The following fundamental problem arose independently in two seemingly completely distinct areas as number theory and statistical
mechanics. The principal question was formulated first by George Polya in 1926 who was motivated by his efforts to settle the Riemann hypothesis.
It states: under what additional conditions on the sufficiently smooth and rapidly decreasing kernel \(K(t)\) its Fourier transform
\(\psi(z)=\int_{-\infty}^{\infty} K(t) e^{itz} dt\) is an entire function which possesses only real zeros?

Essentially the same question arose in statistical mechanics where a measure is said to have the Lee-Yang property
if all zeros of its Fourier transform are real. It has been motivated by the celebrated Lee--Yang theorem, established in 1952.
For their work Lee and Yang were awarded the 1957 Nobel Prize in physics.
The theorem states that if the partition functions of models with ferromagnetic interactions are considered as functions of an external
field, then all zeros are purely imaginary. The original version of the result concerns the so-called
Ising model. Further extensions and generalizations are due to R. Griffiths and B. Simon (1973), C. Newman (1974) and Lieb and
Sokal (1981).

We report a result which provides a characterization of the Lee--Yang measures, so that a solution of Polya's problem too,
in terms of the polynomials, orthogonal with respect to the measure.

Hilbert's 5th problem, in its most basic form, asks if every compact topological group, which admits the structure of a smooth manifold, is a Lie group. In this form, it was answered affirmatively by von Neumann in 1929. If one takes a homotopical interpretation of the word "admits", the question is more subtle, and one is led to the notion of a finite loop space. These turn out not quite to be Lie groups, but nevertheless posses a rich enough structure to admit a classification. My talk will outline this story, which starts with a 1941 paper of Hopf: "Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen" and ends close to the present.

La théorie des faisceaux est un outil extrêmement efficace pour traiter de nombreux problèmes, y compris des problèmes d’analyse, mais sur une variété munie de sa topologie usuelle les faisceaux sont des objets de nature locale et si par exemple les hyperfonctions se prêtent parfaitement à cette théorie, il n’en est pas de même des distributions tempérées ou des espaces de Sobolev.
Nous montrerons ici comment la topologie de Grothendieck sous-analytique permet de construire le faisceau des fonctions holomorphes tempérées sur une variété complexe et donnerons deux applications: une construction purement algébrique des distributions et une approche nouvelle des EDO à singularités irrégulières.

[1] M. Kashiwara and P. Schapira, Sheaves on Manifolds, Grundlehren der Math. Wiss. 292 Springer-Verlag (1990).
[2] M. Kashiwara and P. Schapira, Ind-sheaves, Ast ́erisque, Soc. Math. France, 271 (2001).
[3] M. Sato, T. Kawai and M. Kashiwara, Microfunctions and pseudo- differential equations, in Komatsu (ed.), Hyperfunctions and pseudo-differential equations, Proceedings Katata 1971, Lecture Notes in Math. Springer-Verlag 287 p. 265–529 (1973).
[4] P. Schapira, Triangulated categories for the analysts, in ”Triangulated categories” London Math. Soc. LNS 375 Cambridge University Press, pp 371-389 (2010).

L'exposé présentera quelques résultats récents relatifs à la propagation des ondes dans les billards "chaotiques" et les variétés compactes de courbure négative.

On présentera les points suivants:

* Qu'est-ce qu'un problème de petits diviseurs?
* Problème de "Bifurcation" standard et échec des méthodes usuelles.
* Problèmes des vagues 3D périodiques.
* Problème des vagues stationnaires 2D.
* Problème de Faraday et quasipatterns.

