\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}}
\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
\newcommand{\et}{\mathop{\rm et }}
\newcommand{\etc}{\mathop{\rm etc }}
\newcommand{\ou}{\mathop{\rm ou }}
\newcommand{\Ima}{\mathop{\rm Im }}
\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }}
\newcommand{\si}{\mathop{\rm si }}
\newcommand{\re}{\mathop{\rm r\'e\'ecrire }}
\newcommand{\reu}{\mathop{\rm r\'eu }}
\newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }}
\newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }}
\newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }}
\newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }}
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\newcommand{\rr}{{\bf R}}
\newcommand{\rdeu}{{\bf R^2}}
\newcommand{\rrn}{{\bf R^n}}
\newcommand{\nn}{{\bf N}}
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\newcommand{\rX}{{\bf R}[X]}
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\newcommand{\rar}{\rightarrow}
\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}
\newcommand{\limp}{\longleftarrow}
\newcommand{\lrimp}{\longleftrightarrow}
\newcommand{\ssi}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\ove}{\overline}
\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg }}
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\begin{document}
Maths Exos2:~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf
~Complexes }} \hfill 7/10/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
% \vspace{0.4cm}
\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item
Compl\'etez la r\'eponse suivante:
{\bf Question:}
Calculer les parties r\'eelle et imaginaire, le module et l'argument de
$(1-i)^5$.
{\bf R\'eponse:}
On obtient successivement:
$|1-i|= \sqrt {2}$
\hfill en appliquant \`a
$a:=1\in \rr$ et
$b:=-1\in \rr$
la formule $|a+ib|= ............$
$1-i=\sqrt {2}\,\Big(\dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {i}{\sqrt {2}}\Big)$
\hfill en appliquant \`a ..........
..........................
.....................
\hfill la formulede distributivit\'e $a(b-c)= ab-ac;$
$= \sqrt {2}\,\Big (\cos (-\dfrac {\pi}{4})+ i \sin (-\dfrac {\pi}{4})\Big)$
\hfill en exploitant
$\dfrac {1}{\sqrt {2}}= ............$~~ et
$-~~\dfrac {1}{\sqrt {2}}=..............$
$=\sqrt {2}\,e^{-\frac {i\pi}{4}}$ ~(*)
\hfill en exploitant
$\cos \theta +i \sin \theta = e^{i\theta}$ pour $\theta := .........$.
\vspace {0.1cm}
$(1-i)^5=(\sqrt {2}\,e^{-\frac {i\pi}{4}})^5$
\hfill en exploitant ......
$=(\sqrt {2})^5(e^{-\frac {i\pi}{4}})^5$
\hfill en appliquant ......
..........................
.....................
la formule $(ab)^c= a^cb^c.$
$=4\sqrt {2} \,e^{-\frac {5i\pi}{4}}$ ~(**)
\hfill en exploitant
la formule $(e^{i\theta})^n= e^{in\theta}$
pour ..............................
%$\theta:=-\dfrac {\pi}{4}$ et $n:=5$.
\vspace {0.3cm}
On obtient alors le module et l'argument:
$|(1-i)^5|=4\sqrt {2}~~~$ et $\Arg\, (1-i)^5 =-\dfrac {5\pi}{4}~~[2\pi]$
\hfill en appliquant \`a .......
..........................
.....................
les formules $|\rho e^{i\theta}|=\rho$
et $\Arg (\rho e^{i\theta})=\theta \,[2\pi]$.
\vspace {0.3cm}
On obtient ensuite:
$(1-i)^5= 4\sqrt {2}\Big
(\cos (-\dfrac {5\pi}{4})+ i \sin (-\dfrac {5\pi}{4})\Big )$
\hfill \`a partir de (**) en exploitant
$\cos \theta +i \sin \theta = e^{i\theta}$ pour $\theta := -\dfrac {5\pi}{4}$.
$=4\sqrt {2}\, \Big (-\dfrac {\sqrt{2}}{2}+ i \dfrac {\sqrt{2}}{2} \Big )$
\hfill en exploitant
$\cos (-\dfrac {5\pi}{4}) = ........$ et
$\sin (-\dfrac {5\pi}{4}) = .......$.
$= -4+4i$ ~(***)
\hfill en appliquant \`a ......
