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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 Methodo Exos1:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Calculer}}  \hfill 30/09/02 ~Deug MIASSM TC\\ %

		     \vspace{0.6cm}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item{\Large {\bf L'ensemble $\rr_\perp$ et les nouvelles fonctions}}

		     \vspace{0.2cm}

a) On pose $~\rr_\perp:= \rr \amalg \{\perp\}$ et on appelle bottom l'\'el\'ement
$\perp$. On note $\ln _\perp$ (dans cet exercice, et
 $\ln$ dans les suivants) l'application de 
$\rr_\perp$ dans $\rr_\perp$ qui vaut $\ln \,x$ pour $x \in ]0,\, + \infty[$ 
et
$\perp$ ailleurs.\\ Faire un tableau pour visualiser. 
Donner les d\'efinitions et
tableaux analogues pour les fonctions usuelles $\sin, \cos, \tan, \cotan,
\exp, \sqrt
{~~}$.

b) On note $+ _\perp$ (dans cet exercice, et
 $+$ dans les suivants) l'application de 
$\rr_\perp^2$ dans $\rr_\perp$ qui vaut $x+y$ pour $x,y\neq \perp$
et $\perp$ ailleurs. Faire un tableau \`a double entr\'ee pour visualiser.\\
Donner les d\'efinitions et
tableaux analogues pour les autres op\'erations: $-, \times , /$.

c) M\^eme question pour $(x,y) \mapsto x^y$.

d) A-t-on pour tout $x$ dans $\rr_\perp$:
 $\ln_\perp (1/_\perp x)==-_\perp \ln_\perp x$? Faire un  tableau.\\
A-t-on  pour tout $x$ et tout $y$ dans $\rr_\perp$:
 $\ln_\perp (x\times_\perp y)=\ln_\perp x +_\perp \ln_\perp y $? 
 Faire un tableau.
 
 e) On dit que $x$ est strictement mieux d\'efini que $y$ lorsque $y=\perp$ et 
 $x\neq\perp$ (notation: $x \succ y$); et on dit
 que $x$ est mieux d\'efini que 
 $y$ si $x=y$ ou $x \succ y$ (notation: $x \succeq y$).\\ 
 Proposer une ou deux autres
 formulations de cette d\'efinition. \\
 A-t-on  pour tout $x$ et tout $y$ dans 
 $\rr_\perp$:
 $\ln_\perp (x\times_\perp y) \succeq \ln_\perp x +_\perp \ln_\perp y $?
 
f) Faire le travail analogue pour $\sqrt{~~}$ et les ressources correspondantes
concernant le produit et l'inverse. 

g) M\^eme question pour la formule $\cotan x =\dfrac{1}{\tan x}$.

		     \vspace{0.3cm}



\item {\Large {\bf Valider}} 
%\hfill (en donnant une justification d\'etaill\'ee)

		     \vspace{0.3cm}

a) On dit qu'un \'el\'ement de $\rr_\perp$ est mal d\'efini (ou ind\'efini) s'il est \'egal \`a
$\perp$ et bien d\'efini sinon. Parmi les \'el\'ements suivants, 
lesquels sont-ils bien d\'efinis?

		     \vspace{-0.3cm}


$$\dfrac { \cos \pi  +  \cos (-\pi)  }{\cos \pi  -  \cos (-\pi)}, 
 ~~~\dfrac {1}{1-\ln 1}, ~~~\dfrac {1}{1-\ln^4 e}, 
~~~\dfrac {1-2\sin \dfrac {\pi}{6}}{1-e^0},
 ~~~\tg \dfrac {3\pi}{2}\sin (-\pi), 
 ~~~(\cos ^2 \pi-3 \ln e+2)^{-3}.$$

	


b) Ici $x$ vaut $1$ ou $-1$. Pour quelles valeurs de $x$ l'expression suivante 
est-elle bien d\'efinie? 

		     \vspace{-0.7cm}


$$x^0, ~~~~(\ln x)^{\sin \pi}, ~~~~(\cos x\pi)^{-2x}, 
~~~~(\cos \pi)^{\dfrac{x}{2}}, 
%~~(\sin 4x)^{\sqrt 189},~~(\sin 5)^{\sqrt {289x}},
~~~~(x\sqrt{3})^{\sqrt{3}},  ~~~~\ln(xe-\sqrt {8}).$$

\vspace{0.3cm}

c) On appelle domaine de d\'efinition de la
fonction $f: \rr_\perp \rightarrow \rr_\perp$ l'ensemble des $x$ de $\rr_\perp$
o\`u $f(x)$ est bien d\'efini.

Calculer le
domaine de d\'efinition de la fonction $f$  d\'efinie par 
$f(x)= \dfrac{x-1}{x-2} -\ln (x+1)$.


