1. (28 jan)
Rappel de la notion de combinaison linéaire de vecteurs de R
n, quelques propriétés des sous-ensembles de toutes les combinaisons linéaires d'une famille finie de vecteurs de R
n, notés CL(v
1,..,v
m). Présentation des solutions d'un système linéaire homogène sous la forme de CL(v
1,..,v
m) à l'aide de l'algorithme de Gauss, présentation des solutions d'un système linéaire inhomogène sous la forme de v
0+CL(v
1,..,v
m) à l'aide de l'algorithme de Gauss
Lecture sur le web:
methode du pivot de Gauss,
combinaisons lineaires,
la notice Wikipédia sur une version légèrement généralisée des espaces CL(v1,..,vm) qui sont appelés Vect(v1,..,vm) sur le site Wikipédia
Exercices supplémentaires sur le web:
quelques exercices corrigés,
suggestions d'exercices
2. (04 fév)
Définition de sous-espaces vectoriel de R
n, au choix comme CL(v
1,..,v
m) ou comme espace de solutions d'un système lincaire homogène à m variables, étude des écritures d'un vecteur de CL(v
1,..,v
m), introduction des notions de famille libre, base, dimension et des coordonnées d'un vecteur v dans une base B (notation [v]
B),
rappels du calcul matriciel, en particulier de la multiplication de
matrices compatibles et de la notion de matrice inversible
Lecture sur le web:
bases et coordonnées,
bases et coordonnées encore,
la notice Wikipédia sur la notion de famille libre,
la notice Wikipédia sur la notion de base,
la notice Wikipédia sur la notion de matrice
Exercices supplémentaires sur le web:
suggestion d'exercices et
leur correction
3. (11 fév)
Définition d'application linéaire entre sous-espaces vectoriels de R
n,
exemples, preuve qu'une application linéaire est déterminée de maniere
unique par les images d'une base de l'espace de départ, introduction de
la matrice M
B2B1(f) associée à une applications linéaire f (par rapport à une base B
1 de l'espace de départ et une base B
2 de l'espace d'arrivée) et da sa propriété fondamentale [f(v)]
B2= M
B2B1(f) [v]
B1, puis preuve qu'on a ainsi une bijection entre l'ensemble des applications linéaires f:V -> W et l'ensemble des matrices M
dim(W)xdim(V)(R), exemple de calcul de la formule explicite de f(x,y,z) à partir d'une base de R
2, une base de R
3 et d'une matrice 2x3, introduction des matrices de changement de base (aussi appelees matrices de passage)
Lecture sur le web:
applications lineaires
4. (18 fév)
Formulaire exhaustive avce explications sur le calcul matriciel
associée aux applications linéaire, en particulier présentation de la
formule de changement de bases, introduction des sous-espaces du noyau
ker(f) et de l'image im(f) d'une application linéaire, introduction du
rang d'une matrice comme la dimension de l'espace engendré par les
colonnes de la matrice
5. (4 mars) Rappels
du calcul matriciel multiplicatif avec formulaire complète, théorème du
rang avec preuve, quelques propositions autour du calcul rang d'une
matrice, en particulier preuve de l'invariance du rang par
multiplication à droite ou à gauche avec une matrice inversible,
classification des application linéaire à changement de base pres par
le rang de f, invariance du rang par transposition
Lecture sur le web:
théorème du rang
6. (11 mars) Diagonalisation des endomorphismes
Algorithme
de diagonalisation d'un endomorphisme (sous condition qu'on sait
determiner les racines du polynôme caracteristique), exemple de calcul
concrete, étude de la diagonalisabilite des endomorphismes de R^3,
rappels sur les polynômes, critere generale de diagonalisabilite
Lecture sur le web:
diagonalisation des endomorphismes (paragraphes 1-4)
Exercices supplémentaires sur le web:
suggestion d'exercices (page 1),
suggestion d'exercices (exos 1-3, 6&7) (la matrice de passage dans exo 1 est la matrice notée M
CB dans le cours) et
leur correction
7. (25 mars)
8. (2 avril) Trigonalisation des endomorphismes
Lecture sur le web:
trigonalisation des endomorphismes (paragraphe 5)
Exercices supplémentaires sur le web:
suggestion d'exercices (exos 4&5) et
leur correction
9. (9 avril) Produit
scalaire, bases orthonormales, matrices orthogonales, description des
matrices orthogonales 2x2, algorithme de Gram-Schmidt
Lecture sur le web:
la notice Wikipédia sur les bases orthonormales,
la notice Wikipédia sur l'algorithme de Gram-Schmidt
10. (23 avril) Réduction des endomorphismes symétriques dans une base orthonormée
Lecture sur le web:
11. (30 avril) Rappels sur la définition de formes bilinéaires symétriques sur R
n
et leurs matrices associées par rapport a une base, formule de
changement de bases, réduction des formes bilinéaires symétriques a
partir de la réduction des endomorphismes symétriques dans une base
orthonormée, définition de formes quadratiques et de la signature d'une
forme bilinéaire symétrique (ou quadratique), classification des formes
bilinéaires symétriques par la signature, algorithme matriciel (dite
'de Smith') pour determiner la signature d'une forme bilinéaire
symétrique et une base dans laquelle la matrice associée est diagonale
Lecture sur le web: