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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}

 Maths cc6~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Exo-type 6}}  \hfill  ~Deug MIAS\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\noindent
Nom:\\
		     \vspace{0.6cm}

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur $\rr$ par $f(x)= x^2+\sin(x-2)$.
Elle a un unique intervalle de stricte monotonie maximal
contenant $2$ et on note
$f^{-1}$ la fonction r\'eciproque correspondante de $f$.\\

a) Trouver un intervalle ouvert $I$ de longueur $4$ contenant $2$ et o\`u $f$ 
est 
strictement monotone.\\

b) Calculer un majorant $M$ de $|f'|$ sur $I$.\\

c) Donner un intervalle ouvert $J$ contenant $2$ et o\`u $f$ reste comprise entre
$3,9$ et $4,1$.\\

d) Donner une formule pour le plus grand intervalle $K$ ouvert ayant la propri\'et\'e
pr\'ec\'edente.\\

e) Donner une formule pour le plus grand nombre $\eta$ tel que, sur
$]2-\eta, \,2+\eta[$, $f$ reste entre $3,9$ et
$4,1$.\\

f) Etant donn\'e $\eps$ avec $0 <\eps \le 0,1$,  donner $\eta >0$
v\'erifiant (pour tout $x$ r\'eel)

$$ 2-\eta  \le x \le 2+\eta \imp 4-\epsilon \le f(x) \le 4+\epsilon.$$

\vspace{0.3cm}

g) Etant donn\'e $\eps$ avec $0,1 \le \eps$,  donner $\eta>0$
v\'erifiant: 
\hfill $ |x-2| < \eta \imp |f(x) -4| \le \epsilon.$

\vspace{0.3cm}


h) Etant donn\'e $\eps$ avec $ \eps >0$,  donner $\eta>0$
v\'erifiant:
\hfill $ |x-2| \le \eta \imp |f(x) -4| < \epsilon.$

~

\vspace{0.2cm}

~

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
$_a$&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 

&\\

\hline
$_b$&\\ 

&\\


\hline
$_c$&\\ 

&\\ \hline

$_d$&\\ 
&\\

\hline

$_e$&\\

&\\ \hline

$_f$&\\

&\\ \hline

$_g$&\\

&\\ \hline

$_h$&\\

&\\ \hline
\end {tabular}


~

\vspace{0.2cm}

~


Variantes: $f(x)= 4e^{x-2}+\sin (x\pi)$, $f(x)= 8+x^2-x^3.$



	\end{document}
