MIAS I, février/juin 2003, Résumés

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Cours du 18 mars: Suites récurrentes.

J'ai expliqué les méthodes pour traîter l'exo-type 5 (tex, ps, pdf) sur les suites récurrentes, à savoir:

Pour montrer que la suite est Pdéfinie, trouver une partie $P$ de $R$ contenant $u₀$ et stable par $f$.
Après ça on sait que ce qui compte c'est le sens de variation de $f$ sur $P$ et la position de son graphe par rapport à la diagonale. On fait donc un dessin où apparaissent les points fixes de $f$ (solutions de $f(L)=L$) . Et on sait que si $P$ est fermé, $u_n$ ne peut converger que vers un point fixe de $f$.
Dans le cas où $P$ est un intervalle, où $f$ est croissante sur $P$ avec $f(u₀) > u₀$, alors on sait que $u_n$ est croissante et tend vers le plus petit point fixe de $f$ dans $P$ ($f(L)=L$) supérieur à $u₀$: plus précisément, on sait que s'il y a un point fixe de $f$ supérieur à $u₀$ dans $P$, alors il y en a plus petit que les autres, et c'est la limite de $u_n$; et on sait que s'il n'y a pas de point fixe de $f$ supérieur à $u₀$ dans $P$, alors $u_n$ tend vers la boren supérieure de $P$ (éventuellement infinie).
Dans le cas où $P$ est un intervalle, où $f$ est croissante sur $I$ avec $f(u₀) < u₀$, alors c'est du même tabac.
Dans le cas où $P$ est un intervalle, où $f$ est décroissante sur $P$, On observe que $u_n$ est schizo des deux suites récurrentes itérant $fof$ à partir de $u₀$ et $u₁$ respectivement. Comme $fof$ est croissante, on s'en tire en combinant la méthode précédente avec celle dédiée aus suites schizos. Dans cette combinaison, on commence forcément par comparer $u₀$ à $u₂$ et $u₁$ à $u₃$.
Que $f$ soit monotone où pas, y'a un dernier cas qu'on sait traîter, c'est quand $f$ est strictement contractante (et $P$ fermé). On sait alors que $f$ a un unique point fixe dans $P$, et que $u_n$ y converge inéluctablement.