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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\begin{document}

 Maths cc10~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Exo-type 10: SEV }}  \hfill  ~Deug MIAS\\ %

		     \vspace{0.6cm}
\noindent
Nom:\\
Documents:\\
Calculette:
		     \vspace{0.6cm}

On donne deux sous-espaces vectoriels de $\rr ^4$ d\'ependant d'un param\`etre
r\'eel $m$: 

$$V=<(m+2,m+2,0,0),\,(0, 1-m, m.0), \,(1, 2-m, m, 0)>,$$


$$W=\{(x,y,z,t)\in \rr^4 | (m+2)x+my +(1-m)t= (m+2)x- my -(m-1)t=0\}.$$

~

1- Calculer en fonction du param\`etre r\'eel $m$ les dimensions de $V$ et de $W$.

2- Calculer pour chaque valeur de $m$ une base de $V$ et une base de $W$.

3- Calculer pour chaque valeur de $m$ un syst\`eme minimal d'\'equations pour 
$V$ et un pour $W$.

4- Indiquer les valeurs de $m$ pour lesquelles $V$ et $W$ sont
suppl\'ementaires.

5- Dans ce cas, calculer la projection sur $V$ parall\`element \`a $W$ et
celle sur $W$ parall\`element \`a $V$.


\vspace{0.4cm}



\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
$_m$&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 
\hline
dim de $V$&\\
\hline
base de $V$~&\\
&\\ 
\hline
eqs de $V$&\\
&\\ 
\hline
\end {tabular}

\vspace{0.4cm}

\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
$_m$&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 
\hline
dim de $W$&\\
\hline
base de $W$&\\
&\\ 
\hline
eqs de $W$&\\
&\\ 
\hline
\end {tabular}


\vspace{0.4cm}


\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
$_m$&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 

\hline

$V$ suppl $W$&\\
\hline
proj sur $V$&\\
&\\ 
\hline
proj sur $W$&\\
&\\ 
\hline

\end {tabular}

\vspace {0.5cm}

6- Quel crit\`ere avez-vous utilis\'e pour r\'epondre \`a la question 4?

\vspace {0.3cm}


\begin{tabular}{|l|}
\hline
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ 
\\
\\
\\
\hline

\end {tabular}

\vspace {0.5cm}


7-Pour chacune des questions 2,3 et 5, 
r\'edigez (au dos) le calcul le plus d\'elicat.

	\end{document}
