\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}}
\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
\newcommand{\et}{\mathop{\rm et }}
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\newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}

 Maths cc y~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Exo-type 4 }}  \hfill x/x/x ~Deug MIAS\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\noindent
Nom:\\
Documents:\\
Calculette:
		     \vspace{0.6cm}

On consid\`ere les suites num\'eriques d\'efinies par les  formules suivantes: 

$$a_n := 2^n -4n ; \, ~~~~b_n := \ln (3n -8) - \ln (4n -2); ~~~~c_n := \frac {a_n}{b_n}; \, 
~~~~d_n := \frac {\cos n}{a_n};$$
$$ \, u_0 := 1000 ,\, u_{n+1}:= \sqrt {5u_n -6}; \,
~~~~~v_{2n}:=d_n,\, v_{2n+1}:= u_n; $$

$$ w_n:= \ln \dfrac {ne+\pi}{n\pi-e}.$$
~

a) Remplissez le tableau suivant:

~
$$
\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
&$a$&$b$&$c$&$d$&$u$&$v$&$w$\\ \hline
\text {Pd\'efinie?}&+&-&-&-&+&-&-\\ \hline
\text {PPd\'efinie?}&+&+&+&+&+&+&+\\ \hline
\text {monotone?}&-&+&?&-&+&-&+\\ \hline
\text {PPmonotone?}&~~~~~+~~~~~&~~~~~+~~~~~&~~~~~+~~~~~&~~~~~-~~~~~&~~~~~+~~~~~
&~~~~~-~~~~~&~~~~~+~~~~~\\ \hline
\max&\bot&-\ln 10&(\ln 10)/4&1&1000&1000&\frac {\ln (\pi +e)}{\ln (\pi -e)}\\ \hline
\min&-4&\bot&\bot&-(\cos 1)/2&\bot&-\cos 1&\bot\\ \hline
\sup&+\infty&-\ln 10&(\ln 10)/4&1&1000&1000&\frac {\ln (\pi +e)}{\ln (\pi -e)}\\ \hline
\inf&-4&-\infty&-\infty&-(\cos 1)/2&3&-\cos 1&-\ln \pi\\ \hline
lim&+\infty&-\infty&-\infty&0&3&\bot&-\ln \pi\\ \hline
\end {array}
    $$
    
    \vspace{1cm}
o\`u P veut dire partout et PP presque partout.
    
    \vspace{1cm}

b) Justifier les trois points les plus chauds en indiquant les ressources
invoqu\'ees avec les arguments auxquels elles sont appliqu\'ees.

{\bf R\'eponse}

Ressource 1: Pour montrer que $n\mapsto v_n w_n$ tend vers $0$, il suffit de
montrer que $n\mapsto v_n $ est born\'ee et que $n\mapsto w_n$ tend vers $0$.
Arguments: $v_n:= \cos n; w_n:= \frac {1}{a_n}.$

Ressource 2:
Pour  montrer que la suite $u$ v\'erifiant pour tout $n$ $u_{n+1}=f(u_n)$ 
converge en d\'ecroissant vers $a$, il suffit de trouver $I:=]a, b[$ contenant
$u_0$ avec pour tout $x$ dans $I$, $a <f(x)<x$. Arguments: $u:=u; f:=f; a:=3;
b:= +\infty.$

Ressource 3:
Pour que la suite (schizo) $v$ diverge, il suffit que les suites $n\mapsto v_{2n}$
et $n\mapsto v_{2n+1}$ ne convergent pas vers la m\^eme limite. Argument:
$v:=v.$



	\end{document}
