Methodo, 14/01/02
Résumé de cours (virtuel)
sur l'indéfini
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L'indéfini
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Pour parler des expressions indéfinies (qu'on peut appeler erreurs),
on ajoute à nos ensembles de base $R$ et $B$ une (non-)valeur notée $\perp$
ou parfois $\Omega$ et appelée $indéfini$ ou $error$ ou $bottom$.
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Cette construction a les avantages suivants.
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Elle permet de refléter très fidèlement la pratique élémentaire des fonctions
réelles: on peut donner à toutes les fonctions de variable réelle le type
$R_\perp ->R_\perp$, quelque soit leur "domaine de définition". Le statut
de ce domaine de définition s'en trouve clarifié, puisque c'est l'ensemble des
$x$ (disons de $R$) où $f(x)$ n'est pas indéfini (et on a très envie de dire
"est défini" au lieu de "n'est pas indéfini"; et on peut certainement dire
"est bien défini").
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Elle permet de clarifier le statut de $ou_sinon$ et de $et_alors$ et de les
présenter d'une façon peut-être moins abrupte.
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Elle permet d'assouplir la discipline insupportable qui nous contraint à ne
parler que d'objets bien définis. Quand on calcule une limite, une dérivée,
une intégrale, c'est seulement à la fin du calcul qu'on sait, dans les bons
cas, que l'objet calculé existe, et c'est le calcul qui le prouve. Avec le
nouveau point de vue, on peut toujours parler de $lim u$, qui "vaut" (ou égale) $\perp$ si $u$ est divergente.
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Cette construction vient avec deux notions nouvelles que j'explique maintenant.
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Les nouveaux ensembles sont équipés de la relation "moins défini que". Entre deux valeurs bien définies distinctes (par exemple $V$ et $F$) aucune n'est moins définie que l'autre, mais $\perp$ est moins défini que toute valeur. C'est une relation d'ordre, mais n'insistons pas là-dessus.
Un avantage de cette relation est qu'elle permet de formuler la légitimité des calculs du genre évoqué plus haut. Par exemple le théorème sur la limite d'une somme devient: la somme des limites de deux suites est moins définie que la limite de la somme. Il implique que si la somme des limites est bien définie, alors la limite de la somme l'est aussi, avec la même valeur.
La notation standard pour cette relation est le signe d'inégalité incurvé (en cusp), ou rectangulé (un carré privé d'un coté latéral), ce dernier rappelant peut-être mieux l'égalité que la nouvelle relation approche.
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Pour les nouvelles applications, on a la notion de pertinence (le terme officiel est "croissance" ou plutôt "continuité", mais dans notre contexte élémentaire, la continuité n'apparaît pas, et pour nos étudiants, une deuxième relation d'ordre risque de créer de la confusion).
Pour nous, la pertinence de $f$ se réduit au fait que si $f(\perp)$ est bien défini (ie différent de $\perp$), alors $f$ est constante.
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Quand l'extension des ressources ne marche pas bien, c'est pas grave, on dispose toujours des anciennes ressources.
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Andre.HIRSCHOWITZ
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modified: Oct 1