Relaxation hyperbolique et modèles cinétiques et dynamique des gaz


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Résumé :

L'objet de cette thèse est l'étude d'équations d'évolution en mécanique des fluides modélisées par des équations aux dérivées partielles. Nous nous intéressons plus spécifiquement au système d'Euler de la dynamique des gaz. Ce système est hyperbolique et constitué de lois de conservation. Nous considérons  deux lois de pression : le cas d'une loi isentropique et le cas d'une pression nulle. Nous employons deux approches mathématiques pour étudier ce problème : l'utilisation de modèles cinétiques et celui de modèles continus.

Dans un premier temps, nous étudions un modèle cinétique BGK vectoriel dont la relaxation conduit au système d'Euler avec une pression isentropique. Nous obtenons en particulier l'existence globale de solutions faibles avec des relations d'entropie pour le modèle BGK, puis nous étudions la relaxation du modèle. Ce travail permet d'étendre au cas de la dynamique des gaz isentropiques le fait connu pour les lois de conservation scalaire de l'existence d'un modèle BGK conduisant à toutes les inégalités d'entropie à la limite de relaxation. Nous obtenons également des correspondances entre domaines cinétiques invariants, domaines macroscopiques invariants et entropies cinétiques pour ce modèle.

Dans un deuxième temps, nous considérons le problème mixte constitué d'une donnée initiale et d'une condition de bord pour la dynamique des gaz isentropiques. Nous nous placons dans un cadre $L^\infty$, ce qui est une amélioration par rapport à ce qui se fait habituellement ou le contexte d'un problème mixte est plutot BV. Nous formulons la condition de bord par des inégalités d'entropies avec l'utilisation de traces faibles. Notre méthode est très générale et peut etre appliquée à tout système possédant un modèle BGK compatible avec les entropies et ayant compacité forte de ses grandeurs macroscopiques.

Finalement, dans un troisième temps, nous étudions deux modèles avec contraintes. Dans le cas sans pression, nous utilisons les bouchons collants, généralisation des particules collantes, et un résultat de stabilité pour obtenir l'existence pour toute donnée initiale dans $L^1$ et $L^\infty$. Une méthode numérique par splitting et utilisant un modèle BGK permet d'obtenir la dynamique que doit vérifier les bouchons. Dans le cas d'une pression isentropique d'exposant $\gamma$, nous utilisons des modèles cinétiques. La relaxation de ce modèle se fait pour  $1<\gamma <3$ à l'aide de la compacité par compensation, et pour $\gamma=3$, à l'aide d'un lemme de moyenne.

Abstract :

The aim of this PhD thesis is the study of evolution equations in fluid mechanics modelled by Partial Differential Equations. We are interesting more specifically with the Euler system for gas dynamics. This system is an hyperbolic one and is constituted by conservation laws. We consider two pressure laws: the isentropic case and the pressureless case. We use two mathematical approachs to study this problem : the BGK models and the continuous ones.

First, we study a vector kinetic BGK equation leading to isentropic gas dynamics in the relaxation limit. In particular, we obtain the existence of global weak solutions, for the BGK model, satisfying a kinetic entropy inequality, then we study the relaxation limit towards entropy solutions. This work extends to the isentropic case the well-known fact for scalar conservation laws which is the existence of a BGK model leading to all entropy inequalities at the relaxation limit. We also obtain correspondance between kinetic invariant domains, macroscopic invariant domains and kinetic entropies for this model.

Secondly, we consider the mixed problem constituted with an initial data and a boundary condition for the isentropic gas dynamics. We use the $L^\infty$ context, which is an improvement with respect to usual results which takes place in a BV context. We formulate the boundary condition via entropy inequalities with the use of weak traces. Our method is very general and could be applied to any entropy satisfying BGK model as soon as we have strong compactness of the macroscopic variables inside the domain.

Finally, in a third time, we study two models with constraints. In the pressureless case, we use sticky blocks, a generalization of sticky particles, and a stability result to get the existence for any initial data in $L^1$ and $L^\infty$. A numerical method with a splitting and the use of BGK model allows to obtain the dynamics the sticky blocks have to satisfy. In the isentropic case with an exponent $\gamma$, we use kinetic models. For $1<\gamma <3$, the relaxation of the model is obtained via compensated compactness and for $\gamma=3$, via averaging lemma.
 
 

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