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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}

 Maths ~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Exo-type 11: Bases}}  \hfill  ~Deug MIAS\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\noindent
Nom:\\
Documents:\\
Calculette:
		     \vspace{0.6cm}

1- On donne la base $b=: ((1,2,0),(1,2,1), (2,1,5))$ de $\rr^3$
et l'application lin\'eaire de $\rr^3$ dans $\rr^3$
$f:=(x,y,z) \mapsto (-x+y+z, -6x +4y+2z,
-2x+y+z)$.

Ecrire la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique et la matrice de passage
$P$ de cette base \`a $b$. Calculer la matrice inverse de $P$.
Calculer la matrice $A'$ de $f$ dans $b$.


\vspace{0.4cm}



\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$A$&$P$&$P^{-1}$&$A'$\\ 
\hline
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
\hline
\end {tabular}

\vspace{0.4cm}


2- On consid\`ere la base $b'=: ((-1,-2,0),(-1,-2,-1), (-2,-1,-5))$ de $\rr^3$ 
et 
la sym\'etrie $s$ parall\`ele \`a $<b'_3>$ et
d'axe le plan $<b'_1, b'_2>$.


Ecrire la matrice $S'$ de $s$ dans la base $b'$ et la matrice de passage
$P'$ de la base canonique \`a $b'$. Calculer la matrice inverse de $P'$.
Enfin calculer la matrice $S$ de $s$ dans la base canonique.

\vspace{0.4cm}


\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$S'$&$P'$&$P'^{-1}$&$S$\\ 
\hline
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
&&&\\
\hline
\end {tabular}

\vspace{0.4cm}


\vspace{0.4cm}

3- Expliquez les calculs qui confirment les valeurs que vous avez
indiqu\'ees pour $A$ et $S$.

\vspace {0.3cm}


\begin{tabular}{|l|}
\hline
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\hline

\end {tabular}

	\end{document}