Calculer le domaine de d\'efinition des fonctions suivantes,  en indiquant
les ressources utilis\'ees: 


$$ x \mapsto (1-\sqrt {x^2})^{-3}, ~~x \mapsto \ln (12x^4 -x^2) .$$


\vspace{0.3cm}

\newpage

\item {\Large {\bf Calculer}} 

		     \vspace{0.3cm}


a) Calculer les expressions suivantes dans $\rr_\perp$ en indiquant
les ressources utilis\'ees:

$\displaystyle ~~~\binom{8}{4} , 
~~~~ \Sigma _{i=1}^{i=9}i ,~~~~ 11!/9!, ~~~~ 7+8+...+100, ~~~~  3+3^2+...+3^9,
~~~~  (1+\sqrt {\ln \ln 2})^3,$

$$(1+\sqrt 2)^3, ~~(2+\sqrt 3)^{-2}, ~ ~ \ln (8!), ~~~ ~ \ln \ln \ln(2!),
\lim_{x \rightarrow +\infty}\, x^{\cos 3}, ~~ \lim_{n \rightarrow +\infty}\, 
 \dfrac {1,01^{n}}{n^{10000}}, ~~ \lim_{n \rightarrow +\infty}\, 
 (-1)^{n}
.$$

		     %\vspace{0.1cm}


b) Pour $x$ r\'eel, arranger les expressions suivantes en indiquant
les ressources utilis\'ees: 

		     \vspace{-0.2cm}


$$(\sin x + \cos x)^2,  ~~~\cos (x+\dfrac{\pi}{6}), ~~~(1+\sqrt x)^3.$$



		     \vspace{0.2cm}

c) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. 
Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$.


\vspace{1.7cm}


\item 
\hfill{\Large {\bf Le coin des extra-terrestres}} 

		     \vspace{0.3cm}

a)
a) Est-ce que la (nouvelle) fonction $\tan$ est p\'eriodique?

b) Comparer deux choix possibles en mati\`ere de convention concernant la 
multiplication, avec leurs avantages et inconv\'enients.

c) M\^eme question pour l'exponentiation.

d) Calculer $\sin \dfrac {\pi}{12}$. 
Calculer la racine positive de $x^2 -3x =1$. Expliquer ce que veut dire
calculer.


e) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. 
Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$.



\end{enumerate}
\end{document}


e) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$.


\item {\Large {\bf Domaine de d\'efinition}} 

On appelle domaine de d\'efinition de la
fonction $f: \rr_\perp \rightarrow \rr_\perp$ l'ensemble des $x$ de $\rr_\perp$
v\'erifiant $f(x) \neq \perp$.
Calculer le
domaine de d\'efinition de $f$  d\'efinie par 
$f(x)= \dfrac{x-1}{x-2} -\ln (x+1)$.


		     \vspace{0.3cm}

\item 
{\Large {\bf Calculer}}
\hfill
(en donnant une justification pour chaque \'etape de calcul)

		     \vspace{0.3cm}


a) Calculer 
$\displaystyle ~~~\binom{8}{4} , 
~~~~ \Sigma _{i=1}^{i=9}i ,~~~~ 11!/9!, ~~~~ 7+8+...+100, ~~~~  3+3^2+...+3^9. $

		     \vspace{0.3cm}


b) Calculer 


		     \vspace{-0.7cm}


$$(1+\sqrt 2)^3, ~~(2+\sqrt 3)^{-2}, ~ ~ \ln (8!), ~~
\dfrac{3}{2}\ln 54 + \dfrac{1}{2}\ln 60, ~~ 2^{\ln 3}3^{\ln 2}, ~~
\lim_{x \rightarrow +\infty}\, x^{\cos 3}, ~~ \lim_{n \rightarrow +\infty}\, 
\dfrac {1,01^{n}}{n^{10000}}
.$$

		     %\vspace{0.1cm}


c) Calculer $\sin \dfrac {\pi}{12}$. Calculer la racine positive de $x^2 -3x =1$.

		     \vspace{0.3cm}


d) Formuler les hypoth\`eses raisonnables sur $x$ et calculer 

		     \vspace{-0.2cm}


$$(\sin x + \cos x)^2,  ~~~\cos (x+\dfrac{\pi}{6}), ~~~(1+\sqrt x)^3, 
~~~(1-\sqrt {x^2})^{-3}, ~~~\ln (12x^4 -x^2) .$$

		     %\vspace{0.3cm}


e) Ici $x$ vaut $(1+\sqrt 2)^2$. Calculer de deux fa\c{c}ons diff\'erentes $(1+2x)^2$.

\end{enumerate}
\end{document}


		     \vspace{0.6cm}


\item 
{\Large {\bf Convertir}} \hfill (en donnant toutes les \'etapes du calcul)

		     \vspace{0.3cm}


a) Convertir $2728$ en base $3$. Calculer $20121_3$.

		     \vspace{0.1cm}


b) Calculer le d\'eveloppement d\'ecimal de $\dfrac {127}{13}$. Calculer la
fraction irr\'eductible de d\'eveloppement d\'ecimal 
$2,01 \overline {21}\dots\,$~.

		     \vspace{0.2cm}


c) Calculer $2^7.5^5.7^2~.$ 
Calculer la d\'ecomposition en facteurs premiers de $144000$.

		     \vspace{0.2cm}


d) Convertir $\dfrac{\pi}{81}$ en degr\'es, minutes, secondes. Diviser 7h 52mn
24s par 9.

		     \vspace{0.6cm}


\item 
{\Large {\bf R\'efl\'echir}} 


\vspace{0.3cm}

Que veulent dire valider, calculer, convertir?

\end{enumerate}
\end{document}

\item 
{\Large {\bf Comparer}}


$\sqrt {1+\sqrt {1+\sqrt 2}} ~\et~ \dfrac {1+\sqrt 2}{2}; ~~~~\pi ~\et~
\dfrac{22}{7}; ~~~~ \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi^3}{648} ~\et ~1;
~~~~e ~\et~ \dfrac{5040}{1854}.$
