MIAS I, février/juin 2003, Résumés

• Calculer la décomnposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.
• Nommer les inconnues, écrire l'équation entre fractions rationnelles qu'elles vérifient, convertir cette équation en équation entre polynômes par réduction au même dénominateur; convertir cette équation entre polynômes en système linéaire (on trouve des équations linéaires simples en calculant dea valeurs et des dérivées aux pôles, et, s'il en manque, en utilisant les coordonnées canoniques sur l'espace des polynômes); résoudre.
• Calculer une primitive d'une somme.
• Calculer une primitive pour chaque terme et retourner la somme.
• Calculer une primitive de $f(x)dx$ par le changement de variable $x=u(t)$.
• Calculer une primitive $g(t)$ de $f(u(t))u'(t)dt$, mettre $g(t)$ sous la forme $h(u(t))$ et retourner $h(x)$.
• Calculer une primitive de $f(x)dx$ en posant $v(x)=t$.
• Mettre $f(x)/v'(x)$ sous la forme $h(v(x))$, Calculer une primitive $g(t)$ de $h(t)dt$ et retourner $g(v(x))$.
• Calculer une primitive de $f(x)dx$ avec une méchante fonction $v(x)$ (par exemple un radical) apparaissant dans $f$.
• Calculer une primitive de $f(x)dx$ en posant $v(x)=t$.
• Calculer une primitive de $f(x)dx$ avec $f$ fraction rationnelle en $cos(x)$ et $sin(x)$.
• Si $f(-x)=-f(x)$(comme c'est le cas "seulement" pour la dérivée de $cos(x)$), poser $cos(x)=t$.
• Si $f(pi -x)=-f(x)$ (comme c'est le cas "seulement" pour la dérivée de $sin(x)$), poser $sin(x)=t$.
• Si $f(pi +x)=f(x)$ (comme c'est le cas "seulement" pour la dérivée de $tg(x)$), poser $tg(x)=t$.
• En dernier recours, poser $tg(x/2)=t$.
• Calculer une primitive de $f(x)g(x)dx$ avec $f$ et $g$ de telle ou telle forme (stable par dérivation: exponentielle, polynômes de degré au plus $n$, combinaisons linéaires de $cos x$ et $sin x$).
• Chercher la primitive sous la forme $F(x)G(x)$, avec $F$ et $G$ de la même forme.
• Calculer l'intégrale de $f(x)dx$ entre $a$ et $b$.
• Calculer une primitive $F$ de $f$ et retourner $F(b)-F(a)$.

• Calculer l'intégrale de $f(x)dx$ entre $a$ et $b$ par le changement de variable $x=u(t)$.
• Retourner l'intégrale de $f(u(t))u'(t)dt$ entre $u^-1(a)$ et $u^-1(b)$.
• Calculer l'intégrale de $f(x)dx$ entre $a$ et $b$ en posant $v(x)=t$.
• Mettre $f(x)/v'(x)$ sous la forme $h(v(x))$, Retourner l'intégrale de $h(t)dt$ entre $v(a)$ et $v(b)$.
• Calculer l'intégrale de $f(x)dx$ entre $a$ et $b$, avec une valeur absolue apparaissant dans $f$.
• Découper $[a,b]$ et l'intégrale de façon à pouvoir éliminer la valeur absolue.