..........................
.....................
\hfill la formule de distributivit\'e $a(b+c)= ab+ac.$
\vspace {0.3cm}
On obtient enfin les parties r\'eelles et imaginaires:
$\Rea((1-i)^5)=-4$ et $\Ima ((1-i)^5) =4$
\hfill \`a partir de (***)
en appliquant \`a
\hfill ..........................
.....................
les formules
$\Rea (a+bi)=a$
et $\Ima (a+bi)=b$.
\item
Voici un calcul de la partie imaginaire de
$(2+i)^{-3}$.
Pour chaque \'etape du calcul, indiquer la principale ressource utilis\'ee en
pr\'ecisant les
arguments.
$\dfrac {1}{2+i}= \dfrac {2-i}{|2+i|^2}= \dfrac {2-i}{5}.$
$(2+i)^{-3}= \Big ( \dfrac {2-i}{5}\Big )^3 =
\dfrac {(2-i)^3}{125}= \dfrac {8 -12i -6 +i}{125}= \dfrac {2-11i}{125}$
\item
Calculer les parties r\'eelle et imaginaire, le module et l'argument de
$(-1+i \sqrt{3})^{12}$ (seules les justifications donnent des points).
\item
Citer la principale ressource, avec les arguments correspondants,
permettant de justifier chacune des
affirmations dans la r\'eponse suivante:
{\bf Question:}
Calculer les racines cubiques de
$(1+i)$.
{\bf R\'eponse:}
On sait que $1+i$ a trois racines cubiques distinctes dont on note $\rho$ le
module (commun) et $ \theta _0, \theta _1, \theta _2$ les arguments.
On a $|1+i|= \sqrt {2}$ et donc $\rho= \sqrt [3] { \sqrt 2}= 2^{ \frac {1}{6}}.$
On a ensuite
$1+i=
\sqrt {2}\Big (\dfrac { \sqrt {2}} {2}+ i \dfrac { \sqrt {2}}{2}\Big )=
\sqrt {2} e^{\frac {i\pi}{4}}$ et donc
$\Arg (1+i) = \dfrac {\pi}{4}\, [2\pi]$.
Les arguments cherch\'es $\theta_k$ v\'erifient donc
$3 \theta_k = \dfrac {\pi}{4}\, [2\pi]$ et ce sont, pour $k=0, 1, 2$, ~~
$\theta_k = \dfrac {\pi}{12}+ \dfrac {2k\pi}{3} \, [2\pi]$.
\item
Calculer et dessiner les racines quatri\`emes de $8\sqrt{3}-8i$
(seuls les justifications et le dessin donnent des points).
\item
Compl\'eter la r\'eponse suivante, et citer les ressources utilis\'ees en
donnant les arguments:
{\bf Question:}
Calculer l'ensemble $E$ des points $z$ du plan complexe v\'erifiant \\
$\Rea (iz+2\overline z) \le 1 ~\et ~ |(1-i)z+3| > 2.$
{\bf R\'eponse:}
Soit ..... un nombre complexe dont on note ..... et .... les parties r\'eelles
et imaginaires.
On obtient successivement:
$\Rea (iz+2\overline z) =\Rea (..............................................) =.................................................$
$ |(1-i)z+3| > 2 \ssi |........||z+........| > 2 \ssi
| z + \dfrac {3}{.........} | > \dfrac {2}{..........}
\ssi | z - \, ...........| > \, ..........$
L'ensemble $E$ est donc .................................................. du demi-plan ..........................
d'équation ....................................................... et du complémentaire du disque ......................... de centre
............................. et de rayon ..............................
\item
Calculer et dessiner l'ensemble des nombres complexes $z$ v\'erifiant \\
$\Ima (iz+2\overline z) \ge 0 ~\ou ~|(3+4i)z+5| \le 4.$
\item \hfill {\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}
\begin{enumerate}
\item
Calculer $\cos 5 \theta$ en fonction de $\cos \theta$.
\item
Pour quelles valeurs de $a \in \cc$~ l'\'equation $(a+i)z^2+z+a-i=0$~
a-t-elle deux racines
conjugu\'ees? deux racines imaginaires pures?
\item
Calculer $\cos \frac {2\pi}{5}$ (indication: r\'esoudre $z^5-1=0$).
