MIAS I, février/juin 2003, Résumés

Les suites de la première ligne de cet exo sont fabriquées à partir de fonctions, et j'ai un peu expliqué comment les propriétés de la fonction style définition monotonie et convergence se retrouvent sur la suite. Sur la deuxième ligne on a d'abord une suite itérative et j'ai surtout fait le dessin. Et j'ai expliqué la méthode de l'intervalle stable pour assurer que la suite est Pdéfinie et pour l'encadrer. Ensuite on a sur la deuxième ligne une suite schizo et j'ai expliqué la CNS de convergence des suites schizos. Enfin j'ai abordé les questions de limites en expliquant:

Les méthodes de base pour montrer que la suite $u_n$ tend vers $0$:

• Montrer que $|u_n|$ tend vers $0$.
• (gendarme isolé) Trouver $v_n$ tendant vers $0$ avec $|u_n|=< v_n$.
• Ecrire $u_n = v_nw_n$ avec $v_n$ tendant vers $0$ et $w_n$ bornée.
• (contraction) Trouver $K < 1$ vérifiant $|u_n+1| =< K |u_n|$ pour $n$ suffisamment grand.

• Ecrire $u_n=g(n)$ (la ressource dit: si $g$ a une limite $m$ en $+infini$, alors $lim u_n =m$).
• Ecrire $u_n$ comme somme, produit, quotient (...).
• Ecrire $u_n = g(v_n)$ avec $v_n$ tendant vers $m$ et $g$ continue en $m$  (la ressource dit: $lim u_n =g( m)$).
• (monotonie) Montrer que $u_n $ est croissante (resp. décroissante) (la ressource dit: $lim u_n =sup( u_n)$, resp. $inf( u_n)$).
• (gendarmes) Trouver $v_n$  et $w_n$ tendant vers $m$ et encadrant $u_n$ (la ressource dit: $lim u_n =m$).
• (contraction) Trouver $K < 1$ vérifiant $|u_n+1-u_n|=< K |u_n-u_n-1| $ pour $n$ suffisamment grand (la ressource dit que $u_n$ converge, mais ne donne pas la limite) .