs puissent tirer les conséquences de la non rentabilité et diminuer fortement leur effortet il est possible de calculer ce retard à un ip près. Lorsque x voisine la valeur x_{1}, liée à x_{0} par la relation (5), l’effort diminue, aussi brutalement qu’il avait augmenté lorsque x était égal à x_{0}, jusqu’à atteindre des valeurs ip.

Figure 5: Un exemple de trajectoire canard : attractive pour x_{−} < x < x_{c} et répulsive pour x_{c} < x < x_{+}.

3.2 Retard au passage d’un point critique : le phénomène canard

Quarrive-t-il lorsque l’effort E est ip? Dans ce cas la variation de E, donnée par la seconde équation de (4), n’est plus nécessairement ig puisque le produit kE n’est plus nécessairement ig. Il s’agit d’étudier ici le comportement des trajectoires d’un champs lent-rapide à proximité de la courbe où s’annule la composante ig du champs, courbe que l’on appelle la courbe lente. Cela demande une étude spéciale que nous allons faire à présent, tout d’abord dans le cas général d’un champs lent-rapide quelconque de type (2) puis dans le cas particulier du système (4).

Comme on peut le voir sur la figure 3, une courbe lente peut généralement être partagée en portions dites attractives parce que les trajectoires issues de points voisins s’en rapprochent et de portions dites répulsives parce que les trajectoires issues de points voisins s’en éloignent. Plus précisément, un point (x_{0}, y_{0}) de la courbe lente (i.e. un point tel que g(x_{0}, y_{0}) = 0) est attractif (respectivement répulsif) si (\frac{g}{f})′_{y}(x_{0}, y_{0}) < 0 (respectivement si (\frac{g}{f})′_{y}(x_{0}, y_{0}) > 0). Les points (x_{0}, y_{0}) pour lesquels (\frac{g}{f})′_{y}(x_{0}, y_{0}) = 0 sont dit critiques. Lorsqu’une trajectoire du champs, jusque là quasi verticale, approche d’une partie attractive de la courbe lente, sa vitesse diminue brutalement et elle se met à longer, à vitesse non ig, d’où le qualificatif de courbe lente, cette courbe, vers la droite (c’est-à-dire dans le sens des x croissants) ou vers la gauche, selon que f (qui est le taux de variation de x) est positive ou négative. La trajectoire longe alors la courbe lente aussi longtemps que celle-ci est attractive (et qu’elle reste dans la partie de coordonnées limitées du plan). Qu’arrive-t-il lorsqu’elle parvient infiniment près d’un point critique? Elle peut soit redevenir rapide c’est-à-dire s’éloigner brutalement de la courbe lente en suivant une verticale, soit continuer à longer sur une certaine distance la partie répulsive, restant ainsi lente un peu plus longtemps, avant de redevenir finalement rapide. Dans ce dernier cas, on dit que la trajectoire est un canard (figure 5) [2][1][16] et on peut montrer que l’abscisse x_{+} où la trajectoire redevient rapide ne dépend que de l’abscisse x_{−} où elle est devenue lente.

La relation entre x_{+} et x_{−} est appelée relation entrée-sortie du canard. On calcule cette relation de la façon suivante : supposons que la courbe g = 0 soit le graphe d’une trajectoire y = g̃(x), un canard évident du champs lent-rapide considéré, et posons z = (y − g̃(x))^{\frac{1}{k}} (on se place par exemple dans le cas où la trajectoire considérée y = g̃(x) est au dessus de g = 0, c’est-à-dire où y − g̃(x) > 0). Ce changement d’échelle est une loupe exponentiellement puissante au voisinage de la trajectoire de référence. L’équation suivante (équivalente au champs lent-rapide (2))

\frac{dy}{dx} = k \frac{g(x, y)}{f(x, y)}

devient

\frac{dz}{dx} = (\frac{g(x, y)}{f(x, y)} − \frac{(g(x, g̃(x))}{f(x, g̃(x))}) (y − g̃(x))^{\frac{1}{k} −1}

soit en remplaçant à la fonction g/f son développement de Taylor au premier ordre

\frac{dz}{dx} = [(\frac{g}{f})′_{y}(x, g̃(x)) + o /] z.  (6)

On résoud facilement cette équation à un ip près (elle est linéaire si l’on néglige o /) et l’on obtient :

z(x) ≃ exp (∫ (\frac{g}{f})′_{y}(ξ, g̃(ξ))dξ) + Cste.

(a) (b)

Figure 6: (a) Trajectoires du champs lent-rapide à l’échelle initiale. (b) Trajectoires du champs lent-rapide lorsque l’effort E devient ip: la fonction entrée-sortie.

Examinons quels renseignements nous fournit cette étude dans le cas du système que nous considérons : reprenons le cas d’un système de type (4) (voir figure 4). Comme le taux de variation de l’effort E a été choisit proportionnel à l’effort lui-même, la trajectoire E = 0 est un canard “évident”, attractif pour x < x_{c} et répulsif pour x > x_{c}, la valeur critique x_{c} étant précisément x_{∗} = \frac{p−cβ}{cα}. Pour déterminer la fonction entrée-sortie, faisons la loupe z = E^{1/k} indiquée ci-dessus, dans l’équation suivante obtenue à partir du système (4) :

\frac{dE}{dx} = k (\frac{pEx}{α + βx} − cE) / (rx(1 − \frac{x}{K}) − \frac{Ex}{α + βx}) .

On obtient, à un ip près, une équation linéaire du type (6) dont les solutions ont la forme

z(x) ≃ exp (∫_{0}^{x} \frac{\frac{pξ}{α+βξ} − c}{rξ(1 − \frac{ξ}{K})}dξ) + Cste

et l’allure indiquée sur la figure 6(b) : on ne s’intéresse ici qu’aux valeurs de z(= E^{1/k}) correspondant à des efforts E ip, donc des valeurs de z inférieures à 1. La fonction entrée-sortie fait donc correspondre à une valeur d’entrée x_{−} une valeur de sortie x_{+} telle que

∫ ^{x_{+}} x_{−} \frac{\frac{pξ}{α+βξ} − c}{rξ(1 − \frac{ξ}{K})}dξ = 0.  (7)

4 Des oscillations de relaxation

On dispose à présent de toutes les pièces du puzzle ; elles vont nous permettre de décrire les trajectoires du système (1). Ces trajectoires sont constituées de portions rapides parcourues à vitesse ig, le long desquelles x ne bouge pratiquement pas et E au contraire varie très brutalement ; entre elles s’intercallent alternativement d’une part des sauts de x entre des valeurs x_{0} et x_{1} liées par la relation (5) durant lesquels E est ig, et d’autre part des portions lentes durant lesquelles E est ip et x augmente lentement d’une valeur x_{−} à une valeur x_{+} liées par la relation (7). Si l’on ne retient que le mouvement x(t), c’est-à-dire l’évolution de la ressource au cours du temps, cette succession de comportements crée des oscillations dites de relaxation car elles sont alternativement constituées de phases rapides et de phases lentes. Ces oscillations de relaxation peuvent être explosives, amorties (et convergentes vers un équilibre) ou périodiques (figure 7) selon les relations (5) et (7) qui les gouvernent.

En général, lorsqu’il existe un cycle, les oscillations plus grandes sont amorties et les plus petites explosives. On appelle alors ce cycle un cycle limite. On trouve des exemples de cycles limites dans des systèmes lents-rapides de type proie-prédateur dans [11]. Dans le cas d’un système du type (1), le choix (arbitraire) suivant des fonctions et paramètres

\{ \begin{matrix}\frac{dx}{dt} & = & x(3 − x) − xE \\ \frac{dE}{dt} & = & 5E(x − 1) \end{matrix}  (8)

(a)  (b)  (c)

Figure 7: Oscillations de relaxation : le cas explosif (a), le cas amorti (b) et le cas périodique (c).

conduit par exemple à un système possédant un cycle limite de relaxation. Durant ce cycle la variable x oscille entre les valeurs x_{−} ≃ 0.21 et x_{+} ≃ 2.99, ces deux valeurs de x vérifiant à la fois la relation (5) et la relation (7).

