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PhilMathMED

Philosophie, Histoire et Didactique des Mathématiques en Méditerranée

Regards croisés sur les Mathématiques
Rencontre des 9-10 Juin 2017



Lieu : Salle de Conférences, Laboratoire J.-A. Dieudonné.


Voir la page INFORMATIONS PRATIQUES pour se rendre au Laboratoire.

Objectifs


Le réseau PhilMathMED réunit des chercheurs des Universités de Marseille, Montpellier, Nice et Toulouse, autour de la didactique, l'histoire et la philosophie des mathématiques. Il est soutenu par le GDR PhilMath (Philosophie des mathématiques).
La rencontre inaugurale du réseau aura lieu les 9 et 10 Juin 2017 à Nice. Elle est soutenue par
La Commission Interactions du LJAD (Nice)
Le GDR PhilMath
et les équipes de recherche constituantes du réseau:
CEPERC - Centre d'Épistémologie et d'Ergologie Comparatives, UMR 7304
IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck, UMR 5149
IMT - Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR 5219
LJAD - Laboratoire J.-A. Dieudonné, UMR 7351

L'entrée est libre, mais les participants sont invités à prévenir patras@unice.fr pour l'organisation des pauses et repas et l'accès au campus.

Programme : VERSION PDF

AFFICHE

Vendredi 9, 10h - 12h40, 14h - 18h: (Histoire et Philosophie de l'algèbre).



10h-10h50 : P. Cantù, L'introduction des éléments idéaux en mathématiques : une définition correlative.

Résumé : Dans la pratique mathématique ainsi que dans la réflexion philosophique sur les mathématiques, on parle souvent des éléments idéaux, comme les nombres infiniment petits, infiniment grands, hypercomplexes. Le terme idéal est employé selon des significations différentes qui méritent d'être clarifiées. Pour contribuer à une distinction plus fine, on analysera ce terme comme corrélatif du terme réel et on évaluera certaines implications ontologiques, mais surtout épistémologiques et méthodologiques des concepts dénotés.

10h50-11h00 : Pause café.

11h00- 11h50 : B. Granier, La théorie des catégories et les fondements des mathématiques.

Résumé : William Lawvere a proposé deux façons de fonder les mathématiques sur la théorie des catégories ; la première consiste à définir la catégorie des ensembles de façon axiomatique dans la théorie des catégories (article "An elementary theory of the category of sets") ; la seconde consiste à axiomatiser la catégorie des catégories, dans laquelle on déduit ensuite la théorie des ensembles comme théorie des catégories discrètes, i.e. catégories dont les seules flèches sont les identités ; ce travail est présenté dans l'article "The category of categories as a foundation for mathematics" (1966). Nous verrons pourquoi Lawvere considère que la seconde façon est meilleure, et pourquoi les fondements catégoriques rendent, selon lui, un meilleur compte de la nature des mathématiques contemporaines, que les fondements ensemblistes.

11h50-12h40 : Nada Feghaly, Réflexions grangériennes sur les mathématiques.

Défenseur d'une position qu'il aime qualifier de ``réalisme bien tempéré'', Granger souhaite éviter deux conceptions extrêmes en philosophie des mathématiques : le platonisme qui attribue une existence réelle aux entités mathématiques et le constructivisme qui conçoit ces entités comme pures créations du mathématicien. Pour définir, ou du moins cerner ce réalisme dit bien tempéré, on introduira quelques concepts fondamentaux dans la philosophie de Granger. Seront notamment retenus la dualité - concept qui explique la genèse des objets mathématiques - et la virtualité - concept qui détermine leur mode d'existence.

12h40-14h30 : Déjeuner.

14h30-15h20 : S. Maronne, La méthode et les structures dans la résolution des problèmes en mathématiques : l'arithmétique et la combinatoire.

