Jean-Pierre Demailly a montré la dualité qui existe entre le cône des diviseurs pseudo-effectifs et le cône des courbes très libres. Du coup, il est tentant d'étudier de manière asymptotique l'espace de modules des morphismes d'une courbe dans une variété de Fano fixée quand sa classe varie dans ce dernier cône. L'étude de divers cas très particuliers met en évidence un lien très fort entre cette étude et les conjectures de Batyrev et Manin sur les points rationnels de hauteur bornée, ce qui permet de mettre en place un dictionnaire arithmético-géométrique de plus en plus précis.