Je présenterai des résultats sur le système de Coulomb classique
bidimensionnel (points dans le plan avec une interaction logarithmique),
et qui visent à dériver une énergie limite, dite énergie renormalisée,
posée sur un ensemble discret infini de points dans le plan. Il est
conjecturé que cette énergie est minimale quand les points s'organisent en
réseaux triangulaires (dits d'Abrikosov). Dans le modèle de mécanique
statistique, on obtient un résultat de cristallisation quand la
température tend vers 0. Dans le modèle à température nulle, qui
correspond aussi aux "points de Fekete", on prouve une équidistribution
des points et de l'énergie. Je présenterai aussi d'autres résultats et
questions de même nature qu'on trouve dans la littérature.
L'exposé s'appuie sur des articles en collaboration avec Etienne Sandier,
et avec Simona Rota Nodari.

Mis en présence d'une famille d'objets algébriques ou analytiques,
les mathématiciens se posent naturellement la question de les
classifier, et parfois y parviennent. La famille des espaces de
Banach se montre assez réfractaire à toute classification, et nous
verrons quelques résultats de complexité topologique qui expliquent
pourquoi. Nous évoquerons également les importants résultats de
structure obtenus en particulier par Tim Gowers, et nous discuterons
un début de réalisation du programme de classification
qu'il a proposé.

Je donnerai un aperçu sur des applications récentes de l'idée de fonction contrôlée. Les fonctions contrôlées sont nées pour étudier certains problèmes d'intégration par rapport à des processus stochastiques très irréguliers et en plus en général par rapport à des trajectoires rugueuses (au sens de Lyons). En mélangeant techniques probabilistes et analytiques, les mêmes idées peuvent être utilisées pour analyser certains phénomènes de régularisation par bruit dans des EDO ou dans des EDP dispersives et aussi pour avoir des théories non-linéaires des distributions qui permettent d'étudier des problèmes liés à des EDP très singulières (par exemple l'équation de Kardar-Parisi-Zhang).

« Anamorphose » est un nom forgé au XVIIème siècle pour décrire des images regardées hors de leur point de vue perspectif ; on ne voit d’abord qu’un chaos de couleurs et de lignes, avant que la découverte du « vrai » point de vue permette de restituer la vision originelle. Etymologiquement, le terme signifie « retour vers la forme », et suppose à la fois une déformation et sa réversibilité. Au cours de cette conférence, nous montrerons comment le modèle des anamorphoses a pu influer sur l’invention de la géométrie projective, et inspirer aux mathématiciens les notions de transformation et d’invariant. Nous évoquerons l'élaboration des théorèmes d'involution de Desargues, et celui de Pascal sur l'hexagramme. A visée épistémologique et culturelle, cette conférence met en oeuvre des notions et connaissances de base en géométrie projective.

Les schémas de discrétisation permettent de
construire, à partir d'une équation aux dérivées partielles, ou
d'un système d'équations aux dérivées partielles, un système
linéaire ou non linéaire faisant intervenir un nombre fini
d'inconnues.
Depuis le début du 20ème siècle, ces schémas
ont été développés et utilisés soit dans le but d'étudier
l'existence des solutions du problème continu associé, soit dans
le but d'en calculer des solutions approchées.
Nous retracerons quelques moments historiques
des méthodes les plus connues pour leurs application en sciences
de l'ingénieur: différences finies, éléments finis et volumes
finis.
Nous donnerons quelques éléments de
comparaison des tenterons de dégager les propriétés essentielles
qui permettent de s'assurer de l'efficacité de ces méthodes, du
point de vue du mathématicien et du point de vue de l'ingénieur.

Je commencerai par rappeler la construction classique du birapport de quatre droites et le théorème fondamental de la géométrie projective. J'expliquerai ensuite comment les propriétés formelles d'un birapport peuvent être utilisées pour décrire des "géométries" sur une surface (en particulier, une description de l'espace de Teichmüller).

Enfin, j'expliquerai un travail en commun avec M. Bridgeman, D. Canary, et A. Sambarino qui uitilise le formalisme thermodynamique pour décrire de nouvelles strutures sur l'espace de ces birapports, vu comme un espace de déformation de géométries.

Une grande partie de cet exposé devrait être accessible à des étudiants en thèse.