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\newcommand{\bb}{{\bf {\mathcal B }}}
\newcommand{\pp}{{\bf {\mathcal P }}}
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\newcommand{\ou}{~\mathop{\rm ou }~}
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\newcommand{\Ker}{\mathop{\rm Ker }}
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\newcommand{\Arg}{\mathop{\rm Arg }}
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\newcommand{\sinon}{\mathop{\rm sinon }}
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\newcommand{\rr}{{\bf R}}
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\newcommand{\nn}{{\bf N}}
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\newcommand{\kx}{{\bf K}[X]}
\newcommand{\rX}{{\bf R}[X]}
\newcommand{\qq}{{\bf Q}}
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{vmargin}
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\pagestyle{empty} \setmarginsrb{0.5cm}{0.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

%\documentstyle[12pt]{article} \pagestyle{empty} \setlength{\textwidth}{13cm}
%\setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{.2em} 
\begin{document}
 M\'ethodo Exos7~~~~~~~~~~~~~~~~~{\Huge {\bf 
                      ~Traduire}}  \hfill 3/12/01 ~Deug MIASSM TC\\ %
                     
                     \vspace{0.9cm}

\begin{center}

{\Large {\bf Traduire sous contexte}} 

\end{center}

                     
                     \vspace{0.2cm}


Dans le contexte donn\'e, formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants.
                  
                  %   \vspace{-0.2cm}








\begin{enumerate}
\item {Contexte : $x$ et $y$ sont entiers.}

\vspace{.1mm}\par\noindent
$x$ est multiple de $3$;   \hfill $\exists z\in \nn,\ 5z=x$;\hfill
$x$ divise $34$;\\
$x$ est multiple de $y$; \hfill 
$\exists z \in \nn,\ x=2^z$;\\
$x$ est un cube; \hfill
$x$ est somme de deux carr\'es; \hfill
$\forall z \in \nn,\ (\exists p \in \nn,\ pz=x) \et (\exists q \in \nn, qz=y)
\Rightarrow z=1$.
                     
                     \vspace{0.2cm}


\item {Contexte : $x$ et $y$ sont r\'eels.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent

$x$ est rationnel; \hfill $\exists n \in \nn,\ n=x$; \hfill
$x$ est d\'ecimal; \\
$x$ et $y$ ont m\^eme partie enti\`ere; \hfill $(x \geq 0 \et y \leq 0) \ou 
(x \leq 0 \et y \geq 0)$;  \\
$y$ est entre $x$ et $x^2$;\hfill
$\forall p \in \nn,\ \forall q \in \nn^*,\  x\neq p/q$.  
                     
                     \vspace{0.2cm}


\item {Contexte : $z$ et $z'$ sont complexes.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent
$z$ est 
imaginaire pur; \hfill $\exists n \in \nn,\ z^n=1$; \\
l'argument de $z$ est $\pi/12$; \hfill $z$ et $z'$ sont conjugu\'es;\\ 
$z$ est \'egal \`a $z'$ au signe pr\`es; \hfill
 $\exists t \in \rr^*,\  tz=z'$.  
                     
                     \vspace{0.2cm}


\item {Contexte : $P$ et $Q$ sont des parties de $\rr$.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent
 $P$ est minor\'ee; \hfill 
$\forall x \in \rr,\  x \in P \Leftrightarrow x\geq 0$;\\
$P$ est un intervalle ouvert; \hfill $P$ est
centr\'e en $0$; \\
$\forall x \in P,\  x \geq 0$. 

                     
                     \vspace{0.2cm}



\item {Contexte : $P$ et $Q$ sont des parties de $\cc$.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent
$P$ est la droite passant par $1$ et $i$; \hfill
$\forall z \in \cc,\  z \in P \Leftrightarrow |z|=1$; \\
$P$ est un cercle;\hfill 
$\exists a \in \cc,\  \exists r\in \rr_+,\  z \in P \Rightarrow |z-a| = r$;\\
$P$ est un demi-plan; \hfill $P$ est contenu dans $\rr$;\\
$\exists r\in \cc,\  \forall z \in P,\  |z| \leq r$.   

