Sujets de stages MASTER 1 (MPA) 2017-2018
       
Liste de Propositions :

 

            Spectre de graphes : voir ici.

            Anneaux d'entiers quadratiques : voir ici.

            Autour de la preuve de Newman du théorème des nombres premiers.                          On propose d'étudier la démonstration de Newman du théorème des nombres premiers, qui dit que le nombre de nombres
                         premiers inférieurs à N est équivalent à N/ln(N) quand N tend vers l'infini. La preuve utilise beaucoup d'arguments
                         d'Analyse Complexe et la fonction zeta de Riemann. En fonction du temps et du goût, on pourra étudier des encadrements
                         "élémentaires" dûs à Tchebichev, s'intéresser à l'histoire de ce résultat, ou à davantage de fonctions holomorphes. La
                         référence principale (et d'autres) sont en anglais.

            Deux sujets : nombre de rotation des homéomorphismes du cercle

                            et introduction à la théorie ergodique voir ici.


            Conditions d'optimalité en contrôle géométrique.
           

                Le contrôle optimal, qui est la version moderne du calcul des variations qu’il généralise, s’intéresse à la minimisation d’une fonctionnelle sous
                contrainte dynamique : cette contrainte s’exprime sous la forme d’une équation différentielle ordinaire dont le second membre fait intervenir
                une fonction supplémentaire, le contrôle, fonction par rapport à laquelle la minimisation a lieu. Dans le cas régulier, les conditions suffisantes
                d’optimalité sont bien connues et font intervenir la notion de champ d’extrémales. On propose dans ce travail de découvrir ces conditions et, si
                le temps le permet, d’aller jusqu’à des résultats récents traitant du cas des extrémales brisées. Les outils mathématiques en jeu sont à l’intersection
                de plusieurs domaines des mathématiques : les systèmes dynamiques, la géométrie différentielle, la théorie de la mesure et l’optimisation.
	   Références : Agrachev, A. A.; Sachkov, Y. L. Control theory from the geometric viewpoint. Springer, 2004.
		        Chen, Z.; Caillau, J.-B.; Chitour, Y. L^1-minimization for mechanical systems. SIAM J. Control Optim. 54 (2016), no. 3, 1245-1265.
		        Chittaro, F.; Poggiolini, L. Strong local optimality for generalized L^1 optimal control problems. Preprint (2017).
 
Quelques Equations Différentielles en Physique : voir ici

6 sujets : voir ici.


Pseudo-distances et Phi-entropies. voir ici.

Inégalités de type Chernoff. voir ici.


Introduction à la théorie de Galois. voir ici.

Théorème spectral pour les opérateurs et ergodicité.

Résumé: Le théorème spectral est la généralisation à la dimension infinie du théorème de diagonalisation des matrices symétriques.
                C’est un théorème central en Analyse Fonctionnelle ayant de nombreuses applications. Dans une première partie du stage, on étudiera
                la démonstration de ce théorème. On s’intéressera ensuite à des applications à la théorie ergodique.
 
Trois sujets : le théorème de Polya; Groupes de type fini et croissance; le plan hyperbolique. voir ici.