L1-analyse 2010-11  -  Calendrier des khôlles du groupe 4

Exemples d'exercices posés en khôlle plus bas.

Vendredi 24 sept 11h
 Marilyn Grossi
Estelle Le Gac
vendredi 24 sept 15h
 Vianney Duhem
Damien Savelli
Sophie Sejourne
mercredi 29 sept 16h
 Zalbiya Ali Kari
Hawraa Jawad
Mamadou Diop
mercredi 29 sept 17h15
 Anthony Conte
Adam Harmand
Hajer Titouhi
vendredi 8 oct 15h
 Laurine Harbulot
Vincent Marco
Manon Vermesch
mercredi 13 oct 16h Basma Attour
Ines Hamila
Donovan Oliver
mercredi 13 oct 15h Damien Faraut
Willy Lellouch
Jean-Baptiste Doyon
vendredi 15 oct 15h
 Bastien Gambaudo
Bezeid Ould Sidi Moulaye Ely
Maya Brahimi
 
mercredi 27 oct 14h
 Morgan Guillet
Marilyn Grossi
Estelle Le Gac
vendredi 29 oct 15h15
 Vianney Duhem
Damien Savelli
Sophie Sejourne
mercredi 3 nov 14h
 Zalbiya Ali Kari
Hawraa Jawad
Mamadou Diop
mercredi 3 nov 15h15
 Anthony Conte
Adam Harmand
Hajer Titouhi
vendredi 5 nov 15h15
 Laurine Harbulot
Vincent Marco
Manon Vermesch
mercredi 17 nov 14h
 Basma Attour
Ines Hamila
Donovan Oliver
mercredi 17 nov 15h15 Damien Faraut
Willy Lellouch
Jean-Baptiste Doyon
vendredi 26nov 15h15
 Bezeid Ould Sidi Moulaye Ely
Maya Brahimi
Rabia Haddouche
vendredi 3 déc 12h
 Mamadou Diop
Hawraa Jawad
Hajer Titouhi
vendredi 10 dec 15h15
 Bastien Gambaudo
Morgan Guillet
Rabia Haddouche



Questions Posées :
Semaine 1
1. f:R → R. Formaliser "f est strictement croissante"
Formaliser "la composée de deux applications strictement croissantes est strictement croissante"
Démontrer ce dernier énoncé
2. Formaliser "La somme des carrés de deux entiers est le carré d'un entier"
Formaliser la négation de cet énoncé. Démontrer ce nouvel énoncé.
Comment démontrer l'énoncé suivant : ∀ n ∈ N, n2 ≠ 2 ?
3. f:R → R. Que disent les énoncés suivants :
    (a) ∀ x,y ∈ R, x=y ⇒ f(x)=f(y)
    (b) ∀ x,y ∈ R, f(x)=f(y) ⇒ x=y
    (c) ∀ x,y ∈ R, f(x)=f(y)
Exemple et contre-exemple pour l'énoncé (c).
4. Formaliser "2 n'est pas le carré d'un entier" ; "La somme des carrés de deux entiers est le carré d'un entier"
Comparer les deux énoncés suivants :
    (a) ∀ x ∈ N, ∃ y ∈ N, x2=y
    (b) ∃ y ∈ N, ∀ x ∈ N, x2=y
5. f:R → R. Formaliser "f est strictement décroissante"
Formaliser "toute application est strictement décroissante"
Négation de ce dernier énoncé.

Semaine 2 :
1. Formaliser "f est surjective" ; "la composée de deux applications surjectives est surjective"
Démontrer le dernier énoncé.
2. u0=2, un+1=2un-3. Calculer u1, u2, u10
Montrer qu'on a ∀ n ∈ N, un=3-2n
4. Formaliser "pour tout n entier, 2+4n est un multiple de 3". Démontrer cet énoncé.
5. f(n)=n3-4n2+2n+5 ; A={f(n), n ∈ N}. Formaliser "A est minoré dans R". Démontrer cet énoncé.