                     
                     \vspace{0.2cm}



\item {Contexte : $I$ est un intervalle, $f$ et $g$ sont des fonctions sur
$I$.} 
\vspace{.1mm}\par\noindent
$f$ est positive; \hfill $\exists m \in \rr,\  
\forall x \in I,\  f(x) \geq m$; \\
$f$ est constante; \hfill $\forall x\in I,\  f(x) \neq g(x)$;\\
$f$ est croissante; \hfill $f$ est major\'ee par $2$; \\
$f$ est born\'ee; \hfill
$\forall x,\ x' \in I,\  f(x)=0 \et f(x')=0 \Rightarrow x=x'$;\\
$f$ et $g$ sont distinctes;\hfill $f$ majore $g$; \\
$f$ change de signe une et une seule fois sur $I$; \hfill
$\forall x \in I,\  x+\pi \in I \et f(x+\pi)=f(x)$;
\\
$f$ est monotone; \hfill
$(\forall x\in I,\  f(x) > g(x)) \ou
(\forall x\in I,\  f(x) < g(x)$; \\
$\exists x \in I,\  \forall y\in I,\  y \geq x \Rightarrow f(y) \geq 0$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\Large {\bf Traduire sans contexte}}
\end {center}    
                 
                     \vspace{0.2cm}

Formaliser ou r\'ediger les \'enonc\'es suivants.
                 
                     \vspace{0.2cm}

\begin{enumerate}
\item{Concernant les nombres entiers et rationnels}:
\vspace{.1mm}\par\noindent

Tout entier est somme de deux carr\'es;  \\
Le produit de deux nombres rationnels est forc\'ement rationnel;\\
$\exists x \in \nn,\  \forall y\in \nn,\  y \geq x \Rightarrow \exists z 
\in \nn,\  y^3 \leq z^2 \leq (y+1)^3$; \\
$\forall n \in \nn^*,\  \exists
a,\ b,\ c,\ d\in \nn^*,\  n=a^2+b^2+c^2+d^2$. 
                 
                     \vspace{0.2cm}


\item{Concernant les nombres r\'eels}: 
\vspace{.1mm}\par\noindent
Le produit de deux r\'eels
est nul si et seulement l'un des deux est nul; \\
Deux r\'eels positifs 
sont rang\'es dans le m\^eme ordre que leurs carr\'es;\\
L'addition des nombres r\'eels est commutative; \\
$\forall x,\ y \in \rr,\  x \geq y \ou y \geq x$;\\
$\forall x,\ y \in \rr,\  x \neq y \Rightarrow x > y \ou y < x$;\\
$\forall x,\ y \in \rr,\  x^2=y^2 \et xy \geq 0 \Rightarrow x=y$. 
                 
                     \vspace{0.2cm}


\item{Concernant les nombres complexes}:
\vspace{.1mm}\par\noindent
L'oppos\'e d'un nombre complexe imaginaire pur
est son conjugu\'e; \\
Le produit des conjugu\'es est le conjugu\'e des produits;\\
Deux nombres complexes sont \'egaux si et
seulement si leurs modules et leurs arguments le sont;\\
$\forall z \in \cc^*,\  \overline{\frac 1z}=\frac1{\overline z}$; \\
$\forall z \in \cc^*,\  \exists r,\ r'\in \cc,\ 
r \neq r' \et r^2=z \et {r'}^2=z$;\\
$\forall z \in \cc^*,\  \forall \theta \in \rr,\  
\Arg z=\theta \Rightarrow \Arg z^{-1} =-\theta$;\\ 
$\forall z,\ z' \in \cc,\  z^2={z'}^2 \Rightarrow z=z' \ou z=-z'$;\\ 
Il y a exactement $n$ racines $n$-i\`emes de l'unit\'e
distinctes, et ce pour tout $n$.
                 
                     \vspace{0.2cm}


                 
                     \vspace{0.2cm}

\item{Petit rab}:
\vspace{.1mm}\par\noindent
Tout polyn\^ome de coefficient dominant 
positif tend vers l'infini \`a l'infini;\\
Un trin\^ome du second degr\'e 
qui s'annule en trois points est identiquement nul;\\ 
 Un syst\`eme de deux \'equations lin\'eaires \`a deux 
inconnues de discriminant non-nul admet une unique solution; \\
Deux \'equations lin\'eaires \`a deux inconnues peuvent n'avoir
aucune solution commune. 
\end{enumerate}






\end{document}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


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%%% End: 
