MIAS I, 15/10
Résumé: cours du 15/10
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Nombres complexes (suite).
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Calculer et dessiner les racines $n$-ièmes de $Exp$.
- Méthode (cas $Exp$ non nul): on met $Exp$ sous forme trigo
$reit$, avec $r$ positif et $t$ réel, et on proclame que les
$n$ racines $n$-ièmes de $Exp$ sont les
$r1/nei(t+2kpi)/2$ (pour $k$ variant de $0$ à
$n-1$). Quand on les dessine, elles forment un polygô régulier
à $n$ côtés centré à l'origine.
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Mettre le trinôme $T(z)$ sous forme canonique.
- Méthode (cas $Exp$ non nul): on érit $T(z) = AS(z)$, avec
$S(z)=z2 +Kz+L$. Puis
$S(z)=(z+K/2)2 -K2/4 +L$. Comme ça, on met $T(z)$
sous la forme demandée: $A[(z-B)2 -C]$ (on
préfère un peu les signes $-$ mais c'est pas important).
-
Résoudre l'équation $T(z)=0$.
- Méthode ($T$ trinôme du second degrté): on met $T(z)$
sous forme canonique $A[(z-B)2 -C]$. Si $C=0$, on proclame que
l'équation a $B$ pour seule
solution. Sinon, on
calcule une des deux racines
carrées $R$ de $C$ et on proclame que l'équation a deux solutions
qui sont $B+R$ et $B-R$.
- On peut aussi appliquer la méthode qui a fait ses preuves en
réel, en se rappelant qu'on n'a pas de convention définissant LA
racine carrée d'un complexe: on calcule donc les racines carrées
sans utiliser le symbole radical.
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Dessiner l'ensemble des $z$ vérifiant $P(z)$.
- Méthode: on dessine l'ensemble des $(x,y)$ de $R2$
vérifiant $P(x+iy)$.
- Méthode: on sait retrouver que l'ensemble des $z$ vérifiant
par exemple $|az+b| < K$ (avec $a<>0$ et $K>=0$) est l'intérieur du cercle de centre $-b/a$ et
de rayon $K/|a|$.
- Méthode: on a compris que l'ensemble des $z$ vérifiant
$P(z) et Q(z)$ est l'intersection de l'ensemble des $z$ vérifiant
$P(z)$ avec l'ensemble des $z$ vérifiant
$Q(z)$; tandis que pour $ou$, c'est la réunion.
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Andre.HIRSCHOWITZ
Last modified: Oct 9