\item
R\'esoudre $z^7=\overline {z}$.
\item
Combien y a-t-il de nombres complexes formant, dans le plan complexe, un
triangle \'equilat\'eral avec $2+i$ et $1+2i$? Les calculer.
\item
Trouver le minimum de $|z+\frac {1}{z}|$ quand $z$ varie dans $\cc^*$, et o\`u il
est atteint. Et si $z$ ne varie que dans $\rr$? M\^eme chose pour
$|z-\frac {1}{z}|$.
\item
Trouver dans les livres comment on r\'esout l'\'equation du troisi\`eme degr\'e.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
\newcommand{\alors}{\mathop{\rm alors }}
\newcommand{\ang}{{\bf {\mathcal A }}}
\newcommand{\Arctg}{\mathop{\rm Arctg }}
\newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }}
\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\cc}{{\bf C}}
\newcommand{\et}{~\mathop{\rm et }~}
%\newcommand{\exp}{~\mathop{\rm exp }~}
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\baselineskip 2cm
\begin{document}
M\'ethodo Exos~~~ \hfill 14/10/02 ~Deug MIASSM TC\\ %
\begin{center}
{\Huge {\bf
Extensions}}
\end {center}
\vspace{0.4cm}
\begin{enumerate}
\item {\Large {\bf L'ensemble $\bb_\perp$}}
\vspace{0.2cm}
a) Ecrire la table de vérité des connecteurs logiques non, et, ou, implique, ssi, nand.
b) Calculer $1=0 \ou 1>0$ $1=0 \imp 1>0$ $1\neq 0 \imp 1>0$ $1=0 \ssi 1<0$ $1=0 \ou 1>0.$
c) Etendre de fa\c{c}on pertinente et autant que possible le connecteur non
d) Etendre de fa\c{c}on pertinente et autant que possible le connecteur ou
\`a $\bb_\perp:= \bb \amalg \{\perp\}.$\\
Cette extension reste-t-elle symétrique? associative?
e) Etendre de fa\c{c}on analogue le connecteur et. Cette extension reste-t-elle distributive vis-à-vis du nouveau ou ? de l'ancien?
f) Etendre de fa\c{c}on analogue les connecteurs $\imp$ et $\ssi$. Reste-t-il vrai que pour tous $X$ et $Y$ dans
$\bb_\perp$, $(X \imp Y) \ssi (nonY \imp nonX)$?
g) Remplacer $x$ par $0$ dans l'énoncé $(\sin \, 2x \neq 0 \imp \cotan x = \dfrac {1}{\tan x}$.
Pour quelles conventions pertinentes concernant $\imp$, cet énoncé $(\sin \, 2x \neq 0 \imp \cotan x = \dfrac {1}{\tan x}$ est-il vrai pour tout $x$ réel?
\vspace{0.4cm}
\item{\Large {\bf Les suites dans $\rr_\perp$}}
\vspace{0.2cm}
a) Expliquer quelles sont les suites $u$ et $v$ dans $\rr_\perp$ d\'efinies par
$u_n=\dfrac{1}{n-9}+\ln (2^n -n^9)$ et
$v_n=\dfrac {u_n}{n}$.
b) D\'efinir $\lim_\perp: (\nn \rar \rr_\perp) \rar \rr_\perp$. Calculer
$\lim_\perp u$ et $\lim_\perp v$.
c) Etendre les ressources concernant la limite d'une somme et d'un produit et
expliquer pourquoi on se méfie de la convention $ 0 \times \perp =0$.
\vspace{0.4cm}
\item{\Large {\bf La d\'erivation dans $\rr_\perp$}}
\vspace{0.2cm}
a) Expliquer quelle est la d\'eriv\'ee dans $\rr_\perp$ de la fonction valeur
absolue.
b) D\'efinir la d\'erivation
$der_\perp: (\rr _\perp \rar \rr_\perp) \rar (\rr_\perp \rar \rr_\perp)$.
c) Etendre les ressources concernant la d\'eriv\'ee d'une somme, d'un produit, d'un carré. Donner une nouvelle raison de se méfier de la convention $ 0 \times \perp =0$.
d) Qu'est-ce qu' une fonction ind\'efiniment d\'erivable?
