Master 1 Mathématiques Pures et Appliquées - Semestre 2

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  • Emploi du temps .pdf
  • Modalités de Contrôle Continu : ici et pour le redoublement, et on rappelle qu'il n'y a plus de seconde session.
  • Arrêtés de constitution du jury : ici. Le jury du second semestre aura lieu le .
  • Cours du second semestre
    • 3 UE obligatoires
      • Analyse Hilbertienne (6 ECTS, responsable: P. Raphaël) :

Le but de ce cours est d'introduire les outils fondamentaux d'analyse hilbertienne illustrés par des applications à l'analyse des opérateurs et des EDP. Le plan du cours est le suivant:

Espaces de Hilbert. Inégalité de Cauchy-Schwarz. Théorème de projection sur un convexe fermé. Orthogonalité, bases hilbertiennes. Dualité: théorème de représentation de Riesz, topologie faible, compacité faible.

Opérateurs linéaires continus sur les espaces de Hilbert. Opérateurs compacts: théorie de Riesz-Fredholm, décomposition spectrale des opérateurs auto-adjoints compacts.

Théorème d'Ascoli. Espaces de Sobolev en dimension 1, Injections de Sobolev. Applications aux problèmes aux limites elliptiques.

Théorie des séries de Fourier: théorie L^2, noyau de Fejer, noyau de Dirichlet.

  • Groupes et Géométrie (6 ECTS, responsable: F. Labourie):

Groupes finis (Isomorphismes de Noether, théorèmes de Sylow, actions de groupes).

Géométrie euclidienne (Transformations orthogonales, angles, polyèdres convexes, formule d'Euler).

Géométrie affine (Espace affine, isométries affines, coordonnées barycentriques).

Géométrie projective (Espace projectif de dimension 1 et 2, transformations projectives, homographies, birapport).

  • Distributions et EDP (6 ECTS, responsable: G. Lebeau):

Distributions EDP classiques : laplacien, ondes, chaleur à coefficients constants ; Analyse de Fourier et espaces de Schwartz, introduction aux espaces de Sobolev, problème de Dirichlet dans un ouvert borné.

 

  • 1 UE au choix parmi les suivantes

  • Calcul Scientifique (6 ECTS, responsabe: C. Scheid):

L'objectif de ce cours est d'introduire les concepts essentiels du calcul scientifique à travers des stratégies d'approximations numériques classiques. On insistera sur les liens avec les applications et la mise en oeuvre informatique des différentes stratégies. Les points suivants seront abordés : approximation numérique des EDO (convergence, point sur les notions de stabilité, schémas de type Runge Kutta), rappel sur la résolution des équations non linéaires (méthode de Newton notamment), méthodes des différences finies et applications à quelques Equations aux Dérivées Partielles.

  • Statistiques (6 ECTS, responsable Y. Baraud):

Le but de ce cours est de poser les bases de la statistique mathématique. Il sera organisé comme suit :

Problématiques de la statistique mathématique et notion de modèle statistique. Exemples de modèle.

Notions d’estimateur, de test  et de risques en statistique. Construction d’intervalles de confiance. Utilisation des inégalités de Markov et Hoeffding. Utilisation du théorème de la limite centrale et théorème de Berry-Esseen. Utilisation de la méthode du pivot.

La fonction de répartition et la fonction quantile.

Estimation et test dans les modèles non-paramétriques : utilisation de la mesure empirique, de la fonction de répartition empirique, des quantiles empiriques. Bande de confiance et tests de Kolmokorov-Smirnov.

Estimation dans les modèles paramétriques. Estimateurs basés sur la méthode des moments. Construction d’intervalles de confiance à l’aide de la méthode delta et du lemme de Slutsky. Estimateur du maximum de vraisemblance. Exemples et contre-exemples. Comparaison de procédures d’estimation.Introduction au paradigme bayésien et à l’estimation bayésienne.

Tests dans les modèles paramétriques. Test de Neyman-Pearson,test du rapport de vraisemblance. Test à rapports de vraisemblance monotone.

Les vecteurs gaussiens, le théorème de Cochran et ses applications dans le modèle linéaire gaussien. 

  • Systèmes dynamiques (6 ECTS, responsable: E. Militon): page web du cours

Prérequis : Cours d'équations différentielles de L3. Notions d'algèbre linéaire (réduction des matrices).

Objectifs : Les équations différentielles permettent de modéliser des phénomènes dans des domaines aussi divers que la mécanique, l'économie, la biologie... Dans ce cours, on mettra l'accent sur l'étude qualitative des équations différentielles. Cette méthode d'étude des équations différentielles a été initiée par Poincaré au 19ème siècle et a donné naissance à un domaine des mathématiques : l'étude des systèmes dynamiques. La plupart des équations différentielles que l'on rencontre ne peuvent pas être résolues explicitement. Néanmoins, une étude qualitative nous permet de comprendre le comportement en temps long des solutions. Chemin faisant, on reverra aussi des méthodes de résolution explicite des équations ou systèmes différentiels (notamment dans le cas des systèmes différentiels à coefficients constants) qui peuvent servir de modèles locaux pour des systèmes que l'on ne sait pas résoudre explicitement.

Programme du cours :
1. Rappels et compléments sur les systèmes différentiels linéaires
- Systèmes linéaires à coefficients constants : méthode de résolution, stabilité de l'origine, portraits de phase dans le plan.
- Systèmes différentiels linéaires à coefficients variables : théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, structure de l'espace des solutions/principe de superposition, résolvante.
2. Systèmes différentiels non-linéaires
- Aspects analytiques : théorème de Cauchy-Lipschitz, solutions maximales, estimation du temps d'existence par des méthodes géométriques et à l'aide du lemme de Gronwall.
- Aspects géométriques : flot, portrait de phase et ensembles invariants : étude qualitative des systèmes différentiels, application de premier retour de Poincaré, théorème de Poincaré-Bendixson.
- Perturbations d'une équation différentielle.
3. Stabilité
- Intégrales premières et fonctions de Lyapounov.
- Stabilité des points fixes.
- Stabilité (orbitale) des orbites périodiques.

Si le temps le permet, 4. Etude locale au voisinage d'un point fixe hyperbolique, variétés stables et instables, théorème d'Hartman-Grobman.

  • 1 projet de fin d'année