Master 1 Mathématiques
Systèmes dynamiques,
M1 Math, 2008-2009
Deuxième
semestre.
Feuilles
de TD : voir ci-dessous
Rappel :
Séance de TD supplémentaire vendredi 10 Avril
13-15H, en salle M0/3
Contrôle
terminal lundi 20 Avril, salle M2/6 de 14 à 16H.
Calculettes interdites. Documents autorisés : 2 feuilles
manuscrites recto-verso, sauf
pour
la question de cours !!
Objectifs
du Cours
La première partie de ce cours de M1 est
consacrée à la
présentation
de notions de base de la théorie
des
systèmes dynamiques, avec une double motivation :
- présenter l'un des domaines les plus ludiques
des
Mathématiques, où on peut faire appel
à l'intution
géométrique : portraits de phase, discussion
graphique de
la stabilité
ou de l'instabilité d'un
état d'équilibre,
existence ou non de solutions
périodiques
décrivant des trajectoires fermées ... tout en
faisant
des Mathématiques rigoureuses - très utiles
en
particulier
pour l'Agrégation et naturellement pour le M2 - bref des
Mathématiques avec un très bon rapport
"qualité/prix" ...
- décrire en détail des exemples de motivations
ou d'applications, e.g. en
biologie : modèles de populations, modèles de
proies-prédateurs, e.g.
Lotka-Volterra (proies-prédateurs)
ou sa version en économie
(Goodwin) dont le but est de décrire l'existence de cycles
en économie,
ou plus classiquement en Mécanique (pendule, oscillations
avec
amortisseurs,
phénomènes de résonance
...) et sur cette
base de présenter les prototypes de deux cas
extrèmes : systèmes hamiltoniens et
systèmes de
flots de gradient.
On traitera en particulier les points suivants :
- Théorème de Cauchy-Lipschitz : existence locale
ou
globale, unicité, dépendance continue des
données
- Cas d'une seule équation, états
d'équilibre, discussion graphique de la
stabilité ...
- Systèmes linéaires, formule de Duhamel,
stabilité.
- Comportement en grand temps, intégrale
première,
fonction de Lyapunov, liens entre la stabilité du pb non
linéaire et celle du pb linéarisé. Cas
des
systèmes hamiltoniens, des
systèmes dissipatifs
...
En fonction des projets des
étudiants, notamment pour le M2, on pourra ensuite
développer dans la deuxième
partie quelques-uns des
points suivants :
- Exemples de systèmes dynamiques discrets, e.g. de la
cascade
de Feigenbaum : comment expliquer des comportements
très complexes avec une dynamique
très simple ?
- Exemples de problèmes d' EDO liés
à des
problèmes d'EDP, e.g. discrétisation
d'EDP, ex
méthode de Fourier pour l'équation de la chaleur
(ou pour
l'équation des ondes),
ou : notion de courbe
caractéristique et applications :
équation de transport, équation
de
Burgers, équation de Hamilton-Jacobi et
système
bi-caractéristique associé,
ou : existence de
traveling
waves (ondes progressives) joignant deux états
d'équilibre (trajectoires hétéroclines
pour
l'EDO),
ou : limite "fluide" de grands
systèmes
d'EDO ...
Sommaire
5.
Indications sur l'équation de transport. Notion de courbe
caractéristique. Formule de Duhamel
Notes
de
cours manuscrites
Contrôles
2008-2009
Corrigé du
contrôle 02/03/09 et d'un exercice de la Feuille TD2
Contrôle du 02/03/09 Contrôle
du 02/03/09
Feuilles de TD
2008-2009
TD 5 TD5
2008-09
TD 4 TD4
2008-09
TD 3 TD3
2008-09
TD 2 TD2
2008-09
TD 1 TD1
2008-09
Pour une
version de la première partie de ce cours plus
orientée vers l'économie et la gestion, voir e.g.
Systèmes
dynamiques pour l'économie