Master 1 Mathématiques Pures et Appliquées - Semestre 1

Version imprimableVersion imprimableEnvoyer à un amiEnvoyer à un ami

On discutera des anneaux commutatifs unitaires et des idéaux, avec des exemples provenant de l'arithmétique et de la géométrie. Les anneaux des polynômes, les anneaux principaux et les anneaux factoriels seront étudiés, ainsi que les idéaux principaux, premiers et maximaux. Les modules sur un anneau (qui généralisent les espaces vectoriels), ainsi que les algèbres, seront introduits. La deuxième partie du cours sera consacrée à la théorie des corps: corps finis, corps algébriquement clos, corps de rupture et corps de décomposition d'un polynôme. On en déduira des propriétés de racines d'une équation algébrique à coefficients dans un corps donné

  • Géométrie Différentielle (6 ECTS, responsable: S. Dumitrescu):

L'objectif de ce cours est d'introduire les méthodes de calcul différentiel dans le contexte des sous-variétés. Le contenu du cours sera le suivant :

Rappels de calcul différentiel. Théorème d'inversion locale. Théorème des fonctions implicites. Théorème du rang constant.

Définition des sous-variétés. Fibré tangent. Fibré normal. Fibré cotangent.

Champs de vecteurs. Crochet de Lie. Complétude. Groupes de Lie (groupe linéaire et groupe orthogonal).

Théorème des extrema liés, méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Géométrie locale d'une hypersurface : seconde forme fondamentale, courbure.

 

  • Analyse Fonctionelle et Intégration (6 ECTS, responsable: D. Chiron), page web

Espaces vectoriels normés: Topologie d'un espace vectoriel normé. Normes équivalentes. Espaces de Banach. Séries absolument convergentes dans un espace de Banach. Applications linéaires continues. Espace des fonctions continues bornées sur un espace métrique a valeurs dans un espace de Banach. Théorèmes de Banach Steinhaus, application ouverte, graphe fermé. Théorème de Riesz. Théorème de Stone Weierstrass.

Espaces Lp: Inégalités de Hölder, Minkowski, Jensen. Complétude des espaces Lp. Convolution. Régularisation et approximation par convolution. Transformation de Fourier sur l'espace L1. Théorème d'inversion de Fourier.

  • 1 UE au choix parmi les suivantes

 

  • Optimisation (6 ECTS, responsable: J. Blum)

On présente les techniques de base pour l'optimisation en dimension finie: résultats d'existence, d'unicité, lien avec la convexite, équation et inéquation d'Euler, multiplicateurs de Lagrange, théorème de Kuhn-Tucker. Les principaux algorithmes d'optimisation avec et sans contraintes sont donnés (gradient, pénalisation, dualité, Newton,..). Enfin on s'intéresse a la commande optimale de systèmes régis par des équations différentielles ordinaires et on énonce le principe de Pontryagin.

  • Processus Stochastiques (6 ECTS, responsable: C. Bernardin)

L'objectif du cours est d'étudier l'aspect dynamique des modèles aléatoires, lorsque les systèmes considérés dépendent du temps en supplément du hasard. Pareille situation est très fréquente en physique, en biologie ou encore en économie. Ici, nous nous focaliserons sur deux exemples centraux de la théorie des processus stochastiques : les chaînes de Markov, analogue aléatoire des suites récursives déterministes, et les martingales, traduction mathématique de la notion de dynamique équitable en économie. Il s'agira d'introduire les concepts essentiels et d'en comprendre les propriétés essentielles : manipulations calculatoires d'un côté et comportements en temps long d'un autre. Seront supposés connus les éléments de la théorie des probabilités par théorie de la mesure.