\end{enumerate}
\end{document}
\end {enumerate}
\end{document}
\item
Indiquer les ressources qui justifient le calcul suivant, en pr\'ecisant les
arguments, et les in\'egalit\'es qu'il faut v\'erifier:
$\sqrt {1+\sqrt {1+\sqrt 2}} < \dfrac {1+\sqrt 2}{2} ~~
\ssi ~1+\sqrt {1+\sqrt 2} < \dfrac {3+2\sqrt 2}{4}~~
\ssi~ 4\sqrt {1+\sqrt 2} < 2\sqrt 2 -1 \\
\ssi ~~~16(1+\sqrt 2) < 9-4\sqrt 2~~~
\ssi~~~ 20\sqrt 2 < -7$.
%\vspace {0.3cm}
\newpage
\item
Pour $m$ r\'eel, comparer
$3+\sqrt {13+3m} ~\et~ 3+m+\sqrt{13}$
(seules les justifications donnent des points).
\vspace {0.4cm}
\item
a) Compl\'etez la r\'eponse suivante:
%, en ne mentionnant que des intervalles de monotonie maximaux:
{\bf Question:}
Pour $x$ dans $[-3, 2]$, majorer $\dfrac{x^3- \pi x}{5-x}$.
{\bf R\'eponse:}
Pour $x$ dans $[-3, 2]$, on obtient:
(1) ~~$x^3 \le 8$ \hfill car $y \mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~$ est croissante sur
$\rr$ (arguments $ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$);
(2) ~~$-\pi x \le 12$ \hfill car $y \mapsto -\pi y$ est
$ \_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~\_~~$ sur $\rr$
(arguments $ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$) et
$\_~~\_~~\_~~\_~~\le 12$;
(3) ~~$x^3 -\pi x \le 20$ \hfill en ajoutant (1) et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$;
(4) ~~$5-x \ge 3$ \hfill car $y \mapsto \_~~\_~~\_~~\_~~$ est d\'ecroissante
sur $\rr$
(arguments
$ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$
);
(5) ~~$\dfrac{x^3- \pi x}{5-x} \le \dfrac {20}{3}$
\hfill car on peut diviser (3) par (4) puisque
$ \_~~\_~~\_~~\_~~$ et $ \_~~\_~~\_~~\_~~$
sont positifs;
b) Expliciter les ressources auxquelles on fait allusion quand on parle
d'ajouter ou de diviser
des in\'egalit\'es.
\vspace{0.4cm}
\item
Donner les justifications manquantes.
{\bf Question:}
Pour $x$ dans $[-3, 2]$, majorer $\dfrac{x^2+5}{x-3}$ par un nombre n\'egatif.
{\bf R\'eponse:} Pour $x$ dans $[-3, 2]$, on obtient successivement
$3-x \le 6$, ~~~$x^2 + 5 \ge 5$, ~~~$\dfrac{x^2+5}{3-x} \ge \dfrac {5}{6}$,
~~~ et $~~~\dfrac{x^2+5}{x-3} \le -\dfrac {5}{6}$.
\vspace{0.4cm}
\item
Pour $x$ dans $[-3, \ln \frac {\pi}{2}]$, majorer
$\dfrac{x^2+ \sin x + x}{\sin e^x }$ par un entier.
\vspace{0.4cm}
\item
D\'emontrer l'\'enonc\'e de division des in\'egalit\'es mentionn\'e plus haut.
\vspace{0.9cm}
\item \hfill {\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}}
\vspace{0.4cm}
a)
Comparer $~~ \frac{\pi}{3}-\frac{\pi^3}{648} ~\et ~1.$
b) Calculer
$\min (3^{\pi}, \pi^{3}).$
c) Comparer $\sin^2 (\pi(2+\sqrt 3)^{1000})$ et $10^{-1000}.$
d) Pour $x$ r\'eel, comparer $2^x$ et $x^2.$
e) Ici, $x= 0,001$. Encadrer finement $\sin (\pi ^{1+x})+ \sin (\pi ^{1-x}).$
f) Comparer $0,\, 9,\, 0,9, \,0,\overline{9}, \,0,\overline{99}, \,0,99$, et $1$.
\end{enumerate}
\end{document}