Semaine 3 :
1. Pour (un) une suite de nombres réels formaliser
    (a) "(un) est croissante"
    (b) "(un) n'est pas majorée"
    (c) "(un) tend vers +∞"
2. (un) suite de nbres réels. Formaliser :
    "(un) est strictement décroissante"
    "(un) est minorée"
    "(un) converge"
Montrer que l'énoncé ∀ x,y ∈ N, x<y ⇒ ux > uy est équivalent à ∀ n ∈ N, un+1< un  (récurrence sur y-x)
3. (un) suite de nbres réels, l nbre réel. Formaliser :
    "(un) converge vers l"
    "(un) est bornée"
Quelle relation a t-on entre ces deux énoncés ? La démontrer
La suite un=cos(n π/2) converge t-elle ?

Semaine 4 :
1. On considère la suite un=(n2-1)/(n+2).
Formaliser "(un) est majorée", sa négation puis démontrer la négation.
2. un=(n3+1)/(n3+n).
Formaliser "(un) converge" puis le démontrer.
Expliciter le N en fonction de ε
3. un=n*sin(nπ/4).
Formaliser "lim un=+∞" puis démontrer la négation.
4. un=n2+n*sin(nπ/4))/(2n2-n).
Que vaut la limite de un ? Montrer qu'on a un > 1/4 à partir d'un certain rang.
5. un=(n-1)/(2n+2).
Formaliser "(un) est bornée" puis le démontrer.
6. un=(n5+2n)/(4n5+n2).
Montrer que à partir d'un certain rang on a un>1/5.
7. un=(n2-n)/(2n2-1).
Formaliser "A partir d'un certain rang un est plus grand que 1/3" puis le montrer.
Même chose avec un=(n5-4n3-3n2)/(2n5-10n4+n). Comment expliciter le rang ?
8. un=n2cos(nπ/4).
Formaliser "(un) n'est pas majorée" puis le montrer.
9. f(x)=(x10+x2)/(x6+x4).
Que vaut la limite en 0 de f ?
Formaliser "la limite en 0 de f est +∞".
Trouver le η pour M=100.

Semaine 5 :
1. Soit f:[0,2] → R l'application donnée par f(x)=1 si x ≥ 1. Montrer que f admet une limite en 1.
2. Soit f l'application donnée par f(x)=(x4+2x2)/(x6+x2).
Quelle est la limite en 0 de f ?
g(x)=1-cos(x). Même question. h(x)=f(x) si x>0 ; h(x)=g(x) si x ≤ 0. L'application h admet elle une limite en 0 ?
3. Soit (vn) une suite convergeant vers un réel l>0. Formaliser cette hypothèse.
On veut montrer qu'on a vn > l/2 à partir d'un certain rang. Formaliser cet objectif.
Le démontrer.

Semaine 6 :
1. Soit (un) suite convergeant vers un réel l>0. Montrer qu'il existe A>0 tel que un≥A à partir d'un certain rang. On suppose maintenant l<0. Montrer qu'il existe A<0 tel que un≤A à partir d'un certain rang.
2. Soit f l'application R → R donnée par f(x)=x.sin(1/x) si x>0 ; f(x)=2x2+x si x≤0. Que peut on dire de la limite en 0 de f ?
3. Exercice 19 de la feuille 3 (limite d'une suite définie par récurrence par u0 et un+1=f(un) où f est une application R → R).
4. la fonction f:]0,1] → R donnée par f(x)=1/x-(x2+2x3)/x3 a t-elle une limite en 0 ? Qu'en est il de g donnée par g(x)=sin(x)/√x ?
5. Soit f:R → R une application et x0 un réel. On suppose que la limite de f en x0 existe. Montrer que cette limite est f(x0)
6. Soit f:R → R l'application donnée par f(0)=0 et f(x)=exp(-1/|x|) si x ≠ 0. Montrer que f est continue.

Semaine 7 :
1. Soit f la fonction définie par f(x)=(x-1)2+sin(1/(x-1)). Etudier la continuité de f.
2. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(πx) si x≤1, f(x)=x2-2x sinon. Etudier la continuité de f.
3. Soit f la fonction définie par f(x)=cos(π(x-1/2)) si x≤1/2, f(x)=2x2 sinon. Etudier la continuité de f.