Methodo, 12/11
Résumé de cours (virtuel)
sur les preuves
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Preuves
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Recenser les ressources
-
Un texte mathématique fait appel, explicitement ou
implicitement, à des ressources externes (en particulier
des définitions
et des théorèmes). Ces références sont très
souvent virtuelles, et il incombe au lecteur de les reconstituer de
façon cohérente.
-
Recenser les tactiques
-
Une preuve manipule un ou plusieurs "buts". Au départ de la preuve, il y
a un seul but qui accouple l'énoncé à prouver avec son
contexte. Après, on va voir comment ce but peut faire des petits.
Une tactique est une action de preuve qui s'applique à un but, et le
transforme en zéro, un ou plusieurs nouveaux buts.
Voici les tactiques les plus courantes.
- Réécrire. On remplace dans le but et/ou dans le contexte
certaines formules par des formules égales [dans ce contexte]. Les
égalités en question sont autant de nouveaux buts (qu'on
néglige très souvent parce qu'ils sont trop faciles).
Pour cette tactique, il faut donc préciser quelle égalité
on utilise et où. Un cas particulier important, c'est quand on remplace
un terme par sa définition (dépliage) ou le contraire (pliage).
- Appliquer $T$ à $Args$. On applique un énoncé $T$
"connu", c'est-à-dire que soit c'est une ressource (il est dans le
cours), soit il est dans le contexte.
Il faut que le but $B$ soit une instance de la conclusion de $T$.
Par exemple si $T$ dit "si $a>b$ et $b>c$, alors $a>b$", il faut que $B$ soit
de la forme $a>b$, et pour l'appliquer, il faut indiquer les arguments $a,b,c$
de l'application. Une telle application génère autant de nouveaux
buts que $T$ a d'hypothèses.
Pour cette tactique, il faut donc préciser quel énoncé on
applique à quels arguments.
- Observer $H$ (Modus ponens). Cette tactique casse le but $B$ en deux: on
annonce qu'on va
prouver
un nouveau but $H$, puis $B$ dans le contexte augmenté de
$H$. Pour cette tactique, il faut juste préciser qui est $H$. En fait, on
se lance souvent directement dans la preuve de $H$.
- Introduire. C'est la plus facile. C'est pour un but de la forme "Pour tout
a:E, P(a)" ou "$H =>C$". Dans le premier cas, on dit par exemple "Soit $a$ dans
$E$, on va montrer $P(a)$" et le nouveau but est $P(a)$ avec le contexte
augmenté de $a:E$. Dans le second cas, on dit par exemple "Supposons $H$
et montrons $C$" et le nouveau but est $C$ avec le contexte
augmenté de $H$. Bien sûr on peut faire plusieurs introductions
d'un seul coup.
- Exhiber $t$. C'est pour un but de la forme "Il existe
a:E, P(a)". On fournit une expression $t$ de type $E$, et le nouveau but est
$P(t)$.
- Distinguer selon $H$. On fournit un énoncé $H$. Cette
tactique casse le but en deux, obtenus en ajoutant successivement $H$ et $non H$
au contexte.
- Par l'absurde selon $H$. On fournit un énoncé $H$. Cette
tactique casse le but en deux: Dans le contexte augmenté de $non B$, on
va prouver successivement $H$ et $non H$ (en pratique, on prend pour $H$ un
résultat connu, de sorte que le premier but est gratuit).
- La preuve est finie quand il ne reste plus de buts!
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Andre.HIRSCHOWITZ
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modified: Oct 1