Methodo, 8/10

Résumé de cours (virtuel) sur les énoncés

Enoncés

La construction $=_R$ accepte deux réels, et la construction $=_C$ accepte deux complexes . On les abrège toutes les deux en $=$. On utilise une autre notation pour l'égalité des angles: $u=v [2pi]$. Pour nier ces égalités, on barre le signe $=$. On a un autre signe (et un autre mot) pour l'égalité des énoncés: le signe, c'est $<=>$ et le mot c'est équivalence.
Les constructions $<, >, =<, >=$ acceptent deux réels et pas deux complexes ni deux angles (tout réel représente un angle, mais un angle n'est pas un réel; on ne dit pas ce que c'est qu'un angle, mais on dit comment on fait avec).
En première approximation, les constructions $et, ou, =>$ acceptent deux énoncés. En deuxière approximation, on voit que si on veut pouvoir dire pour $x$ réel quelconque: "$x<0$ => 1/x <0$", il faut vivre plus dangereusement et étendre les conditions de validité de $=>$. C'est pourquoi on peut s'accorder à admettre $A =>B$ (avec $A$ valide) comme valide, même si $B$ ne l'est pas, pourvu qu'il le soit "lorsque" $A$ est vrai (au lieu de demander $val(B)$, on demande $A => val(B)$). Dans ce cas, on fait les conventions analogues pour $et$ et $ou$, ce qui endommage gravement leur commutativité (les logiciens appelle ça le $et_alors$ et le $ou_sinon$.
Les quantificateurs sont "typés": la construction $pour_tout$ a trois champs: $\forall ... \in ... , ...$, et dans le deuxième champ, on indique l'ensemble "décrit" par la variable figurant dans le premier champ.

Les énoncés (décidables; on évitera soigneusement les autres!) s'évaluent à Vrai ou à Faux. Il faut insister sur la différence entre évaluer et valider.
Les règles (tables de vérité) d'évaluation sont naturelles. Sauf peut-être celle de $=>$ qui déroute les étudiants. On ne perdra pas trop de temps à les convaincre, on se contentera de les informer (de l'universalité de cette table de vérité).
Pour les quantificateurs, il n'y a pas de règle d'évaluation, mais des "règles d'inférence" qui disent non pas comment on calcule, mais comment on prouve l' énoncé (ou sa négation). On n'insistera pas là-dessus pour le moment.
Il y a des règles simples pour le calcul de la négation. On constatera avec soulagement qu'elles sont compatibles avec nos conditions de validité "subtiles".
La contraposée de $\forall ... \in ..., A =>B$, c'est $\forall ... \in ..., non B => non A$. Les deux énoncés sont équivalents.
La réciproque de $\forall ... \in ..., A =>B$, c'est $\forall ... \in ..., B => A$. Les deux énoncés ne sont pas toujours équivalents.