Transformations de Radon, cinq leçons de géométrie intégrale 

Peut-on reconstruire une fonction de deux ou trois variables, connaissant seulement ses intégrales le long de toutes les droites ? Ce problème de « géométrie intégrale » s’impose à nous dans de nombreux contextes, à commencer par la tomographie aux rayons X et le scanner. La fonction cherchée, c’est la densité des tissus du corps traversés par ces rayons. Ses intégrales le long des rayons donnent leur atténuation, plus ou moins grande, visible sur le détecteur après la traversée du corps. Reconstruire la fonction densité, c’est pouvoir localiser une éventuelle anomalie.

Bien que résolu par le mathématicien autrichien Johann Radon dès 1917, ce problème est tombé dans un oubli presque complet pendant une cinquantaine d’années. C’est seulement à partir des années 1960 qu’il connaît un vif regain d’intérêt, stimulé à la fois par l’étendue de ses applications (imagerie médicale, astrophysique, géophysique,…) et par d’importantes avancées théoriques. Les « transformations de Radon » sont alors devenues, et demeurent de nos jours, un très actif domaine de recherches, théoriques autant qu’appliquées.

Écrit à l’intention des étudiants de niveau master, ce petit ouvrage présente une approche progressive des méthodes mathématiques de résolution du problème de Radon, en cinq leçons indépendantes qui mettent en valeur leur diversité. Partis de la méthode originelle du fondateur, nous en découvrirons bien d’autres (dont celle de Cormack, colauréat du Nobel de médecine pour ses travaux sur la tomographie), nous étendrons leurs résultats à d’autres cadres, nous saurons la chance qui est la nôtre de vivre dans un espace de dimension trois, nous irons vers des géométries non-euclidiennes, nous découvrirons l’apport des groupes de Lie (avec Sigurdur Helgason) et enfin celui des opérateurs pseudo-différentiels (avec Israël Gelfand, Victor Guillemin et plusieurs autres).