Dans cet exposé, je me propose de comparer les discussions méthodologiques sur la résolution des problèmes en mathématique au dix-septième siècle et au vingtième siècle. Pour chaque période, si certains problèmes ou domaines disciplinaires sont rapportés par les acteurs à une méthode générale ou bien aussi générale et uniforme que possible, la méthode d'analyse algébrique pour Descartes ou la méthode axiomatique pour Bourbaki, il n'en va pas de même d'autres champs qui paraissent échapper à l'ordre de la méthode. Ce sont les domaines de prédilection des « problem solvers ». Les deux exemples que je donnerai sont l'arithmétique au dix-septième siècle et la combinatoire dans la période contemporaine. Pour certains, comme Descartes ou Dieudonné, ces champs sont stériles quant à une future élaboration théorique, pendant que d'autres comme Pascal et Berge cherchent au contraire à montrer qu'ils tombent également sous la juridiction d'une méthode et d'une science. Dans cet exposé, mon but sera de montrer ce qui demeure et ce qui change, dans ces discussions, quels que soient par ailleurs leurs fondements techniques.

15h20- 16h10 F. Patras, Phénoménologie des relations : algèbre et combinatoire.

Résumé : La phénoménologie parle des phénomènes, et plus précisément de notre rapport aux phénomènes et de sa structure. Dans le contexte mathématique, elle donne des outils pour décrire notre rapport aux objets, aux idées, aux preuves mathématiques, mais permet aussi de parler des processus d'apprentissage ou encore de l'histoire des mathématiques (à la fois dans son aspect intrinsèque : comment se constituent les mathématiques, et dans son aspect structurel : que peut-être, que doit-être une histoire des mathématiques qui prenne en compte toutes les dimensions de notre rapport au passé et aux théories constituées ?). On abordera quelques-une des ces questions, dans le contexte de la combinatoire et de l'algèbre, et en relation aux autres exposés.

16h10-16h30 : Pause café.

16h30-18h : Table ronde (Constitution du réseau : problématiques et perspectives communes).

Samedi 10, 9h - 12h30: (Didactique de l'algèbre et interdisciplinarité).



9h-9h50 : Th. Hausberger, Phénoménologie didactique du structuralisme algébrique.

Résumé : Freudenthal a introduit l'idée d'une phénoménologie didactique : les structures mathématiques sont des principes organisateurs de phénomènes qu'il s'agit d'identifier, ainsi que les « objets mentaux » associés, comme étape préliminaire à la construction de situations d'apprentissages. Je vais illustrer ce propos, dans le cas de l'algèbre abstraite et en relation avec la dialectique des concepts de Lautman et Cavailles, munie de ses deux mouvements d'abstraction (l'idéalisation et la thématisation). Il s'agit d'une part d'étudier le processus de conceptualisation, par un apprenant, d'une structure mathématique définie axiomatiquement, et mettre en regard « épistémologie expérimentale » et épistémologie historique ; d'autre part, de rendre compte du travail du didacticien qui élabore des situations fondamentales pour le sens des concepts, construit des milieux d'apprentissage favorisant l'acquisition des connaissances, enfin en évalue les effets produits.

9h50-10h40 : J. Jovignot, Les praxéologies structuralistes : un outil pour l'analyse de la pratique mathématique en algèbre abstraite.

Résumé : La notion de praxéologie, introduite par Chevallard dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique, est un outil pour décrire toute activité humaine, en particulier l'activité mathématique. Cette notion a été prolongée par celle de praxéologie structuraliste introduite par Hausberger pour l'étude didactique des pratiques en algèbre abstraite. De part la nature épistémologique du concept d'idéal, que nous détaillerons, nous montrerons la pertinence de la notion de praxéologie structuraliste pour une analyse didactique de ce concept. Nous verrons, à l'aide d'exemples, ce qu'une analyse praxéologique apporte comme informations sur les choix de transposition didactique opérés par les mathématiciens, mais également en quoi elle peut amener à approfondir l'analyse épistémologique.

10h40-11h : Pause café.

11h-12H30 : Table ronde (Interdisciplinarité et didactique). Interventions de Jean-Yves Briend (L'enseignement des mathématiques à l'université), Gabriella Crocco (Logique, langage et calcul. Expérience d'enseignement des mathématiques dans la licence Sciences et Humanités à Aix-Marseille), Viviane Durand-Guerrier (Logique, langage et apprentissage mathématiques - regards croisés Didactique et Philosophie).





Coordinateurs et contacts :



Paola CANTU (CNRS - Université Aix-Marseille)
Thomas HAUSBERGER (Université de Montpellier)
Sébastien MARONNE (Université de Toulouse)
Frédéric PATRAS (CNRS - Université de Nice)