MIAS I, février/juin 2003
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Cours du 18 février: Interprétation d'un TV
On explique comment lire un tableau de variations pour assurer
les tâches de l'exo-type 1 (tex,ps,pdf):
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Dresser la liste des ISMM (intervalles de stricte monotonie maximaux) de
$f$ et de leurs images.
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Méthode: ça se lit.
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Difficultés: ouverture/fermeture des intervalles, ordre des bornes,
confusion source/but.
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Dresser la liste des intervalles de définition des fonctions réciproques
de $f$ et de leurs images.
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Méthode: c'est une reformulation de la question d'avant.
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Difficulté: accepter la notion officielle de fonction réciproque
(voir aussi la feuille 4 du premier semestre, réponse dans l'exo
2).
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Donner $n$ couples d'intervalles $(I,J)$ tels que $f$ induise une bijection
de $I$ sur $J$.
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Méthode: on peut coupler les ISMM avec leurs images. Si ça
ne suffit pas, il faut coupler des intervalles plus petits avec leurs images.
On prendra des intervalles avec les mêmes bornes quand c'est possible
pour éviter de calculer de nouvelles valeurs.
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Difficultés: comprendre couple/induire/bijection.
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Décider si $f$ est injective (sur $I$)/surjective (sur $I$)/bijective
(sur $I$/de $I$ dans $J$).
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Méthode: ça se lit.
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Difficultés: ces notions sont très abstraites; le but de
l'exo est d'en faire acquérir l'intuition; le lien avec les définitions
formelles sera exploré plus tard.
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Décider si $f(x)=a$ a une solution. Calculer $Im f$. Calculer le
nombre de solutions de $f(x)=a$.
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Méthode: ça se lit.
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Difficultés: bien distinguer les statuts de $f$, $x$ et $a$.
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Décider si $f$ est majorée/minorée/bornée (sur
$I$).
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Méthode: ça se lit et c'est facile.
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Calculer $max f/min f$.
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Méthode: ça se lit; la réponse attendue est $bottom$
si la fonction n'atteint pas son sup/inf.
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Difficultés: ne pas confondre avec sup/inf.
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Calculer $sup f/ inf f$.
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Méthode: ça se lit; la réponse attendue est $+/- infini$
si la fonction n'est pas majorée/minorée (ou nulle part définie...).
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Difficultés: voir les différences avec max/min, qui sont
que $sup$ et $inf$ sont de type $(Rbot->Rbot) ->
\overline R$ au lieu de $(Rbot->Rbot) -> Rbot$;
et que par exemple $sup$ est plus défini que $max$ (exo pour E.T.:
montrer que $sup$ est le prolongement croissant maximal de $max$).
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Donner (si possible) un intervalle borné sur lequel $f$ est non
bornée et un intervalle non borné sur lequel $f$ est bornée.
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Méthode: ça se lit.
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Difficulté: éviter la confusion $x <->y$, $argument<->résultat$.
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Faire un croquis du graphe de $f$.
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Andre.HIRSCHOWITZ
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modified: Feb 14