Sujets de stages MASTER 1 (MPA)
2017-2018
Liste de
Propositions :
Spectre de graphes : voir
ici.
Anneaux d'entiers quadratiques :
voir
ici.
Autour de la preuve de Newman du théorème des nombres
premiers.
On propose d'étudier la démonstration
de Newman du théorème des nombres premiers, qui dit que le nombre de nombres
premiers inférieurs à N est
équivalent à N/ln(N) quand N tend vers l'infini. La preuve utilise beaucoup
d'arguments
d'Analyse Complexe et la
fonction zeta de Riemann. En fonction du temps et du goût, on pourra étudier
des encadrements
"élémentaires" dûs à Tchebichev,
s'intéresser à l'histoire de ce résultat, ou à davantage de fonctions
holomorphes. La
référence principale (et
d'autres) sont en anglais.
Deux sujets : nombre de rotation
des homéomorphismes du cercle
et
introduction à la théorie ergodique voir ici.
- J-B. Caillau et L. Rifford :
Conditions
d'optimalité en contrôle géométrique.
Le contrôle optimal, qui est la version moderne du calcul des variations
qu’il généralise, s’intéresse à la minimisation d’une fonctionnelle sous
contrainte dynamique : cette contrainte s’exprime sous la forme d’une
équation différentielle ordinaire dont le second membre fait intervenir
une fonction supplémentaire, le contrôle, fonction par rapport à laquelle la
minimisation a lieu. Dans le cas régulier, les conditions suffisantes
d’optimalité sont bien connues et font intervenir la notion de champ
d’extrémales. On propose dans ce travail de découvrir ces conditions et, si
le temps le permet, d’aller jusqu’à des résultats récents traitant du cas
des extrémales brisées. Les outils mathématiques en jeu sont à
l’intersection
de plusieurs domaines des mathématiques : les systèmes dynamiques, la
géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l’optimisation.
Références : Agrachev, A. A.; Sachkov, Y. L. Control theory from the geometric viewpoint. Springer, 2004.
Chen, Z.; Caillau, J.-B.; Chitour, Y. L^1-minimization for mechanical systems. SIAM J. Control Optim. 54 (2016), no. 3, 1245-1265.
Chittaro, F.; Poggiolini, L. Strong local optimality for generalized L^1 optimal control problems. Preprint (2017).
Quelques
Equations Différentielles en Physique : voir ici
Pseudo-distances
et Phi-entropies. voir ici.
Inégalités
de type Chernoff. voir ici.
Introduction
à la théorie de Galois. voir ici.
Théorème
spectral pour les opérateurs et ergodicité.
Résumé: Le théorème spectral est la
généralisation à la dimension infinie du théorème de diagonalisation des
matrices symétriques.
C’est un théorème central en Analyse Fonctionnelle
ayant de nombreuses applications. Dans une première partie du stage, on
étudiera
la démonstration de ce théorème. On s’intéressera
ensuite à des applications à la théorie ergodique.
Trois
sujets : le théorème de Polya; Groupes de type fini et croissance; le plan hyperbolique. voir ici.