On peut interpréter ces oscillations en terme de pêche, qu’elles soient amorties, explosives ou périodiques. Pour ce qui est de la partie rapide, on a dit que l’effort de pêche étant brutalement devenu très grand, la population de poissons va être rapidement décimée (c’est-à-dire qu’elle va tomber plus précisément de la valeur x_{0} à la valeur x_{1}) avant que les pêcheurs prennent conscience que la pêche n’est plus du tout rentable à ce niveau de ressource. L’effort tombe alors brusquement à une valeur très petite et y reste, ce qui permet à la population de poissons de se reconstituer lentement (de x_{−} = x_{1} à x_{+}). On notera ici que, bien que la pêche redevienne rentable dès que x dépasse le seuil de rentabilité x_{∗}, le modèle indique ici que les pêcheurs attendront en fait qu’elle atteigne une valeur x_{+} bien supérieure à x_{∗} pour se remettre à pêcher de façon non infinitésimale. Ce retard qui est lié aux solutions canards et que l’on calcule facilement à un infiniment petit près comme on l’a vu, doit être rapproché de l’observation suivante : sur une portion de solution où l’effort est ip, solution dite “lente”, E est non seulement ip mais en réalité de l’ordre de exp(−k), c’est-à-dire exponentiellement petit (on peut s’en assurer en examinant l’équation (6)). Il a donc besoin d’un délai pour redevenir appréciable. On peut tenter une justification de nature économique en observant que lorsqu’une exploitation a été arrêtée parce qu’elle avait cessé d’être rentable, sa remise en marche demande quelques temps, même lorsqu’il est tout-à-fait clair qu’elle est redevenue rentable.

Soulignons que bien que les divers comportements décrits ici ne soient pas fondamentalement différents de ceux fournis par les modèles classiques, le point de vue lent-rapide est intéressant pour deux raisons notamment : tout d’abord pour la modélisation car il permet de rendre compte de variations brutales et de courte durée de l’effort de pêche alternant avec des périodes plus longues où l’effort est quasi nul, ces discontinuités apparentes étant produites par un système dynamique tout à fait lisse et “continue”. Et l’exemple cité ci-dessus (où l’on a choisi k = 5) montre que l’effet lent-rapide existe déjà pour des valeurs modérées du “grand” paramètre k. D’autre part, sur le plan mathématique, le point de vue lentrapide rend possible un calcul explicite, avec une précision de l’ordre de \frac{1}{k}, de la successions des valeurs extrêmes x_{0}, x_{1} = x_{−}, x_{+}, … entre lesquelles la ressource oscille. On peut ainsi donner un sens précis à des expressions telles que “la pêche s’arrête avec une population de poissons égale à x_{−} et reprend avec une population égale à x_{+}”. On peut aussi envisager de calculer pour un modèle donné du type considéré le “nombre d’oscillations nécessaires” pour atteindre un voisinage donné de l’équilibre (dans le cas amorti) ou un voisinage donné du cycle (dans le cas périodique), calculs auxquels il n’est pas possible de donner un sens en l’absence de relaxation.

Enfin on notera, en examinant les relations (5) et (7) qui déterminent la succession des valeurs extrémales des oscillations de x(t), qu’une modification du taux de croissance naturel de la population F (x) n’affecte pas la relation (5) mais peut changer la relation (7). Il est donc possible, en jouant sur F (x), de faire apparaître ou disparaitre un cycle limite par exemple. De même, un choix différent de la fonction de coût C(E) n’affecte pas la relation (7) mais seulement la relation (5). A noter tout de même, parmi les nombreuses limites de ce modèle grossier, que la théorie mathématique prévoit la disparition totale des oscillations pour une fonction de coût qui serait (par exemple) un polynome de degrés strictement plus grand que 2 (voir [6]). Ainsi, pour C(E) = c(E^{3} + E) et une fonction h toujours linéaire en E, l’effort E devrait tendre vers l’infini, comportement difficilement justifiable …

Références

[1] Eric Benoit. Relation entrée-sortie. C.R.Acad.Sci. Paris, 293(Série 1): 293–296, 1981.

[2] Eric Benoit, Jean Louis Callot, Francine Diener, and Marc Diener. Chasse au canard. Collectanea Mathematica, Barcelone, 31(1-3): 37–119, 1981.

[3] Imme van den Berg. Nonstandard Asymptotic Analysis, volume 1249 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1987.

[4] W. Colin Clark. Mathematical Bioeconomics. Wiley Interscience, 1990.

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